四边形中常见辅助线的作法.doc

-儒洋教育学科教师辅导讲义课 题教学目标重点、难点考点及考试要求作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，则过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的*一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作边或线段的平行线，以到达应用*个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边假设相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心和“无心旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于角；第二，是把三角形中的*一线段进展平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表五：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积，往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。添加辅助线解特殊四边形题 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形包括矩形、正方形、菱形的两组对边、对角和对角线都具有*些一样性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有以下几种，举例简解如下：1连对角线或平移对角线：2过顶点作对边的垂线构造直角三角形3连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线4连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。5过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.1利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1，点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.分析:因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC/ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO/ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证.证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形，所以OC/DE，OC=DE，因为0是AC的中点，所以A0/ED，AO=ED， 所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分. 说明：当条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.2利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED/AC，FG/AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.分析:要证明ED+FG=AC,因为DE/AC,可以经过点E作EH/CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.证明:过点E作EH/BC,交AC于H,因为ED/AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG/AC,EH/BC,所以AEH=B,A=BFG,又AE=BF,所以AEHFBG,所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.3利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图3，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG，因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形，所以AC=BG，AC/BG，所以1=4，因为AE=EF，所以1=2，又2=3，所以1=4，所以BF=BG=AC. 说明：此题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当中点或中线应思考这种方法. 图3 图4二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图5，在ABC中，ACB=90°，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF/BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据条件，此题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD是BAC的平分线，AE=AC，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE.求AD平分CE.证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，得ACE是等腰三角形，因为AO平分CAE，所以AOCE，且OC=OE，因为EF/CD，所以1=2， 又因为EOF=COD，所以DOC可以看成由FOE绕点O旋转而成，所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形.例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.证明：连结BD、DF.因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DFDE，当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长. 图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：1作菱形的高；2连结菱形的对角线.与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：1计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；2证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6 如图7，矩形ABCD一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.分析：要利用条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G.因为四边形ABCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=3. 图7说明：此题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长.四、与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求证：BCF=AEB.分析：由BE/AC，CF/AE，AE=AC，可知四边形AEFC是菱形，作AHBE于H，根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形，从AH=OB=AC，可算出E=ACF=30°，BCF=15°.证明：连接BD交AC于O，作AHBE交BE于H.在正方形ABCD中，ACBD，AO=BO，又BE/AC，AHBE，所以BOAC，所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=AC，因为AE=AC，所以AEH=30°，因为BE/AC，AE/CF，所以ACFE是菱形，所以AEF=ACF=30°，因为AC是正方形的对角线，所以ACB=45°，所以BCF=15°，所以BCF=AEB. 说明：此题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.与梯形有关的辅助线的作法 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：1作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；2作梯形的高，构造矩形和直角三角形；3作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；4 延长两腰构成三角形；5作两腰的平行线等.例8 ，如图9，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.分析：要证明CO=CD，可证明COD=CDO，由于BAC=90°，所以可通过作梯形高构造矩形，借助直角三角形的性质解决问题. 证明：过点A、D分别作AEBC，DFBC，垂足分别是E、F，则四边形AEFD为矩形，因为AE=DF，AB=AC，AEBC，BAC=90°，所以AE=BE=CE=BC，ACB=45°，所以AE=DF=，又DFBC，所以在RtDFB中，DBC=30°，又BD=BC，所以BDC=BCD=，所以DOC=DBC+ACB=30°+45°=75°.所以BDC=DOC，所以C0=CD. 图9说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，此题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决.例9 如图10，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的长.分析：根据此题的条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.解：过点D作DF/AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，所以AC=DF，AD=CF，因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因为DEBC，所以BE=EF=BF=(BC+CF)=(BC+AD)=×10=5.因为AC/DF,BDAC,所以BDDF,因为BE=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的长为5. 图10说明:当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决.