第06章条件异方差模型.ppt

1,第六章 条件异方差模型,EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的建立变量的条件方差或变量波动性模型。我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因:首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当控制的，我们就能得到更有效的估计。,2,6.1 自回归条件异方差模型 自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model，ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle,R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev,T.,1986)发展成为GARCH(Generalized ARCH)广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？,3,恩格尔和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。,4,从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是时刻 t 的ut 的方差(=t2)依赖于时刻(t 1)的扰动项平方的大小，即依赖于 t2-1。,5,6.1.1 ARCH模型 为了说得更具体，让我们回到k-变量回归模型：(6.1.1)如果 ut 的均值为零，对 yt 取基于(t-1)时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：(6.1.2)由于 yt 的均值近似等于式（6.1.1）的估计值，所以式（6.1.1）也称为均值方程。,6,在这个模型中，变量 yt 的条件方差为（6.1.3）其中：var(yt Yt-1)表示基于(t-1)时刻的信息集合Yt-1=yt-1,yt-2,y1的 yt 的条件方差，假设在时刻(t 1)所有信息已知的条件下，扰动项 ut 的条件分布是：(6.1.7)也就是，ut 遵循以0为均值，(0+1u2t-1)为方差的正态分布。,7,由于(6.1.7)中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：通常用极大似然估计得到参数0,1,2,k,0,1的有效估计。容易加以推广，ARCH(p)过程可以写为：(6.1.8)这时方差方程中的(p+1)个参数0,1,2,p也要和回归模型中的参数0,1,2,k一样，利用极大似然估计法进行估计。,8,如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0：这时 从而得到扰动项方差的同方差性情形。恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：其中，t 表示从原始回归模型（6.1.1）估计得到的OLS残差。,9,在 ARCH(p)过程中，由于 ut 是随机的，ut2 不可能为负，所以对于 ut 的所有实现值，只有是正的，才是合理的。为使 ut2 协方差平稳，所以进一步要求相应的特征方程（6.1.9）的根全部位于单位圆外。如果 i（i=1,2,p）都非负，式（6.1.9）等价于 1+2+p 1。,10,6.1.2 ARCH的检验,下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的两种方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。1.ARCH LM检验 Engle在1982年提出检验残差序列中是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即ARCH LM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的OLS估计无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。,11,ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归：式中 t 是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残差所作的回归。这个检验回归有两个统计量：（1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所作的一个省略变量检验；（2）TR2 统计量是Engles LM检验统计量，它是观测值个数 T 乘以回归检验的 R2；,12,普通回归方程的ARCH检验都是在残差检验下拉列表中进行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二阶段最小二乘法和非线性最小二乘法估计的方程才有此项检验。,Breusch-Pagan-GodfreyHarveyGlejserARCHWhiteCustom Test Wizard,图6.4 普通方程的ARCH检验列表,13,2.