圆锥曲线知识点及练习.doc
-"圆锥曲线"第1课时椭圆与双曲线的几何性质班别 *一、椭圆与双曲线的标准方程与性质椭圆双曲线定义1到两定点F1、F2的距离的和等于常数2 a(2 a > | F1F2|)的动点M的轨迹叫椭圆。即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a定点F1、F2叫焦点，| F1F2| 叫焦距。到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2 a (2 a < | F1F2|)的动点M的轨迹叫双曲线。即 | M F1 | - | M F 2 | = ±2 a定点F1、F2叫焦点，| F1F2| 叫焦距。定义2到一个定点F1的距离和到一条定直线l的距离的比等于常数( 0 < e < 1)的动点M的轨迹叫椭圆。定点F1叫做椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，e叫做椭圆的离心率。到一个定点F1的距离和到一条定直线l的距离的比等于常数( e > 1)的动点M的轨迹叫双曲线。定点F1叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，e叫做双曲线的离心率。标准方程(a > b > 0 )(a > b > 0 )(a > 0 , b > 0 )(a > 0 , b > 0 )判断焦点位置方法谁的分母大，谁就做a2，焦点在相应字母的坐标轴上。a一定大于b 焦点始终在长轴所在的直线上* 2项的系数为“+，则焦点在*轴上，相应的项的分母为a2；y 2项的系数为“+，则焦点在y轴上，相应的项的分母为a2。 a不一定大于b 焦点始终在实轴所在的直线上图形围- a * a- b y b- b * b- a y a* - a或* ay - a或y a顶点坐标(±a , 0 ) , (0 , ±b )(±b , 0 ) , ( 0 , ±a )(±a , 0 ) (0 , ±a )焦点坐标(±c , 0 ) 焦距长2 cc 2=a2 b 2( 0 ,±c ) 焦距长2 cc 2=a2 b 2(±c , 0 ) 焦距长2 cc 2=a2 + b 2( 0 , ±c ) 焦距长2 cc 2=a2 + b 2轴长轴长| A 1 A 2 |=2 a ，短轴长| B 1 B 2 |=2 b实轴长| A 1 A 2 |=2 a，虚轴长| B 1 B 2 |=2 b对称性关于*轴、y轴、原点对称关于*轴、y轴、原点对称离心率 0 < e < 1 e > 1 准线方程* = y =* = y =渐近线方程y =y =通径长练习1、椭圆与双曲线方程特征1、方程，1假设方程表示的图形是圆，则k的取值围是_；2假设方程表示的图形是椭圆，则k的取值围是_；3假设方程表示的图形是双曲线，则k的取值围是_。2、假设，则“是“方程表示双曲线的( ) A充分不必要条件. B必要不充分条件. C充要条件. D既不充分也不必要条件. 06年春季3、假设点M到两定点F 1 (1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距离之差等于2，则点的轨迹是 (A) 双曲线 (B) 双曲线的一支 (C) 两条射线 (D) 一条射线 4、假设点M到两定点F 1 ( 0 , 1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距离之和等于2，则点的轨迹是 (A) 椭圆 (B) 直线F 1 F 2 (C) 线段F 1 F 2 (D) F 1 F 2的中垂线 5、圆锥曲线m * 2 + 4 y 2 = 4 m的离心率e为方程2 * 2 5 * + 2 = 0的两根，则满足条件的圆锥曲线有 条(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6、三点P(5,2,(6,0), (6,0，求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；设点P、关于直线y*的对称点分别为、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。06年练习2、椭圆与双曲线的几何性质7、椭圆，请填写下表：长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程8、椭圆，请填写下表：长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程9、双曲线，请填写下表：实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程10、双曲线，请填写下表：实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程练习3、双曲线中与渐近线有关的问题1由双曲线方程求渐近线方程步骤：把双曲线的标准方程右边常数1换成0，则并化简可得到渐近线方程.2假设渐近线方程为，变形得，则可设双曲线方程为，其中为待定系数.假设能判断焦点的位置时，可进一步设双曲线方程为焦点在*轴上或焦点在y轴上. 3与共渐近线双曲线的方程可设为.11、与双曲线有共同渐近线，并且过点M (3 ,2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 12、焦点为F ( 0 , 10 )，渐近线为4 * + 3 y = 0的双曲线方程为_ 13、焦距为10，渐近线为*±2 y = 0的双曲线方程为_ 练习4、求椭圆与双曲线的离心率。