初中几何最值问题.doc

-初中几何最值问题几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。纲举则目*，执本而末从。如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。学习就是不断地归一，最终以一心一理贯穿万事万物，则达自由无碍之化境矣呵呵，这境界有点高，慢慢来。关于几何最值问题研究的教师很多，本人以前也有文章论述，本文在此根底上再次进展归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进展融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。一、根本图形所有问题的老祖宗只有两个：定点到定点：两点之间，线段最短；定点到定线：点线之间，垂线段最短。由此派生：定点到定点：三角形两边之和大于第三边；定线到定线：平行线之间，垂线段最短；定点到定圆：点圆之间，点心线截距最短长；定线到定圆：线圆之间，心垂线截距最短；定圆到定圆：圆圆之间，连心线截距最短长。余不赘述，下面仅举一例证明：定点到定圆：点圆之间，点心线截距最短长。O半径为r，AO=d，P是O上一点，求AP的最大值和最小值。证明：由“两点之间，线段最短得APAO+PO，AOAP+PO，得d-rAPd+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边，其实质也是由“两点之间，线段最短推得。上面几种是解决相关问题的根本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述根本图形解决的。二、考试中出现的问题都是在根本图形的根底上进展变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进展变换的。类型分三种情况：1直接包含根本图形；2动点路径待确定；3动线定点位置需变换。一直接包含根本图形。例1.在O中，圆的半径为6，B=30°，AC是O的切线，则CD的最小值是 。简析：由B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CDAC时最短为3。二动点路径待确定。例2.，如图，在ABC中，ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点不与点B重合，将BCP沿CP所在的直线翻折，得到BCP，连接BA，则BA长度的最小值是。简析：A是定点，B是动点，但题中未明确告知B点的运动路径，所以需先确定B点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-BC=1。例3.在ABC中，AB=AC=5，cosABC=3/5，将ABC绕点C顺时针旋转，得到ABC，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F，求线段EF长度的最大值与最小值的差。简析：E是定点，F是动点，要确定F点的运动路径。先确定线段AB的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆半径为AB边上的高，F是AB上任意一点，因此F的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E到圆环的最短和最长路径。E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9，其差为7.2。三动线定点位置需变换。线段变换的方法：1等值变换：翻折、平移；2比例变换：三角、相似。【翻折变换类】典型问题：“将军饮马。例4.如图，AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分AOB，且OP=6，当PMN的周长最小值为 。简析：动线段或定点应居于动点轨迹的两侧，此题的三条动线段PM、MN、PN在OA、OB的内侧。所以此题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径。如图，把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2，PMN的周长转化为P1M+MN+P2N，这三条线段的和正是连接两个定点P1、P2之间的路径，从而转化为求P1、P2两点之间最短路径，得PMN的周长最小值为线段P1P2OP6。例5.如图，在锐角ABC中，AB=4，BAC=45°，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 。简析：此题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MNBM+MN，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BNAC时，最小值为22。【平移变换类】典型问题：“造桥选址。例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B之间的路径最短应该如何选址桥须与河岸垂直.简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定点A到定点B的最短路径。如下列图：. z.