高等代数在解析几何中的应用.docx

学号10051107哈尔滨学院学士学位论文高等代数在解析几何中的应用院（系）名称:专业名称:学生姓名:指导教师:理学院数学与应用数学范莉娜方晓超讲师哈尔滨学院2014年7月学号10051107密级公开高等代数在解析几何中的研究英文范莉娜理学院数学与应用数学方晓超讲师哈尔滨学院学生姓名：所在学院：所在专业：指导教师：职称：所在单位：论文提交日期:论文答辩日期:学位授予单位:关键词：二次型,摘要Keywords:ABSTRACTMathodsof,>Z,1刖百行列式出现于第一章线性代数在解析几何中的应用1.1向量在解析几何中的应用1.1.1向量的定义定义1.1：即有大小，又有方向的量成为向量（或矢量）。向量有两个特征，即有大小，又有反向，向量的几何图型是一个有向线段。在几何上，向量可以用有向线段表示。例如,有向线段通的长度I丽表示向量的大小（或称向量的模），用箭头f表示向量的方向，即短点4B所指的方向，端点A,8分别称为向量的起点和终点。用有向线段表示的向量称为几何向量。112向量的加法定义L2：设,/为空间中两个向量。在空间任取一点。，作O4=,AB=,称向量OB=/为。与P的和，（仍采用数的加法记号）记作。+万，即。=OB=a+c称此运算为向量的加法，加法法则称为三角形法则。三角形法则等价于平行四边形法则：从空间中一点。，作m=,历=夕，再以OAOB为边作平行四边形。4C3,则对角线上的向量历=/就是之和a+夕1)2)由定义不难验证向量的加法满足下列运算规律:a+=+a（交换律）（a+/7）+/=+（y+7）结合律3)4) + (-) = 0直角坐标系定义1.3：如果i,/,Z是两两垂直的长度为1的向量，则称坐标系0",R为直角坐标系。若i,/,女两两垂直，则它们一定不共面。因而直角坐标系是特殊的仿射坐标系。点（或向量）在直角坐标系下的坐标称为它的直角坐标。1.1.3用坐标进行向量的线性运算在空间取定仿射坐标系O;a,p,y。设用的坐标,&的坐标是为，则利用向量加法的交换律和结合律有l+2=(x1+y+Zly)+(x2a+y2+z2=Gl+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)/类似地,i-2=(x1-¾)+(y1y2)0+(z1-z2)任意ksR,利用数乘向量的分配律与结合律有k=k(xa+y+Zy)=(kxa÷(ky)+(kz)这说明用士名的坐标是y1±y2,攵6的坐标是kyz±Z2因此求向量的和（差）及数量的乘积的坐标只需对各个坐标进行相应的数量运算就行。数量积。定义1.4：两个向量与夕的数量积（也称内积或点积）规定为一个实数，它等于这个向量的长度与它们夹角。=a,尸的余弦的乘积，记作a?,即有a'=o0cos用坐标计算向量的向量积先设;z,/,曲为仿射坐标系，a=axi+ayj+azk,=hxi+byj+bzk,则a×=+ayj+a2k)×(bxi+yyj+bzk)=。也C×0÷AO,X力+也。X%)+%瓦(JX0+ayby(×7)+aybz(j×k)azbx(kXz)+azby(k×7)+azbz(kXk)可见，只要知道基向量i,/,女之间的数量积，就可以求出任意两个向量的数量积。这九个数称为仿射坐标系。演，曲的度量参数。现在设。;仃,&是直角坐标系，则有zZ=jj=kk=l,ij=jk=ki=2于是由上上式得到a=axbx+ayby+a,b.因此有如下定理。定理LL在直角坐标系下，两个向量的数量积等于它们的对应坐标的乘积之和。例：用向量证明三角形的余弦定理。证：作ABC,令N=,而=尸,而=7,则y=-/。于是I/=77=()(-=2÷J2.2ayS=tz2+2-2y0cos(a,)o余弦定理说明了如何由三角形三边长去计算三个顶角的余弦。利用上上式，余弦定理也可以改写成+价=同2+|徘+2-co-从上式不难看出同期coxa*='。+"。-2-72)上式含有长度及两向量的夹角。我们也可以利用它来定义数量积。即6=悯COSe或二6=(j+2-a2)这样定义的数量积通用满足定理。1.2 矩阵的秩在解析几何中的应用矩阵的秩是代数中的基础概念，将它的理论推广到解析几何中，会收到很好的效果,下面就是矩阵的秩关于解析几何的几个定理和应用。