和中位线有关辅助线的作法例10 如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.分析：欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题.证明：取AD中点P，连结PE，PF.因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以PE/BD，且PE=BD，PF/AC，且PF=AC，所以PEF=PFE，又PEF=OGH，PFE=OHG，所以OGH=OHG，所以OG=OH.说明：遇中点，常作中位线，借助中位线的性质解题.梯形的辅助线 口诀：梯形问题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的根本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和条件。常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。平移对角线。转化为三角形、平行四边形。延长两腰，转化为三角形。作高，转化为直角三角形和矩形。中位线与腰中点连线。梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：1在梯形部平移一腰。2梯形外平移一腰3梯形平移两腰4延长两腰5过梯形上底的两端点向下底作高6平移对角线7连接梯形一顶点及一腰的中点。8过一腰的中点作另一腰的平行线。9作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。一、平移1、平移一腰：例1. 如下图，在直角梯形ABCD中，A90°，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的长. 解：过点D作DEBC交AB于点E. 又ABCD，所以四边形BCDE是平行四边形. 所以DEBC17，CDBE. 在RtDAE中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即AE217215264. 所以AE8. 所以BEABAE1688. 即CD8.例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值围。解：过点B作BM/AD交CD于点M，在BCM中，BM=AD=4，CM=CDDM=CDAB=83=5，所以BC的取值围是：54<BC<54，即1<BC<9。2、平移两腰： 例3如图，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得EGHEHG=BC=90°则EGH是直角三角形因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点所以3、平移对角线：例4、：梯形ABCD中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积解：如图，作DEAC，交BC的延长线于E点ABDCEHADBC 四边形ACED是平行四边形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4在DBE中， BD=3，DE=4，BE=5BDE=90°作DHBC于H，则例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：ACBD。解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BC，CE=BD=，所以AE=ADDE=ADBC=37=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，所以在ACE中，从而ACCE，于是ACBD。例6如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。解：过点D作DE/AC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形，即。所以由勾股定理得cmcm所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例7如图，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50°，C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。解：延长BA、CD交于点E。在BCE中，B=50°，C=80°。所以E=50°，从而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=ECED=52=3例8. 如下图，四边形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论. 解：四边形ABCD是等腰梯形. 证明：延长AD、BC相交于点E，如下图. ACBD，ADBC，ABBA，DABCBA. DABCBA. EAEB. 又ADBC，DECE，EDCECD. 而EEABEBAEEDCECD180°，EDCEAB，DCAB. 又AD不平行于BC，四边形ABCD是等腰梯形. 三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD于点E，求证：AD=DE。解：连结BD，由AD/BC，得ADB=DBE；由BC=CD，得DBC=BDC。所以ADB=BDE。又BAD=DEB=90°，BD=BD，所以RtBADRtBED，得AD=DE。四、作梯形的高1、作一条高例10如图，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90°，AB=2DC，对角线ACBD，垂足为F，过点F作EF/AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。证：过点D作DGAB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。因为AB=2DC，所以AG=GB。从而DA=DB，于是DAB=DBA。又EF/AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。2、作两条高例11、在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积ABCDDEDFD解：作AEBC于E，DFBC于F，又ADBC，四边形AEFD是矩形， EF=AD=3cmAB=DC在RtABE中，B=60°，BE=1cmAB=2BE=2cm，例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。证：作AEBC于E，作DFBC于F，则易知AE=DF。在RtABE和RtDCF中，因为AB>CD，AE=DF。所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在RtBDF和RtCAE中由勾股定理得BD>AC五、作中位线1、梯形一腰中点，作梯形的中位线。例13如图，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中点，AOD=90°，求证：ABCD=AD。证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=ABCD在AOD中，AOD=90°，AE=DE所以由、得ABCD=AD。2、梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例14如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：1EF/AD；2。证：连接DF，并延长交BC于点G，易证AFDCFG则AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是BDG的中位线从而EF/BG，且因为AD/BG，所以EF/AD，EF3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形到达解题的目的。例15、在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求AEB=2CBE。解：分别延长AE与BC ，并交于F点BAD=900且ADBCFBA=1800BAD=900 又ADBCDAE=F(两直线平行错角相等) AED=FEC 对顶角相等DE=EC E点是CD的中点ADEFCE AAS AE=FE在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在FEB中 EBF=FEBAEB=EBF+ FEB=2CBEABDCEF例16、：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？解：AE=BE，理由如下：延长AE，与BC延长线交于点FDE=CE，AED=CEF，DAE=FADEFCEAE=EFABBC，BE=AE例17、：梯形ABCD中，AD/BC，E为DC中点，EFAB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积解：如图，过E点作MNAB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点ABCDEFMNDE=EC，ADBCDEME四边形ABNM是平行四边形EFAB，S梯形ABCD=SABNM=AB×EF=15cm2【模拟试题】答题时间：40分钟1. 假设等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为_cm. 2. 如下图，等腰梯形ABCD中，ADBC，B60°，AD2，BC8，则此等腰梯形的周长为A. 19B. 20C. 21D. 223. 如下图，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，则梯形ABCD的面积为A. 130B. 140C. 150D. 160*4. 如下图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线AC与BD互相垂直，且AD30，BC70，求BD的长. 5. 如下图，等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长. 6. 如下图，等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的长. 7. 如下图，梯形ABCD中，ABCD，D2B，ADDC8，求AB的长.*8. 如下图，梯形ABCD中，ADBC，1假设E是AB的中点，且ADBCCD，则DE与CE有何位置关系？2E是ADC与BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？. z.