残差平方相关图 显示直到所定义的滞后阶数的残差平方t2的自相关系数和偏自相关系数，计算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。残差平方相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性（ARCH）。如果残差中不存在ARCH，在各阶滞后自相关和偏自相关系数应为0，且Q统计量应不显著。可适用于LS，TSLS，非线性LS方程。在图6.4中选择Residuals Tests/Correlogram Squared Residuals项，它是对方程进行残差平方相关图的检验。单击该命令，会弹出一个输入计算自相关和偏自相关系数的滞后阶数设定的对话框，默认的设定为36，单击OK按钮，得到检验结果。,14,例6.1 沪市股票价格指数波动的ARCH检验 为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，本例选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列sp是1996年1月1日至2006年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对sp进行自然对数处理，即将序列ln(sp)作为因变量进行估计。,15,由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程随机游动（Random Walk）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为：(6.1.12)首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下：(6.1.13)(2.35)(951)R2=0.997,16,可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟合 的程度也很好。但是需要检验这个方程的误差项是否存在条件异方差性，。,17,图6.1 股票价格指数方程回归残差,观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些较长的时间内非常小，在其他一些较长的时间内非常大，这说明残差序列存在高阶ARCH效应。,18,因此，对式(6.1.26)进行条件异方差的ARCH LM检验，得到了在滞后阶数p=3时的ARCH LM检验结果如下。此处的P值为0，拒绝原假设，说明式（6.1.26）的残差序列存在ARCH效应。,可以计算式（6.1.26）的残差平方t2的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果说明式（6.1.26）的残差序列存在ARCH效应。,19,例6.2 中国CPI模型的ARCH检验 本例建立CPI模型，因变量为中国的消费价格指数（上年同月=100）减去100，记为cpit；解释变量选择货币政策变量：狭义货币供应量M1的增长率，记为m1rt；3年期贷款利率，记为Rt，样本期间是1994年1月2007年12月。由于是月度数据，利用X-12季节调整方法对 cpit 和 m1rt 进行了调整，结果如下：t=(19.5)(-5.17)(2.88)(-2.74)R2=0.99 对数似然值=-167.79 AIC=2.045 SC=2.12,20,这个方程的统计量很显著，拟合的程度也很好。但是观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大，这说明误差项可能具有条件异方差性。,21,从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶ARCH效应。再进行条件异方差的ARCH LM检验，得到了在滞后阶数p=1时的ARCH LM检验结果：,因此计算残差平方t2的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：,22,从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶ARCH效应。因此利用ARCH(1)模型重新估计模型（6.1.14），结果如下：均值方程：z=(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)方差方程：z=(5.03)(3.214)R2=0.99 对数似然值=-151.13 AIC=1.87 SC=1.98 方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更好的拟合数据。,23,再对这个方程进行条件异方差的ARCH LM检验，得到了残差序列在滞后阶数p=1时的统计结果：此时的相伴概率为0.69，接受原假设，认为该残差序列不存在ARCH效应，说明利用ARCH(1)模型消除了式（6.1.14）的残差序列的条件异方差性。式（6.1.15）的残差平方相关图的检验结果为：自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明了残差序列不再存在ARCH效应。