定理1.2已知平面!:01x+Z>1y+c1z=tZ1-sFW,2a2x+b2y+c2z=d2,设线性方程组alx+bly+clz=J1a2x+b2y+C2Z=d2的系数矩阵为A,增广矩阵为N,则：1）若秩（八）=秩（八）=2,平面距与平面;r2相交于一条直线;2）若秩（八）二秩0）=1,平面匹与平面42重合；3）若秩（八）=1,但是秩（旬=2,平面可与平面乃2平行。定理1.3已知两个平面X=Xy+aiu+a2/X=x2+aiu+a4y=y+bxu+b2y=y2+b3u+b4Z=Z1+C1M+C2/z=z2+C3U+c4的矩阵：aa2c3a4aa2a3a4x2-xbib2b3b4和瓦b1b3b4y2-yiclc2C3C_Clc2C3C4Z2-Zi_的秩分别是和R,则:1）两个平面相交的充要条件是r=3；2）两个平面平行且相异的重演条件是r=2,R=3；3）两个平面重合的充要条件是r=R=2.定理三已知一个平面和一条直线：X=Xo=y,0+b田+与居Z=Z0+C1w+c2bqb2x=xl+a3t9y=yl+b3t<z=Zl+C3f的矩阵:b2b3y-J0的秩分别是和H，则,c2。3zI-zO_1）直线与平面相交的充要条件是厂=3；2）直线与平面没有公共点的充要条件是r=2,R=3；3）直线属于已知平面的充要条件是厂=R=2。已知三个平面:qx+仇y+cz+4=0,a2x-b2y+c2z-d2=0a3x+b3y-c3z+d3=0设r和R分别是矩阵4bGA=a2b2C2Q%C3%blC14B=a2b2c2d2的秩，则:%A。341）三个平面有唯一公共点的充要条件是=3；2）三个平面两两互异且有唯一公共点的充要条件是r=R=2,且矩阵A的任何两行不成比例；3）三个平面两两相交且每两个平面的交线平行于第三个平面的充要条件是r=2,R=3,且矩阵A的任何两行都不成比例；4）两个平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是*=2,R=3且4的两行成比例;5）三个平面互相平行的充要条件是，=1,R=2,B的任何两行都不成比例；6）两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是尸=R=2,且B的两行成比例饿；7）两个平面重合，第三个平面与它们平行的充要条件是=1,R=2,且B的两行不成比例；8）三个平面重合的充要条件是r=R=l°定理1.4已知两条平行线卜z+4=°a2x+b2y+c2z+d2=Oa3x+仇y+c3z+4=0a4x+b4y+c4z+d4=0矩阵1)2)3)4)例:A Ga仇b2 c2和a2 b2% C3% b3乌b44d2X的秩分别为/和R,则:两条直线既不平行也不相交的充要条件是r=3, R = 4 ；两条直线相交的充要条件是r=R = 3;两条直线平行且互异的虫咬条件是尸=2, R = 3 ；两条直线重合的充要条件是r=R = 2o证明下列两条直线互相平行:x+2y-z=7-2x+y + z = 7与、3x+6y-3z=81.2J2x-y-z=0证明：由定理4的3)只需证明r=2,R=3。1-232216-1. A 1OOO-11-3-125 O-51-232216-1-11-3-1.,(A) =81OOO25O-5r = 2-1-1O-7-2131412-1-705-1-2000130000.,(b)=R = 3,故由定理四3)秩, 解析几何证明：两条直线平行。-2 1= -9-3-15-7-7一8 O故52=-3号,即552,亦即两条直线平行。从上面两种证法可以看出：采用矩阵的秩的有关结论证明平面与平面的位置关机：直线与直线的位置关系是简单而又方便的。1.3 齐次线性方程组在解析几何中的应用定理：齐次线性方程组iix1+12x2+xz,=a21x1+22x2+2rt,f=0q内+%2+%=O有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零。即«1162aX.,a2a22a2tlD=anan2ann只有零解的充要条件是它的系数行列式不等于零。即D0该定理在线性代数中是作为克莱姆法则的两个推论给出的。