专题7立体几何中的向量方法.docx

专题8.7立体几何中的向量方法新课程考试要求1 .理解直线的方向向量与平面的法向量.2 .能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3 .能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.4 .会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的问题.核心素养本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.考向预测（1）以几何体为载体，综合考查平行或垂直关系证明，以及角与距离的计算.（2）利用几何法证明平行、垂直关系，利用空间向量方法求角或距离.（3）利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面（面面）的平行（垂直）关系是主要命题方向.空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小间形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题.距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查.此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.【知识清单】知识点1.利用空间向量证明平行问题1.直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量：/是空间i直线，力，3是直线/上任意两点，则称矶直线/的方向向量，与新行的任意非零向量也是直线/的方向向量.平面的法向量可利用方程组求出：设a。是平面a内两不共线向量，为平面。的法向量，则求法向na=0,量的方程组为八*b=0.2.用向量证明空间中的平行关系设直线/1和的方向向量分别为匕和则71/z（或/l与，2重合）=/V2.设直线/的方向向量为心与平面。共面的两个不共线向量匕和心则/。或/Ua=存在两个实数X,y,使v=xvl-yv2.设直线/的方向向量为匕平面a的法向量为ut则/。或/u=匕La设平面a和的法向量分别为必，u2t则QHB=UWU2.知识点2利用空间向量证明垂直问题1 .用向量证明空间中的垂直关系设直线/l和Zi的方向向量分别为和V2,则h±lzVVQVIV2=0.设直线/的方向向量为平面a的法向量为u,则IA.a<=>vu.设平面和£的法向量分别为/和如则QI.Bou_LUQUiU2=0.2 .共线与垂直的坐标表示设ci=（囱，改,33）>b=（A,bz,Z¾）,则ab>ci=4Zx=>a=4>,=入庆,a$=4/（4£R）,a-b<ci=0=>fA÷a2Z÷c=0（c?,，均为非零向量）.知识点3异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角定义：设。，力是两条异面直线，过空间任一点O作直线，/a,b,4则'与b'所夹的锐角或直角叫做。与人所成的角.范围：两异面直线所成角J的取值范围是（O,1./7.h向量求法：设直线小人的方向向量为。，b,其夹角为%则有COSe=ICoS0=|1.IaH加知识点4.直线与平面所成角1.直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线/的方向向量为e,平面的法向量为，直线/与平面所成的角为9，两向量e与的夹角为仇则有sin9=Icosq=KAIel1I1.求二面角的大小（1）如图1,AB.C。是二面角Q一/一夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小。=Cab,cb>.（2）如图2、3,外,%分别是二面角。一/一£的两个半平面出£的法向量，则二面角的大小。=<%,%>（或-<nx,n2>).知识点6利用向量求空间距离1 .空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设二(c11,2,3)，b=(b,b?,83),则±b=(±b,。2功2,。3垃0；2。二(痴，a2f3)；a'b=ab+。2岳+。3。3.(2)共线与垂直的坐标表示设二(c11,42，3)，b=b,b?,b3),则。方Oa=劝台”=劝1，S=肪2，的=我3(/£对，a_Lb台。力=0台。1加+。2岳+。3历=0(。，b均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式设=3,2，3)，b=b,b?,b3),则同=fcra=y«?÷A÷al,.ab0-+2岳+383由7由+届+-7从+虎+员设A(m,bl，Cl),8(。2，厉，C2)，则d.B=lA51=y(c2-al)2÷(Zj2-bl)+(c>2-C1)2.2 .点面距的求法如图，设AB为平面Q的一条斜线段，为平面Q的法向量，则B到平面Q的距离d=j4【考点分类剖析】考点一:利用空间向量证明平行问题【典例1】(湖北高考真题)如图，在棱长为2的正方体ABC。AMGA中，EEM,N分别是棱AB,AD,A1稣4。的中点，点R。分别在棱。，上移动，且。尸=8Q=%(0<l<2).(1)当a=1时，证明：直线BCJ/平面EFPQ.【答案】直线Ba平面E/PQ.【解析】以。为原点,射线DA,DCyDD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系。一盯Z,Ih已知得3(2,2,0),C1(0,2,2),厂(1,0,0),P(0,0,),所以前二(-2,0,2),而二(T,0,l),FE=(UO),(1)证明：当;1=1时,而=(-1,0,1),因为斯=(-2,0,2),所以万C=2而，即3CJ/FP,而尸PU平面Eb尸。