14、(03年)直线过椭圆的左焦点和一个顶点B，该椭圆的离心率为 A. B. C. D.15、在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为 (A) (B)2 (C) (D)216、过双曲线(a0，b0)的左焦点且垂直于*轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_17、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，假设F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 (05年全国卷III)ABCD18、双曲线的中心在原点，实轴长为4，一条准线方程是* =，则双曲线的离心率是_19、双曲线的一条渐近线方程为y*，则双曲线的离心率为 06年全国卷IIA (B) (C) (D)20、双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于 A. B. C. 2 D.4 2006年卷21、a > b > 0，e1 , e2分别为圆锥曲线和的离心率，则lg e1 +lg e2的值 (A) 一定是正数 (B) 一定是负数 (C) 一定是零 (D) 以上答案均不正确 练习5、利用椭圆的第一定义，求焦点三角形的边长、周长和面积22、ABC的顶点B、C在椭圆 y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 2006年全国卷IIA2 B6 C4 D1222、双曲线的实轴长为2 a，AB为左支上过焦点F 1的弦，| AB| = m ，F2为双曲线的另一个焦点，则ABF2的周长是_ 23、如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半局部于七个点，是椭圆的一个焦点，则_06年卷24、假设双曲线(a > 0 , b > 0 )与椭圆( m > n > 0 )有一样的焦点F 1 , F 2，P是两曲线的一个交点，则| P F 1 |·| P F 2 | 等于 (A) m a (B) ( m a ) (C) m 2a2 (D) 25、椭圆的焦点F 1, F 2在*轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为8，1求椭圆的标准方程； 2设点M在椭圆上，且求F1MF2的面积。26、双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到*轴的距离为 ABCD(05年全国卷III) 答案：C"圆锥曲线"第1课时椭圆与双曲线的几何性质班别 *一、椭圆与双曲线的标准方程与性质椭圆双曲线定义1到两定点F1、F2的距离的和等于常数2 a(2 a > | F1F2|)的动点M的轨迹叫椭圆。即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a定点F1、F2叫焦点，| F1F2| 叫焦距。到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2 a (2 a < | F1F2|)的动点M的轨迹叫双曲线。即 | M F1 | - | M F 2 | = ±2 a定点F1、F2叫焦点，| F1F2| 叫焦距。定义2到一个定点F1的距离和到一条定直线l的距离的比等于常数( 0 < e < 1)的动点M的轨迹叫椭圆。定点F1叫做椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，e叫做椭圆的离心率。到一个定点F1的距离和到一条定直线l的距离的比等于常数( e > 1)的动点M的轨迹叫双曲线。定点F1叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，e叫做双曲线的离心率。标准方程(a > b > 0 )(a > b > 0 )(a > 0 , b > 0 )(a > 0 , b > 0 )判断焦点位置方法谁的分母大，谁就做a2，焦点在相应字母的坐标轴上。a一定大于b 焦点始终在长轴所在的直线上* 2项的系数为“+，则焦点在*轴上，相应的项的分母为a2；y 2项的系数为“+，则焦点在y轴上，相应的项的分母为a2。 a不一定大于b 焦点始终在实轴所在的直线上图形围- a * a- b y b- b * b- a y a* - a或* ay - a或y a顶点坐标(±a , 0 ) , (0 , ±b )(±b , 0 ) , ( 0 , ±a )(±a , 0 ) (0 , ±a )焦点坐标(±c , 0 ) 焦距长2 cc 2=a2 b 2( 0 ,±c ) 焦距长2 cc 2=a2 b 2(±c , 0 ) 焦距长2 cc 2=a2 + b 2( 0 , ±c ) 焦距长2 cc 2=a2 + b 2轴长轴长| A 1 A 2 |=2 a ，短轴长| B 1 B 2 |=2 b实轴长| A 1 A 2 |=2 a，虚轴长| B 1 B 2 |=2 b对称性关于*轴、y轴、原点对称关于*轴、y轴、原点对称离心率 0 < e < 1 e > 1 准线方程* = y =* = y =渐近线方程y =y =通径长练习1、椭圆与双曲线方程特征1、方程，1假设方程表示的图形是圆，则k的取值围是_；2假设方程表示的图形是椭圆，则k的取值围是_；3假设方程表示的图形是双曲线，则k的取值围是_。答案：1 21 < k < 2 且k 3k < 1或k > 22、假设，则“是“方程表示双曲线的( ) A充分不必要条件. B必要不充分条件. C充要条件. D既不充分也不必要条件. 