例1：试证向量=,3C,0=的也'Q'C=%也,j共面的充要条件是abGa2b2c2=0%b3C3证：a,b,C共面Oa=肪+“=。一劝一C=Ooa-bx-cx=O<a2-b2-c2=Oai-bi-c3t=O显然可见(1-,-a)是齐次线性方程组4R+力J+CZ=O<a2x+b2y+C2Z=Oa3x+b3y+c3z=O的一组非零解，由定理可知，ab、Ga2b2c2=O4b3c3例2：若向量A同时垂直于三个不共面向量A,4，43则A=O。证：设A=ai,bi9G,Z=1,2,3,A=x,y9zA,A2,A3不共面，%bG.,.a2b2c2O3b3C3又,A同时垂直于4,A2,A3,qx+Ay+qz=O.,.<a2x+b2y+c2z=Oa3x+hiy+c3z=O4仄G,.a2b2c2Oa3b3c3故齐次线性方程组只有零解，即X=y=0,从而A=O例3求由不共线的三点A(X,y,zJ，Mx2，y2，Z2)C(%3，y3，Z3)所确定的平面万的方程。解：.A肛设乃的方程为：(x-x1)+Zj(y-y1)+c(z-z1)=O,其中,b,c至少有一个不为零。同理，.84,C7,所以有。(工2一)+My2一%)+c(z2-ZI)=Oa(x3-X1)+My3-M)+c(z3-z,)=O于是可以得到一个关于C的齐次线性方程组(x-xl)a+(y-y1)b+(z-zl)c=O.(x2-x1)+G2->j1>+(z2-z1X=O(x3-x1>+(y3-y1>+(z3-z1)c=O。),。不全为零，厂.该方程组至少有一个非零解，由定理可知，其系数行列式的值其为零,即Xfy-y-Z1一再当一22-Z1=0七一的必一弘-z此即乃的方程。例四求四点Aa,必用),5(工2，力，22)。(%3，3,23)。(工4，4,24)在同一平面上的充要条件。解：设A,8,C,力共面于平面Or+6y+cz+d=0(,b,c不全为零)，则有r1+byl+cz+d=Oax2+by2+Cz2+J=O/、cxi+by3+cz3+d=Oax4+by4+cz4÷J=O则(*)是关于变量,h,Gd的齐次线性方程组。又由于b,c不全为零，故a,b,c,d不全为零，即方程组(*)存在一组非零解，由定理知，(*)有一组非零解的充分必要条件是此亦为所求。K必Zl1%Z21=O%Z3IZ”Z41第二章二次型在解析几何中的应用2.1二次型的基本定义设是一个是数域，aijept个文字4/，5的二次齐次多项式+ + 2% 再怎/(x1,x2,xw)=11xj2+2ai2xix2+2a3x1x3+a22x1÷2¾x2x3+2a2nx2xn+a篇=ZQXj=1j=1当为为实数时，称/为实二次型;称为数域P上的一个元二次型，简称二次型。当出为复数时，称f为复二次型。设阶对称矩阵1%anJ则元二次型可表示为下列矩阵形式:/(xpx2,x3,xj = (x,x2,x3,xjai2a22In2nXtAXo其中X=(M,8,工3,，当),对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。定义2.1：二次型/(再,工2/3,，x)可唯一的表示成/(x1,2,x3,xJ=XAX,其中，X=(x1,x2,x3,.,xJ,A=(¾)为对称矩阵，称上式二次型的矩阵形式，称A为二次型的矩阵，称A的秩为二次型/的秩。二次曲面标准方程：椭球面7÷7=1(>O,Z?>O,C>0)abc22222椭圆抛物面：m+*=z（p与q同号）22p单叶双曲面：+4-=abc222双叶双曲面：一三2+彳=1abc222二次锥面：»彳=02.2 二次型的最值得判定与求法一般的元二次多项式的形式为卢为+2£3,+ci=7=1/=1而上式存在最值得充要条件为ZZaM匕+224再=lI=I存在最值(上式中%=%j,故只需要对上式进行讨论。2.3 二次型与二次曲线与二次曲面二次曲面的一般方程11x2+a22y2+a33z2+2anxy+2al3xz+2a23yz+blx+b2y+b3z+c=O其中%,%c(i,)=1,2,3)都是实数，我们记X =(x,y,Z)7,她也也),，A=。