向量难题附加解析.doc

高中数学组卷一选择题共4小题12015#校级一模在ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,P为EF上的任一点,实数x,y满足,设ABC,PBC,PCA,PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记,则23取到最大值时,2x+y的值为A1B1CD22015哈尔滨校级三模已知O为正三角形ABC内一点,且满足,若OAB的面积与OAC的面积比值为3,则的值为AB1C2D332014安庆三模如图所示,设P为ABC所在平面内的一点,并且=+,则ABP与ABC的面积之比等于ABCD42013重庆在平面上,|=|=1,=+若|,则|的取值范围是A0,B,C,D,二填空题共6小题52011#已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为62012湖南如图,在平行四边形ABCD中,APBD,垂足为P,且AP=3,则=72014余杭区校级模拟如图,ABCD是边长为4的正方形,动点P在以AB为直径的圆弧APB上,则的取值范围是82014韶关模拟已知AD是ABC的中线,若A=120°,则的最小值是92010武昌区模拟ABC的面积为1,P为ABC内一点,且,则BCP的面积为102014#如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,=2,则的值是2016年02月12日MISAYA的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题共4小题12015#校级一模在ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,P为EF上的任一点,实数x,y满足,设ABC,PBC,PCA,PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记,则23取到最大值时,2x+y的值为A1B1CD考点平面向量的基本定理与其意义；三角形的面积公式专题计算题；压轴题；不等式的解法与应用；平面向量与应用分析根据三角形中位线的性质,可得P到BC的距离等于ABC的BC边上高的一半,从而得到S1=S=S2+S3由此结合基本不等式求最值,得到当23取最大值时点P在EF的中点再由向量的加法的四边形法则,算出,结合已知条件的等式,可求出x、y的值,从而算出2x+y的值解答解：由题意,可得EF是ABC的中位线,P到BC的距离等于ABC的BC边上高的一半,可得S1=S=S2+S3由此可得23=当且仅当S2=S3时,即P为EF的中点时,等号成立+=由向量的加法的四边形法则可得,两式相加,得由已知得根据平面向量基本定理,得x=y=,从而得到2x+y=综上所述,可得当23取到最大值时,2x+y的值为故选：D点评本题给出三角形中的向量等式,在已知面积比2、3的积达到最大值的情况下求参数x、y的值,着重考查了运用基本不等式求最值、平面向量的加法法则和平面向量基本定理等知识,属于中档题22015哈尔滨校级三模已知O为正三角形ABC内一点,且满足,若OAB的面积与OAC的面积比值为3,则的值为AB1C2D3考点向量在几何中的应用；平面向量的基本定理与其意义专题计算题；压轴题分析如图D,E分别是对应边的中点,对所给的向量等式进行变形,根据变化后的条件得到；由于正三角形ABC,结合题目中的面积关系得到=,由可得O分DE所成的比,从而得出的值解答解：,变为如图,D,E分别是对应边的中点,由平行四边形法则知故在正三角形ABC中,=,且三角形AOC与三角形ADC同底边AC,故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一,故=,=由得=故选A点评本小题主要考查向量的加法与减法,与向量共线的几何意义等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题32014安庆三模如图所示,设P为ABC所在平面内的一点,并且=+,则ABP与ABC的面积之比等于ABCD考点向量在几何中的应用专题计算题；压轴题分析本题考查的知识点是向量在几何中的应用,与三角形面积的性质,由ABP与ABC为同底不等高的三角形,故高之比即为两个三角面积之间,连接CP并延长后,我们易得到CP与CD长度的关系,进行得到ABP的面积与ABC面积之比解答解：连接CP并延长交AB于D,P、C、D三点共线,=+,且+=1设 =k,结合=+,得=+由平面向量基本定理解之,得=,k=3且=,=+,可得=,ABP的面积与ABC有相同的底边AB高的比等于|与|之比ABP的面积与ABC面积之比为,故选：C点评三角形面积性质：同等底同等高的三角形面积相等；同等底三角形面积这比等于高之比；同等高三角形面积之比等于底之比42013重庆在平面上,|=|=1,=+若|,则|的取值范围是A0,B,C,D,考点向量在几何中的应用；平面向量的基本定理与其意义专题压轴题；平面向量与应用分析建立坐标系,将向量条件用等式与不等式表示,利用向量模的计算公式,即可得到结论解答解：根据条件知A,B1,P,B2构成一个矩形AB1PB2,以AB1,AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系,设|AB1|=a,|AB2|=b,点O的坐标为x,y,则点P的坐标为a,b,由=1,得,则|,xa2+y2=1,y2=1xa21,y21同理x21x2+y22由知,|=,|故选D点评本题考查向量知识的运用,考查学生转化问题的能力,考查学生的计算能力,属于难题二填空题共6小题52011#已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为5考点向量的模专题平面向量与应用分析根据题意,利用解析法求解,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A2,0,B1,a,C0,a,D0,0,设P0,b0ba,求出,根据向量模的计算公式,即可求得,利用完全平方式非负,即可求得其最小值解答解：如图,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A2,0,B1,a,C0,a,D0,0设P0,b0ba则=2,b,=1,ab,=5,3a4b=5故答案为5点评此题是个基础题考查向量在几何中的应用,以与向量模的求法,同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力62012湖南如图,在平行四边形ABCD中,APBD,垂足为P,且AP=3,则=18考点平面向量数量积的运算专题计算题；压轴题分析设AC与BD交于O,则AC=2AO,在RtAPO中,由三角函数可得AO与AP的关系,代入向量的数量积=|cosPAO可求解答解：设AC与BD交于点O,则AC=2AOAPBD,AP=3,在RtAPO中,AOcosOAP=AP=3|cosOAP=2|×cosOAP=2|=6,由向量的数量积的定义可知,=|cosPAO=3×6=18故答案为：18点评本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用,解题的关键在于发现规律：AC×cosOAP=2×AOcosOAP=2AP72014余杭区校级模拟如图,ABCD是边长为4的正方形,动点P在以AB为直径的圆弧APB上,则的取值范围是0,16考点平面向量数量积的运算专题计算题；综合题；压轴题分析以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图坐标系,可得C2,4,D2,4,P2cos,2sin,得到、坐标,用向量数量积的坐标公式化简,得=1616sin,再结合0,不难得到的取值范围解答解：以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图坐标系则圆弧APB方程为x2+y2=4,y0,C2,4,D2,4因此设P2cos,2sin,0,=22cos,42sin,=22cos,42sin,由此可得=22cos22cos+42sin42sin=4cos24+1616sin+4sin2=1616sin化简得=1616sin0,sin0,1当=0或时,取最大值为16；当=时,取最小值为0由此可得的取值范围是0,16故答案为：0,16点评本题给出正方形内半圆上一个动点,求向量数量积的取值范围,着重考查了平面向量数量积的运算性质和圆的参数方程等知识,属于中档题82014韶关模拟已知AD是ABC的中线,若A=120°,则的最小值是1考点向量在几何中的应用专题压轴题；平面向量与应用分析利用向量的数量积公式,与三角形中线向量的表示,利用基本不等式,即可求的最小值解答解：=|cosA,A=120°,7分|=48分= +,|2=|2+|2+2 =|2+|242|4=110分min=112分故答案为：1点评本题考查向量的数量积,基本不等式,考查学生的计算能力,属于中档题92010武昌区模拟ABC的面积为1,P为ABC内一点,且,则BCP的面积为考点向量在几何中的应用专题计算题；压轴题分析在ABC中,作出向量,由向量的几何意义,三角形的面积公式,且ABC的面积为1,可以求出BCP的面积解答解：如图,在ABC中,作出,平移,其中,ABC的面积为：S=sinA=1,而ADE,CEP,平行四边形BDEP的面积和为：=|sinA+=,所以BCP的面积为：1=本题也可以通过左移点P：个单位,下移个单位,到点A知BCP边BC上的高h2是ABC边BC上的高h1的,即BCP的面积是ABC的故答案为：点评本题通过作图得出向量的关系,从而求出三角形的面积102014#如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,=2,则的值是22考点向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算专题平面向量与应用分析由=3,可得=+,=,进而由AB=8,AD=5,=3,=2,构造方程,进而可得答案解答解：=3,=+,=,又AB=8,AD=5,=+=|2|2=2512=2,故=22,故答案为：22点评本题考查的知识点是向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算,其中根据已知得到=+,=,是解答的关键7 / 7