，且BGa平面ERPQ,故直线BC"/平面EEPQ.【规律方法】利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题【变式探究】（选自天津高考真题）如图，在三棱锥P-ABC中，PA_L底面ABC,N84C=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点，M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.（I）求证：MN平面BDE；【答案】（I）证明见解析【解析】如图，以A为原点，分别以A8,AC,AP方向为X轴、y轴、Z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(I)证明：DE=(O,2,O),DB=(.2,O,-2).设=(x,y,z),为平面BDE的法向量,则1"°"二°,即12v=°.不妨设z=l,可得=(1,0,1).又MN-(1,2,-1),可得MN=().n-DB=O2x-2z=0因为MNa平面BDE,所以MN平面BDE.【总结提升】证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题.考点二:利用空间向量证明垂直问题【典例2】(2021.浙江高二期末)已知正方体ABCO-AgGA，E是棱BC的中点，则在棱CG上存在点尸，使得()A.AFHDxEC.A尸平面CQED.AF_L平面GAE【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为L写出点的坐标，用向量法确定线线平行与垂直，由向量与平行法向量的平行与垂直确定线面的平行与垂直.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体楼长为1,则4(1,0,0),A(0,0,1),E(g,l,O),设尸(0,1,Z)(Ozl),贝IJAE=Wj-1),4F=(-l,l,z),因为昼工1，所以AEAE不可能平行，即AF,RE不可能平行，-1T11X4FD1E=-+l-z=0,Z=-,因此AfAE可以垂直，即A尸与AE可能垂直.C1(O,1J),AC=(OJO),设平面GDlE的一个法向量为=(X,y,z),AG=y=0则41,取x=2,则八=(2,0,1),nDiE=-x+y-z=OA尸与不可能平行，因此人厂与平面GAE不可能垂直，AFn=-2+z-2-t因此A户与G不可能垂直，因此AF与平面GDlE不可能平行,故选：B.【规律方法】用空间向量证明垂直问题的方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直【变式探究】在边长是2的正方体48CD-A4GA中，旦尸分别为A伐AC的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长证明：EF平面AAQQ；证明：Ek，平面ACO.【答案】(1)2.(2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)如图建立空间直角坐标系ZA=(2,(),2),A=(2,(),O),B=(2,2,0),C=(0,2,0),D1=(0,0,2)E=(2,1,0),F=(1,1,1)EF=(-1,OJ),EF=24分(2) .AD1=(-2,0,2).AD1IlEF而EF<Z面ADD】A1.斯平面AAAo8分(3) vEFCD=0,EFA1D=O/.EF±CD,EFlA1D又CDCAlD=D.石/_1平面4。.【总结提升】1.证明直线与直线垂宜，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明.2 .要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂宜的基础.3 .证明线面垂直，可利用判定定理.如本题解法.4 .用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直.考点三:异面直线所成的角【典例3】(2021天津高二期末)如图，在棱长为1的正方体ABC。-AiBiGQ中，E,尸分别为。BD的中点点G在Co上'且CG=IeD(I)求证：EFLBC(2)求EF与GG所成角的余弦值.【答案】(1证明见解析；(2) 叵.17【解析】如图建立空间直角坐标系，(I)利用空间向量证明，(2)利用空间向量求解【详解】以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-QZ则 E (0,0,1),产(器,0),C(Ho),与(LU),G(0,l,l),G(0弓,0),Ulillll(1) /EF =B,C = (-l,0-1),UKl UUU： EF BC = O;. EF 上 BC ,UuLr 1(2)由(1)知GG = (O,-7一1),I 翳=J+(T)2 =平，UiM Hiir ill3EFC1G = -×O+-×()+ ()x(-1) = -, 122428设E尸与GG所成角为9,则EF CiG闭 CGl =17故EF与CG所成角的余弦值为囱【特别提醒】提醒：两异面直线所成角的范围是（0,y,两向量的夹角a的范围是0,当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角.【变式探究】（2021江苏省苏州第十中学校高一月考）由两块直角三角形拼成如图所示的空间立体图形，其中ADC=ZACB=90,OC=3,AC=3C=5,当OB=后时，此时A&CO四点外接球的体积为异面直线AB,CD所成角的余弦为.