21a22a2331a3233>其中为=盯利用二次型的表示方法，方程(1)可表示成下列形式：XI Ax+b,X-C=O为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分布进行。第一步，利用正交变换X=Py将方程(2)的左边的二次型/Ax的部分化成标准型:xAx=lxf+1y+A3Zj2其中P为正交矩阵，y=(xpypz1)r,相应地有h1X=b1Py=(bP)y=1x1+k2yx÷Ar3Zl于是方程(2)可化为1xl2+22x12÷23z12+kxxx+k2yx+3z1+c=0(3)第二步，作平移变换R=y+y°,将方程上式化为标准方程，其中9=0AN),这里只要用配方法就能找到所用的平移变换，以下对人,4是否为零进行讨论：(1)当4，4，4工0时，用配方法将方程(3)化为标准方程：2ix2+2y2+23z2=d(4)根据与d的正负号，可具体确定方程(4)表示什么曲面。例如4,4,4与d同号，则方程(4)表示椭球面。(2)当4,4，%中有一个为0,设Z=。方程(3)可化为1x2+l2y2=)lz(z30)(5)lx2+2y1=d(k3=0)(6)不妨设4 =4=0,方程（3）可化为下列情况之根据4,4与d的正负号。可具体确定方程（5）（6）表示什么曲面。例如当4,4同号时，方程（5）表示椭球抛物面。当4，4异号时，方程（5）表示双曲抛物面,（6）表示柱面。（3）当4,4,%中有两个为。，*:（a） +而+42=0（p,qH0）炉+衣 方-P豆=yZ = l"+q2p7+方程可化为：此时，再作新的坐标变换：x=xy（实际上是绕工轴的旋转变换），V2+P2+<72y=0表示抛物柱面；（b） ix2+py=0(p0)表示抛物柱面;(C)ix2+qz=0(q0)表示抛物柱面（d）4V+4=o若4与a异号，表示两个平面平行；若4与d同号，图形无实点，若d=0,表示*Z做表面。例：二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面。2x2+3y2+4z2+4xy+4yz+4x-2y+12z+10=0解将二次曲面的一般方程写成矩阵形式X7Ax+Z?7x+10=0, 4b= -2J2(220、A=23224,IA4国=-九+9-18=(3)(46)A的特征值为4=6,4=3,4=0,分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：Pi =32325；Pi= §_223_231< 3 >取P=（P/2，P3），则P为正交矩阵，作正交变换X=Py,其中y(*,yzJ7,则有:xAx=6xjz+3y；b=(prP)y=8x1-6y1+8z1因此，原方程可化为：6x12÷3y：+8xl-6y1+8zl+10=O配方得：+g)+3()'ITr+8Z1+卷)=°人8-117令=M+§，'=H-Lz=z+及则原方程化为标准方程：6x2+3y2+8z=0该曲面为椭球抛物面。例：将二次曲面Z=个的方程化为标准方程，并说明它是什么曲面。解Z=孙可写成Xy-Z=0,令用.该曲面方程用矩阵形式表示为：IAZjA的特征值为4=一-,=,A3=0(1)2PT,0/取P=(PI,P2,P3),则尸为正交矩阵X=Py,)，(再,y,zj,则有：T41912XAY=-/+5M(1A/、0-0,02Z?=0,A=LoO12I-1J000k/xAx+bX=O,分别求出它们所对应当然特征向量，并单位化得:1八PI=TT，P=O0/O作正交变换FF°X=(OA-I)0y1010KzJ因此，所给二次曲面化为标准方程为：-+>,i2-21=0即 =-x12÷12注：所作的正交变换实际上是一个旋转变换，Z轴不动，逆Z轴方向看去，X轴，y轴顺时针方向旋转45°角。例：求My面上的椭圆ax2+2bxy+cy2=1的面积。其中>0,ac-/>()E-T =-a -b-b -c=22 -( + c) + ac-b2解：设二次型fx,y)=ax2+2bxy+cy2其系数矩阵T=bac-b2>0f知T正定，故特征值全大于0,其特征多项式为:特征方程有两个正的实根：4，4，且对实对称矩阵，存在正交矩阵P使得故椭圆的标准方程为4戈；+4弁=1椭圆的两半轴分别为故其面积为：11