,24,6.1.3 GARCH模型 扰动项 ut 的方差常常依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。因此 必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程(6.1.8)不过是 t2 的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个 t2 的滞后值代替许多 ut2 的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。,25,在标准化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：(6.1.17)方差方程：(6.1.18)其中：xt 是(k+1)1维外生变量向量，是(k+1)1维系数向量。(6.1.17)中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被称作条件方差，式（6.1.18）也被称作条件方差方程。,26,(6.1.18)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：1常数项（均值）：2用均值方程(6.1.11)的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：ut2-1（ARCH项）。3上一期的预测方差：t2-1（GARCH项）。GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，GARCH(0,1)，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2-1的说明。,27,在EViews中ARCH模型是在扰动项是条件正态分布的假定下，通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH(1,1)，t 时期的对数似然函数为：(6.1.19)其中(6.1.20)这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。,28,有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型：1如果我们用条件方差的滞后递归地替代（6.1.18）式的右端，就可以将条件方差表示为滞后扰动项平方的加权平均：（6.1.21）我们看到GARCH(1,1)方差说明与样本方差类似，但是，它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。,29,2设 vt=ut2 t2。用其替代方差方程（6.1.18）中的方差并整理，得到关于扰动项平方的模型：（6.1.22）因此，扰动项平方服从一个异方差ARMA(1,1)过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是 加 的和。在很多情况下，这个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。,30,方差方程的回归因子 方程(6.1.18)可以扩展成包含外生的或前定回归因子 z 的方差方程：（6.1.23）注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：,31,高阶GARCH(p,q)模型 高阶GARCH模型可以通过选择大于1的 p 或 q 得到估计，记作GARCH(q,p)。其方差表示为：（6.1.24）这里，q 是GARCH项的阶数，p是ARCH项的阶数，p0并且,(L)和(L)是滞后算子多项式。,32,为了使GARCH(q,p)模型的条件方差有明确的定义，相应的ARCH()模型（6.1.25）的所有系数都必须是正数。只要(L)和(L)没有相同的根并且(L)的根全部位于单位圆外，那么当且仅当0=0/(1-(L)，(L)=(L)/(1-(L)的所有系数都非负时，这个正数限定条件才会满足。例如，对于GARCH(1,1)模型（6.1.26）这些条件要求所有的3个参数都是非负数。,33,6.1.4 IGARCH模型 如果限定GARCH模型的方差方程中的参数和等于1，并且去掉常数项：（6.1.27）其中（6.1.28）这就是Engle和Bollerslev（1986）首先提出的单整GARCH模型（Intergrated GARCH Model，IGARCH）。,34,6.1.5 约束及回推 1约束 在估计一个GARCH模型时，有两种方式对GARCH模型的参数进行约束（restrictions）。一个选择是IGARCH方法，它将模型的方差方程中的所有参数之和限定为1。另一个就是方差目标（variance target）方法，它把方差方程（6.1.24）中的常数项设定为GARCH模型的参数和无条件方差的方程：（6.1.29）这里的 是残差的无条件方差。,35,2回推 在计算GARCH模型的回推初始方差时，首先用系数值来计算均值方程中的残差，然后计算初始值的指数平滑算子（6.1.30）其中：t 是来自均值方程的残差，是无条件方差的估计：（6.1.31）平滑参数 为0.1至1之间的数值。