【答案l,逑.310【解析】求得NA£>6=90"，取A8的中点。，由OD=OC=OA=QB得点。是四面体ABCO外接球的球心，外接球半径R=进而可得外接球的体枳；证得5C_L平面AeD,建系如图，由空间向试的夹角公式可符【详解】依题意可知40=4,AB=5五,当。8=后时，AD2+DB2=AB2»则NAO8=90"，取A8的中点0则OD=OA=OBx又NAC8=90,则OC=OA=Q8,所以QD=OC=04=。8,即点。是四面体ABC。外接球的球心，外接球半径R=TA8=半，故夕卜接球的体积V=g乃N=g乃x(乎)=必誓乃.依题意Z)C=3,BC=St当08=后时，DC?+BC?=DB?，则8C_LCO,又3C_LAC,且CTHAC=C,所以8C1.平面ACD.以点C为原点，CAC8为X轴，/轴建立空间直角坐标系如图.ABCD 52AH CD过点。作OH_LAC于点H,由ADXDC=ACX上得9=£,则CH=卜?-(晟)=',所以。,又C(0,0,0),A(5,0,0),8(0,5,0),则AB=(-5,5,0),CD=,O,yl故答案为：竺2兀;逑.设异面直线AB，8所成的角为。,贝hos6=kos<A民。，【总结提升】向量法求两异面直线所成角的步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的方向向量Vi，Vi;IrlV，代入公式ICOS（防，V。I=求解.FiIVzI考点四：直线与平面所成角【典例4】(2021.浙江高考真题)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是平行四边形，ABC=120o,AB=1,BC=4,PA=15,M,N分别为BePC的中点，PD工DC,PM上MD.PB(1)证明：ABlPM;(2)求直线4V与平面PDW所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)姮.6【解析】(1)要证ABJ.PM,可证OC_LPM,由题意可得，PDlDC,易证QM_LDC,从而QCJ_平面,即有。C_LPM,从而得证；(2)取AD中点£,根据题意可知，ME,0M,PM两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量AN和平面PaW的个法向量，即可根据线面角的向量公式求出.【详解】(1)在中，DC=I,CM=2,ZDCAf=6(),由余弦定理可得。M二0，所以OM2+OC2=C2,DWLDC.由题意DCj尸。且尸DCQM=。，/.QC_L平面Pf)M,而PMU平面尸DW,所以。C_LEW,又ABUDC,所以ABj_P”.(2)由PM_LMD,ABlPM,ABIjr)M相交,所以PM_L平面ABCQ,因为AM=",所以尸M=2忘，取AD中点E,连接ME,则ME,O",PM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则A(-3，2,0),P(0,0,22),D(3,0,0)./(0,0,0),C(3,-1,0)又N为尸C中点，所以,AN =由(1)得CQJ_平面包M,所以平面Pf)M的个法向量后二(OJo).ZlIAN从而直线AN与平面aw所成角的正弦值为Sm”闲十N【规律方法】利用向量法求线面角的方法（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（钝角时取其补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.【变式探究】（2020北京高考真题）如图，在正方体ABSAMG。中，夕为的中点.（I）求证：8CJ/平面A0E；（II）求直线AAl与平面AAE所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）【解析】.A8“GONA8=CQ,所以，四边形ABG。为平行四边形，则8C(Z平面Af)E,Az)IU平面ARE,BG平面AQE；(II)以点A为坐标原点，AD.AB.AA所在直线分别为X、)Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系A-AyZ,设正方体ABCDA4GA的棱长为2,则A(0,0,0)、A(O，。，2)、D1(2,0,2),E(0,2,l),ADi=(2,0,2),E=(0,2,1),设平面E的法向量为 =(X,y,z),由n-AD. =0 、得n AE - 02x+2z = 0 2y+z=0令z=-2,则r=2,y=l,则=(2,1,-2).cos < n, AA1 >=nAAil+HI4372232因此，直线AA与平面40E所成角的正弦值为考点五:二面角【典例5】（江苏省扬州市2020-2021学年高二下学期期中调研数学试题）已知在四棱锥P-ABC。中，PDl平面ABCD,ADYDC,AB/DC,DC=2AB,Q为PC的中点.（1）求证;平面>AP;（2）若PD=T,BC=&,BClBD,求锐二面角Q-BC的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）X回.3【解析】（1）取PO的中点为G,分别连接AGQG,证明8Q/AG后可得线面平行；（2）以QAQcOP分别为Z轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.【详解】（1）证明：取尸。的中点为G,分别连接AGQG又因为Q为PC的中点，所以GQ/OC,且GQ=TOC又因为AB/0C,OC=2AB,所以GQ/A8,GQ=AB,所以四边形ABQG是平行四边形，所以以2AG又BQ(Z平面PADAGU平面PAD,所以BQ/平面PAD(2)解：由题意DAQCQP三条直线两两相互垂直.