圆锥曲线的全参数方程.doc

word二圆锥曲线的参数方程学习目标1.掌握椭圆的参数方程与应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.知识1.椭圆的参数方程中，参数是OM的旋转角吗？提示椭圆的参数方程(为参数)中的参数不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角.2.双曲线的参数方程中，参数的三角函数sec 的意义是什么？提示sec ，其中0，2)且，.3.类比y22px(p0)，你能得到x22py(p0)的参数方程吗？提示(p0，t为参数，tR.)预习导引1.椭圆的参数方程普通方程参数方程1(ab0)(为参数)1(ab0)(为参数)2.双曲线的参数方程普通方程参数方程1(ab0)(为参数)3.抛物线的参数方程(1)抛物线y22px的参数方程是(tR，t为参数).(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.要点一椭圆参数方程的应用例1A、B分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求ABC重心G的轨迹的普通方程.解由题意知A(6，0)，B(0，3).由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos ，3sin )，点G的坐标为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得(为参数)，即故重心G的轨迹的参数方程为(为参数).规律方法，运算更简便.跟踪演练1曲线C1：(t为参数)，曲线C2：1.(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)假如C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x2y70距离的最小值.解(1)由得曲线C1：(x4)2(y3)21，C1表示圆心是(4，3)，半径是1的圆.曲线C2：1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.其参数方程为(为参数)(2)依题设，当t时，P(4，4)；且Q(8cos ，3sin )，故M.又C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|5cos()13|，从而当cos ，sin 时，cos()1，d取得最小值.要点二双曲线参数方程的应用例2求证：双曲线1(a0，b0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明由双曲线1，得两条渐近线的方程是：bxay0，bxay0，设双曲线上任一点的坐标为(asec ，btan )，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，如此d1·d2·(定值).规律方法在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外此题要注意公式sec2tan21的应用.跟踪演练2如图，设P为等轴双曲线x2y21上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|OP|2.证明设P(sec ，tan )，F1(，0)，F2(，0)，|PF1|，|PF2|，|PF1|·|PF2|2sec21.|OP|2sec2tan22sec21，|PF1|·|PF2|OP|2.要点三抛物线参数方程的应用例3设抛物线y22px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQl于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程.解设P点的坐标为(2pt2，2pt)(t为参数)，当t0时，直线OP的方程为yx，QF的方程为y2t，它们的交点M(x，y)由方程组确定，两式相乘，消去t，得y22x，点M的轨迹方程为2x2pxy20(x0).当t0时，M(0，0)满足题意，且适合方程2x2pxy20.故所求的轨迹方程为2x2pxy20.规律方法y22px(p0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，其根本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.跟踪演练3抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，假如|EF|MF|，点M的横坐标是3，如此p_.解析根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y22px，所以y6p，所以E，F，所以3，所以p24p120，解得p2(负值舍去).答案21.圆的参数方程中的参数是半径OM的旋转角，椭圆参数方程中的参数是椭圆上点M的离心角.2.椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数).3.双曲线的参数方程中，参数的三角函数cot 、sec 、csc 的意义分别为cot，sec ，csc.4.抛物线y22px的参数方程(t为参数)，由于，因此t的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.(t为参数)的普通方程是()A.C.解析由参数方程平方相减可得4x2y216，即1，故答案为D.答案D2.椭圆(为参数)的焦点坐标为()A.(0，0)，(0，8) B.(0，0)，(8，0)C.(0，0)，(0，8) D.(0，0)，(8，0)解析利用平方关系化为普通方程：1.焦点(0，0)，(8，0).答案D3.参数方程(为参数)表示的普通方程是_.解析因x21sin ，y22sin ，所以y2x21，又因xsincossin，所以答案为y2x21(|x|且y1).答案y2x21(|x|且y1)4.点P(1，0)到曲线(参数tR)上的点的最短距离为()A.0 B.1 C.解析d2(t21)24t2(t21)2.tR，d1，dmin1.答案B5.点P是椭圆y21上任意一点，求点P到直线l：x2y0的距离的最大值.解因为P为椭圆y21上任意一点，故可设P(2cos ，sin )，其中0，2).又直线l：x2y0.因此点P到直线l的距离d.又0，2)，dmax，即点P到直线e：x2y0的距离的最大值为.一、根底达标1.参数方程(为参数)化为普通方程为()A.x21 B.x21C.y21 D.y21解析易知cos x，sin ，x21，应当选A.答案A2.方程(为参数，ab0)表示的曲线是()A.C.解析由xcos a，cos ，代入ybcos ，得xyab，又由ybcos 知，y|b|，|b|，曲线应为双曲线的一局部.答案D3.假如点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，如此|PF|等于()A.2 B.3 解析抛物线为y24x，准线为x1，|PF|为P(3，m)到准线x1的距离，即为4.答案C4.当取一切实数时，连接A(4sin ，6cos )和B(4cos ，6sin )两点的线段的中点的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C解析设中点M(x，y)，由中点坐标公式，得x2sin 2cos ，y3cos 3sin ，即sin cos ，sin cos ，两式平方相加，得2，是椭圆.答案B5.实数x，y满足3x24y212，如此2xy的最大值是_.解析因为实数x，y满足3x24y212，所以设x2cos ，ysin ，如此2xy4cos 3sin 5sin()，其中sin ，cos .当sin()1时，2xy有最大值为5.答案56.抛物线yx2的顶点轨迹的普通方程为_.解析抛物线方程可化为y，其顶点为，记M(x，y)为所求轨迹上任意一点，如此消去t得yx2(x0).答案yx2(x0)7.如下列图，连接原点O和抛物线yx2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？解抛物线标准方程为x22y，其参数方程为得M(2t，2t2).设P(x，y)，如此M是OP中点.(t为参数)，消去t得yx2，是以y轴为对称轴，焦点为(0，1)的抛物线.二、能力提升8.假如曲线(为参数)与直线xm相交于不同两点，如此m的取值围是()A.R B.(0，)C.(0，1) D.0，1)解析将曲线化为普通方程得(y1)2(x1)(0x1).它是抛物线的一局部，如下列图，由数形结合知0m1.答案D9.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是_.解析将参数方程化为普通方程为y24x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p4p2，如此焦点坐标为(1，0).答案(1，0)10.设曲线C的参数方程为(t为参数)，假如以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，如此曲线C的极坐标方程为_.解析化为普通方程为yx2，由于cos x，sin y，所以化为极坐标方程为sin 2cos2，即cos2sin 0.答案cos2sin 0xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值与此时P的直角坐标.解(1)C1的普通方程为y21.C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin ).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值.d().当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.三、探究与创新12.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.解设椭圆的参数方程是，其中，ab0，02.由e21可得即a2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，如此d2x2a2cos2a2(a2b2)sin23bsin 4b23b2sin23bsin 3b24b23，如果1即b，即当sin 1时，d2有最大值，由题设得()2，由此得b，与b1成立，于是当sin 时，d2有最大值，由题设得()24b23，由此可得b1，a2.所求椭圆的参数方程是由sin ，cos ±可得，椭圆上的点，点到点P的距离都是.12 / 12