也可以使用无条件方差来初始化GARCH过程：（6.1.32）,36,6.1.6 GARCH模型的残差分布假设 在实践中我们注意到，许多时间序列，特别是金融时间序列的无条件分布往往具有比正态分布更宽的尾部。为了更精确地描述这些时间序列分布的尾部特征，还需要对误差项ut的分布进行假设。GARCH模型中的扰动项的分布，一般会有3个假设：正态（高斯）分布、学生t-分布和广义误差分布（GED）。给定一个分布假设，GARCH模型常常使用极大似然估计法进行估计。下面分别介绍这3种分布，其中的 代表参数向量。1对于扰动项服从正态分布的GARCH(1,1)模型，它的对数似然函数为（6.1.33）这里的t2是ut的条件方差。,37,2如果扰动项服从学生t分布，GARCH(1,1)模型的对数似然函数的形式就是（6.1.34）这样，参数的估计就变成了在自由度k2的约束下使对数似然函数（6.1.34）最大化的问题。当k时，学生t-分布接近于正态分布。注 式（6.1.34）和（6.1.35）中的()代表 函数：若N是偶整数，则(N/2)=12 3(N/2)-1，有(2/2)=1；若N是奇整数，则，有。,38,3扰动项的分布为广义误差分布（GED）时，GARCH(1,1)模型的对数似然函数的形式为（6.1.35）这里的参数r 0。如果r=2，那么GED就是一个正态分布。,39,6.1.7 ARCH-M模型 金融理论表明具有较高可观测到风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均值方程中:（6.1.38）ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：（6.1.41）或取对数（6.1.42）,40,ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指数的收益率（returet）依赖于一个常数项及条件方差(风险)：这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。,41,在EViews中估计ARCH模型,估计GARCH和ARCH模型，首先选择Object/New Object/Equation，然后在Method的下拉菜单中选择ARCH，得到如下的对话框。,图6.5 ARCH模型定义对话框,42,与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方程。一、均值方程(Mean equation)在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表中加入C。如果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。,43,如果解释变量的表达式中含有ARCHM项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。EViews中的ARCH-M的下拉框中，有4个选项：1.选项None表示方程中不含有ARCHM项；2.选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差；3.选项Variance则表示在方程中含有条件方差 2。4.选项Log(Var)，表示在均值方程中加入条件方差的对数ln(2)作为解释变量。,44,二、方差设定和分布设定(Variance and distribution specification)EViews的选择模型类型列表(1)在下拉列表中可以选择所要估计的ARCH模型的类型。,45,设定了模型形式以后，就可以选择ARCH项和GARCH项的阶数。缺省的形式为包含一阶ARCH项和一阶GARCH项的模型，这是现在最普遍的设定。如果估计一个非对称的模型，就应该在Threshold编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为0。可以估计含有多个非对称项的非对称模型。这里需要注意，EViews只能估计Component ARCH(1,1)模型，也就是说如果选择该项，则不能再选择ARCH项和GARCH项的阶数，但可以通过选择包含非对称项来估计非对称Component ARCH模型，但该模型也只能包含一个非对称项。,46,（2）在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出C。（3）约束（Restriction）下拉列表则允许我们进行IGARCH约束或者方差目标（variance target）约束，当然也可以不进行任何约束（None）。,47,(4)Error组合框可以设定误差的分布形式：缺省的形式：Normal（Gaussian），备选的选项有：Students-t；Generalized Error（GED）；Students-t with fixed df.；GED with fixed parameter。需要注意，选择了后两个选项的任何一项都会弹出一个选择框，需要在这个选择框中分别为这两个分布的固定参数设定一个值。,48,三、估计选项（Options）EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击Options按钮并按要求填写对话即可。,49,1.回推(Backcasting)在缺省的情况下，MA初始的扰动项和GARCH项中要求的初始预测方差都是用回推方法来确定初始值的。