以DADGQP分别为Z轴，y轴，Z轴建立空间宜角坐标系如图,因为在四边形ABCD中，AB/DC,ADlDC、DC=2AB,所以点B在线段8的垂直平分线上.又因为BC=2,BC±BD,所以BD=BC=¢,CD=2所以有点D(OaO),8(1,1,0),C(0,2,0),Q(O所以DQ=(OJ3BQ=(T0,小设平面3。Q的一个法向量m=(,y,z),zwD=0×x+l×y+-×z=0则21令z=2,得m=(LT,2)nBQ=-l×x+0×,y+-×z=0易知平面BCD的一个法向量为DP=(0,0,1),因为Iml=JiTiTZ=#,IOPI=LmDP=2,口-CCmDP26所以8S<in,DP>=-=-f=ImHOPl63所以锐二面角Q-BD-C的余弦值为亚3【规律方法】利用向量法计算二面角大小的常用方法(D找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小.但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【变式探究】(2019年高考全国In卷理)图1是由矩形力比况Rl/!比和菱形母'GC组成的一个平面图形，其中/1分1,B2B用2,FBU600,将其沿欧折起使得监与跖重合，连结外,如图2.(1)证明：图2中的儿C,G,四点共面，且平面平面优a'；(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.【答案】(1)见解析；(2)30.【解析】(1)由已知得AWIBE,CGHBE,所以力Ca故49,CG确定一个平面，从而43G1四点共面.由已知得/1从LABiBa故的工平面BCGE.又因为力U平面所以平面/8UL平面比说：(2)作EHlBC,垂足为H.因为EHU平面BCGE,平面6Q'J平面/1%；所以£"_L平面4比：由已知，菱形及力砸边长为2,N砸60°,可求得应G,73.以伪坐标原点，"C的方向为谕的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系-灯z,则力(-1,1,O),C(LO,O),G(2,O,3),CG=(1,O,3),AC=(2,-1,0).设平面”a的法向量为=(x,八z),则CG = 0, 即ACM = 0,X + 3z = 0, 2x- y = 0.所以可取大(3,6,-3).又平面如%的法向量可取为F(0,1,0),所以CoS,咐=-二.HI/112因此二面角CG-I的大小为30°.考点六:利用向量求空间距离【典例6】(2021北京高二期末)如图,在长方体ABCQ-A心Gq中，底面ABCD是边长为1的正方形，他=2,EF分别为CC，的的中点.(1)求证：平面BDE;(2)求宜线AE与平面8。E所成角的正弦值;(3)求直线AF与平面8。E之间的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)述；(3)亚.33【解析】(1)推导出。尸/3E,由此能证明AF平面5。石：(2)以。为原点，OA为X轴，。为丁轴，。乌为Z轴，建立空间直角坐标系，利用向最法能求出直线AE与平面E所成角的正弦值.(3)由乌广/平面况犯，OA=(0,0,2),平面OB石的法向以7=(1,1,1),利用向依法能求出直线。尸与平面BDE之间的距离.【详解】解：(1)取的中点G,连接FGGG.因为AeGR,且A与=GR;WFG,且AM=fG,所以尸G/CQ,且尸G=GR.所以四边形GoLG为平行四边形.所以RFGG.在矩形3CG4中，因为E,G分别为CG，8片的中点，所以BE/CQ.所以DF"BE.又DxF0平面BDE，所以RF平面瓦犯.(2)如图建立空间直角坐标系。-Xyz.则D(O,0,0),8(Ll,0),E(0,l,l),D(0,0,2).所以加=(1,1,0)，DE=(O,L1)»D=(04,-l)设平面BDE的法向量为机=,y,z),则inDB=O,x÷y=0,«即4y+z=O.mDE=0,令y=T,则X=1,z=l,于是IW=(LT,1).设直线AE与平面8。E所成角为。，则sina=cos(n,DE)|="=通.mD1E3(3)由(1)知A"平面8DE，所以直线。尸与平面BDE之间的距离为点d到平面BDE的距离.所以直线。尸与平面3。E之间的距离为mDE23a=【总结提升】利用法向量求解空间线面角、面面角、距离等问题，关键在于“四破”：破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；破“求法向量关”，求出平面的法向量；破“应用公式关”.【变式探究】（2019安徽高三期末（文）如图，在四棱锥PABCD中，AC_LBD交于点。，一ABC=9O，AD=CD,POJL底面ABCD.（1）求证：AeJ底面夕以）；（2）若二PBC是边长为2的等边三角形，求O点到平面PBC的距离.【答案】（1）见证明；（2）啦3【解析】证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，AC_LBD交于点O,AABC=90，AD=CD,POJUEiABCD.aAClPO,又BDCPo=O,.AC_L平面PBD.(2)以O为原点，OD为X轴，OC为y轴，OP为Z轴，建立空间直角坐标系,AC_LBD交于点O,ABC=90.AD=CD,APBC是边长为2的等边三角形,.AB=BC=2,AC=4+4=22>AO=CO=BO=PO=4-2=2-/.P(0,0,2),0(0,0,O),C(,2,),B(-2,0,0),PO=(0,0,-点)，PB=(-2,0,-2),PC=(,2,-2),设平面PBC的法向量用=(x,y,z),nPB=->2x2,z=O(、1.1-，取x=l，得=(1,一1,-1)，zPC=2j-2z=0PO-H26.O点到平面PBC的距离d=l-t=n33