如果不选择回推算法，EViews会设置残差为零来初始化MA过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经验告诉我们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化GARCH模型的效果要理想。,50,2.系数协方差(Coefficient Covariance)点击Heteroskedasticity Consistent Covariances计算极大似然（QML）协方差和标准误差。如果怀疑残差不服从条件正态分布，就应该使用这个选项。只有选定这一选项，协方差的估计才可能是一致的，才可能产生正确的标准差。注意如果选择该项，参数估计将是不变的，改变的只是协方差矩阵。,51,3.导数方法(Derivatives)EViews现在用数值导数方法来估计ARCH模型。在计算导数的时候，可以控制这种方法达到更快的速度（较大的步长计算）或者更高的精确性（较小的步长计算）。4.迭代估计控制(Iterative process)当用默认的设置进行估计不收敛时，可以通过改变初值、增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代控制。5算法选择(Optimization algorithm)ARCH模型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用选择迭代算法（Marquardt、BHHH/高斯-牛顿）使其达到收敛。,52,例6.3 沪市股票价格指数波动的GARCH模型 在例6.1中，检验了方程（6.1.13）含有ARCH效应。因此利用GARCH(1，1)模型重新估计式（6.1.12），结果如下：,53,ARCH估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数，标准误差，z-统计量和方差方程系数的P值。在方程(6.1.12)中ARCH的参数对应于，GARCH的参数对应于。在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值方程。注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准回归统计量，例如R2也就没有意义了。,54,利用GARCH(1,1)模型重新估计例6.1的方程如下：均值方程：(2.74)(1480)方差方程：(13.49)(17.69)(75.61)R2=0.997,55,方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数都是统计显著的，说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条件异方差的ARCHLM检验，取滞后阶数p=3。结果统计量的相伴概率为P=0.927，说明利用GARCH模型消除了原残差序列的异方差效应。ARCH项和GARCH项的系数和小于1，满足参数约束条件。,56,利用GARCH(0,1)模型重新估计例6.2的中国CPI模型 均值方程：(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)方差方程：(5.03)(3.21)R2=0.997,57,方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行异方差的ARCH LM检验，得到的残差序列在滞后阶数p=1时的统计结果：接受原假设，认为该残差序列不存在ARCH效应，说明利用ARCH(1)模型消除了残差序列的条件异方差性。,58,残差平方相关图的检验结果为：自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明了残差序列不再存在ARCH效应。,59,例6.4 估计我国股票收益率的ARCHM模型 选择的时间序列是1996年1月1日至2006年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数sp，股票的收益率是根据公式：re ln(spt/spt-1)，即股票价格收盘指数对数的差分计算出来的。ARCH-M模型：re+t+ut,60,61,估计出的结果写成方程:均值方程:(-2.5)(2.9)方差方程:(12.46)(18.38)(74.8)对数似然值=8126 AIC=-5.66 SC=-5.65 在收益率方程中包括 t 的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基础“均值方程假设”的含义。在这个假设下，应该是正数，结果=0.21，因此我们预期较大值的条件标准差与高收益率相联系。估计出的方程的所有系数都很显著。并且方差方程系数+之和小于1，满足平稳条件。均值方程中t 的系数为0.21，表明当市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导致收益率也相应的增加0.21个百分点。,62,ARCH模型的视图与过程,一旦模型被估计出来，EViews会提供各种视图和过程进行推理和诊断检验。一、ARCH模型的视图 1.Actual,Fitted,Residual 窗口列示了各种残差形式，例如，表格，图形和标准残差。2.条件SD图 显示了在样本中对每个观测值绘制向前一步的标准偏差t。t 时期的观察值是由t-1期可得到的信息得出的预测值。,63,3.协方差矩阵 显示了估计的系数协方差矩阵。大多数ARCH模型（ARCHM模型除外）的矩阵都是分块对角的，因此均值系数和方差系数之间的协方差就十分接近零。如果在均值方程中包含常数，那么在协方差矩阵中就存在两个C；第一个C是均值方程的常数，第二个C是方差方程的常数。4.系数检验 对估计出的系数进行标准假设检验。,64,5.残差检验/相关图-Q-统计量 显示了标准残差的相关图（自相关和偏自相关）。这个窗口可以用于检验均值方程中的剩余的序列相关性和检查均值方程的设定。如果均值方程是被正确设定的，那么所有的Q统计量都不显著。,65,二、ARCH模型的过程 1构造残差序列 将残差以序列的名义保存在工作文件中，可以选择保存普通残差 ut 或标准残差 ut/t。残差将被命名为RESID1，RESID2等等。可以点击序列窗口中的name按钮来重新命名序列残差。2构造GARCH方差序列 将条件方差t2以序列的名义保存在工作文件中。条件方差序列可以被命名为GARCH1，GARCH2等等。取平方根得到如View/Conditional SD Gragh所示的条件标准偏差。,66,3预测 例3 假设我们估计出了如下的ARCH(3)(采用Marquardt方法)模型：(留下2001年11月2001年12月的2个月做检验性数据),67,使用估计的ARCH模型可以计算因变量的静态的和动态的预测值，和它的预测标准误差和条件方差。为了在工作文件中保存预测值，要在相应的对话栏中输入名字。如果选择了Do gragh选项EViews就会显示预测值图和两个标准偏差的带状图。,68,估计期间是1/02/1995-10/30/2001，预测期间是11/01/2001-12/31/2001左图表示了由均值方程和SP的预测值的两个标准偏差带。,69,70,6.2 非对称ARCH模型,在资本市场中，经常可以发现这样的现象：资产的向下运动通常伴随着比之程度更强的向上运动。为了解释这一现象，Engle和Ng（1993）绘制了好消息和坏消息的非对称信息曲线，波动性 0 信息,71,资本市场中的冲击常常表现出一种非对称效应。这种非对称性是十分有用的，因为它允许波动率对市场下跌的反应比对市场上升的反应更加迅速，因此被称为“杠杆效应”，是许多金融资产的一个重要事实特征。例如，许多研究人员发现了股票价格行为的非对称实例负的冲击似乎比正的冲击更容易增加波动。本节将介绍2种能够描述这种非对称冲击的模型：TARCH模型和EGARCH模型。,72,6.2.1 TARCH模型 TARCH或者门限(Threshold)ARCH模型由Zakoian(1990)和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)独立的引入。条件方差指定为：(6.2.1)其中，dt-1是虚拟变量：当ut-10)和坏消息(ut 0，我们说存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果 0，则非对称效应的作用是使得波动减小。,73,许多研究人员发现了股票价格行为的非对称的实例。负的冲击似乎比正的冲击更容易增加波动。因为较低的股价减少了相对公司债务的股东权益，股价的大幅下降增加了公司的杠杆作用从而提高了持有股票的风险。估计TARCH模型，EViews要在Threshold选项中填“1”，表明有1个非对称项，可以有多个。,74,对于高阶TARCH模型的制定，EViews将其估计为：(6.2.2),75,例6.5 中国CPI的TARCH模型 本例利用例6.2的我国消费价格指数CPI和货币政策变量数据建立TARCH模型:均值方程：方差方程：,76,估计结果如下：,77,写成方程：均值方程：z=(13.14)(-2.59)(3.67)(-2.77)方差方程：z=(8.14)(2.55)(-1.87)R2=0.99 对数似然值=-150.27 AIC=1.87 SC=2.0,78,在TARCH模型中，非对称效应项的系数 显著不等于零，说明本例的CPI波动具有非对称效应。ut-1 0是“好消息”，此时CPI大于货币政策的拟合值；ut-1 0，则 dt-1 0，所以该冲击会给CPI带来一个=0.69倍的冲击。而出现“坏消息”时，ut-1 0，此时 dt-1 1，则“坏消息”仅会带来一个=0.69+(-0.568)=0.122 倍的冲击。由于非对称效应项的系数 是负数，因此所带来的冲击是减少CPI的波动，表明货币政策的实施能够减少价格的波动。,79,6.2.2 EGARCH模型,EGARCH或指数（Exponential）GARCH模型由纳尔什（Nelson，1991）提出。条件方差被指定为：(6.2.3)等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。杠杆效应的存在能够通过 0)和坏消息(ut 0)对条件方差有不同的影响：好消息有一个+的冲击；坏消息有一个对+(-1)的冲击。如果 0，则信息是非对称的。,80,EViews指定了更高阶的EGARCH模型：(6.2.4)估计EGARCH模型只要选择ARCH指定设置下的EGARCH 项即可。克里斯汀(Christie，1982)的研究认为，当股票价格下降时，资本结构当中附加在债务上的权重增加，如果债务权重增加的消息泄漏以后，资产持有者和购买者就会产生未来资产收益率将导致更高波动性的预期，从而导致该资产的股票价格波动。因此，对于股价反向冲击所产生的波动性，大于等量正向冲击产生的波动性，这种“利空消息”作用大于“利好消息”作用的非对称性，在美国等国家的一些股价指数序列当中得到验证。,81,6.2.3 PARCH模型 Taylor（1986）和Schwert（1989）介绍了标准差的GARCH模型。这个模型模拟的不是方差，而是标准差。这样，大幅冲击对条件方差的影响比在标准GARCH模型中要小。基于这种思想，Ding et al.(1993)对该模型进一步加以拓展，提出了PARCH（power ARCH）模型。该模型指定的条件方差方程的形式为（6.2.6）其中：0，当 i=1,2,r 时|i|1，当 ir 时，i=0,r p。,82,在PARCH模型中，标准差的幂参数 是估计的，而不是指定的，用来评价冲击对条件方差的影响幅度；而 是捕捉直到 r 阶的非对称效应的参数。在对称的PARCH模型中，对于所有的 i，i=0。需要注意，如果对于所有的 i，=2 且 i=0，PARCH模型就退化为一个标准的GARCH模型。和前面介绍的非对称模型一样，只要 i 0，非对称效应就会出现。,83,例6.6 股票价格波动的TARCH模型和EGARCH模型 那么在我国的股票市场运行过程当中，是否也存在股票价格波动的非对称性呢？利用沪市1996年1月1日至2006年12月31日的股票收盘价格指数数据，我们估计了股票价格波动的两种非对称模型，结果分别如下：TARCH模型：均值方程：(3.5)(1598)方差方程：(13.75)(12.41)(2.02)(72.97)R2=0.997 AIC=-5.66 SC=-5.65,84,85,杠杆效应项 由结果中的RESID(-1)2(RESID(-1)0)描述，它是显著为正的，所以存在非对称影响。在TARCH模型中，杠杆效应项的系数显著大于零，说明股票价格的波动具有“杠杆”效应：利空消息能比等量的利好消息产生更大的波动：当出现“利好消息”时，即当 t 0 时，有一个 的冲击；而出现“利空消息”时，即当 t 0 时，则会带来 的冲击。,TARCH模型:,86,EGARCH模型：均值方程：(8.4)(2525.4)方差方程：(-17.3)(27.68)(-3.6)(678.02)R2=0.997 AIC=-5.22 SC=-5.2,87,88,这个例子中，利空消息能比等量的利好消息产生更大的波动的结果在EGARCH模型中也能够得到印证，在EGARCH模型中，其非对称项 的系数小于零，。当t 0 时，有一个 倍的冲击；当t 0 时，有一个 倍冲击。此例中 是负的并在统计上是显著的，这表明在样本期间沪市的股票收盘价格指数中存在杠杆效应。,EGARCH模型:,89,PARCH模型：均值方程：(2.68)(1417.7)方差方程：(1.38)(15.86)(-2.07)(57.84)R2=0.997 AIC=-5.66 SC=-5.64,90,91,这个例子中，利空消息能比等量的利好消息产生更大的波动的结果在PARCH模型中也能够得到印证，在PARCH模型中，其非对称项 的系数。当t 0 时，有一个 倍的冲击；当t 0 时，有一个 倍冲击。此例中 是正的并在统计上是显著的，这表明在样本期间沪市的股票收盘价格指数中存在杠杆效应。,PARCH模型:,92,以估计出的EARCH模型的结果为例，可以绘制出相应的信息曲线。在EGARCH模型的条件方差方程中（6.2.7）假设残差 ut 服从条件正态分布。设（6.2.8）令zt=ut/t，则（6.2.9）函数 f()称为“信息冲击曲线”，f()包含了非对称效应，就是在冲击ut/t下的描绘波动率t2的曲线。,93,图6.3 沪市的股票价格收盘指数的信息冲击曲线,从图6.3可以看出，这条曲线在信息冲击小于0时，也就是代表负冲击时，比较陡峭，而在正冲击时则比较平缓。这就说明了负冲击使得波动性的变化更大一些。,94,6.3 成分ARCH模型(Component ARCH Model),GARCH(1,1)模型将条件方差设定为：(6.3.1)令 其中 是非条件方差或长期波动率，(6.3.1)变为：(6.3.2)表示了均值趋近于，这个 在所有时期都为常数。,95,成分ARCH模型允许均值趋近于一个变动的水平qt：暂时成分:(6.3.3)长期成分:(6.3.4)此处t 仍然是波动率，而qt 代替了，它是随时间变化的长期变动。(6.3.3)描述了暂时成分 t2-qt，它将随+的作用收敛到零。(6.3.4)描述了长期成分qt 它将在 的作用下收敛到。典型的 在0.99和1之间，所以qt 缓慢的接近。,96,把暂时方程和长期方程联合起来：(6.3.5)该方程表明了成分ARCH模型是一个非线性的严格的GARCH(2,2)模型。在成分ARCH模型的条件方差方程中，可以包含进外生变量，它可以在长期方程中，也可以在暂时方程中（或者两者均可）。暂时方程中的变量将对变化率的短期移动产生影响，而长期方程中的变量将影响变动率的长期水平。,97,在暂时方程中还可以引入非对称影响，称为非对称的成分ARCH模型。它的条件方差方程的形式为：(6.3.6)(6.3.7)其中 z 是外生变量，d 是虚拟变量，表示负的冲击，当