2006年春卷答案： A3、假设点M到两定点F 1 (1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距离之差等于2，则点的轨迹是 (A) 双曲线 (B) 双曲线的一支 (C) 两条射线 (D) 一条射线 答案：(D)4、假设点M到两定点F 1 ( 0 , 1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距离之和等于2，则点的轨迹是 (A) 椭圆 (B) 直线F 1 F 2 (C) 线段F 1 F 2 (D) F 1 F 2的中垂线 答案：(C)5、圆锥曲线m * 2 + 4 y 2 = 4 m的离心率e为方程2 * 2 5 * + 2 = 0的两根，则满足条件的圆锥曲线有 条(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答案：(C)解：易知e = 2或 ，由e = 2得焦点在*轴上的双曲线一条，由得焦点在*轴上的椭圆一条或焦点在y轴上的椭圆一条，选(C)6、三点P5，2、6，0、6，0. 求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；设点P、关于直线y*的对称点分别为、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。06年解：1由题意可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为2点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=*的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为练习2、椭圆与双曲线的几何性质7、椭圆，请填写下表：长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程1086( 0 , ±3 )y =±8、椭圆，请填写下表：长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程1086(±3 , 0)* =±9、双曲线，请填写下表：实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程8102(0 ,± )10、双曲线，请填写下表：实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程8102(±, 0)练习3、双曲线中与渐近线有关的问题1由双曲线方程求渐近线方程步骤：把双曲线的标准方程右边常数1换成0，则并化简可得到渐近线方程.2假设渐近线方程为，变形得，则可设双曲线方程为，其中为待定系数.假设能判断焦点的位置时，可进一步设双曲线方程为焦点在*轴上或焦点在y轴上. 3与共渐近线双曲线的方程可设为.11、与双曲线有共同渐近线，并且过点M (3 ,2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 答案： (C)"晨练题"十二练习412、焦点为F (, 0 )，渐近线为y =±3 *的双曲线方程为_答案：05年 ("同步"44页练习6)解：设所求的双曲线方程为，即 ，+ 9= 10 ， = 1 所求的双曲线方程为12、焦点为F ( 0 , 10 )，渐近线为4 * + 3 y = 0的双曲线方程为_ 答案："晨练题"十二练习1解：设所求的双曲线方程为，即 ， 16+ 9= 100 ， = 4 所求的双曲线方程为 即13、焦距为10，渐近线为*±2 y = 0的双曲线方程为_ 答案：或解：1当焦点在*轴上时，设所求的双曲线方程为，即 4+= 25 ， = 5 所求的双曲线方程为，即2当焦点在y轴上时，设所求的双曲线方程为，即 4+= 25 ， = 5 所求的双曲线方程为，即练习4、求椭圆与双曲线的离心率。14、(03年)直线过椭圆的左焦点和一个顶点B，该椭圆的离心率为 A. B. C. D.15、在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为 (A) (B)2 (C) (D)2(06年文科)"五年"131页练习2答案：(C)解：由得 由得 => ×得 16、过双曲线(a0，b0)的左焦点且垂直于*轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_(05年)"五年"131页练习12答案：2解：易知MNA为等腰直角三角形，且MAN为直角 => b 2 = a 2 + a c => c 2 a 2 = a 2 + a c => c 2 a c 2 a 2 = 0 => e 2 e 2 = 0=> ( e 2 ) ( e + 1 ) = 0 => e = 217、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，假设F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 (05年全国卷III)答案：DABCD18、双曲线的中心在原点，实轴长为4，一条准线方程是* =，则双曲线的离心率是_答案：419、双曲线的一条渐近线方程为y*，则双曲线的离心率为 06年全国卷II答案： (A )A (B) (C) (D)20、双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于 A. B. C. 2 D.4 2006年卷答案：C21、a > b > 0，e1 , e2分别为圆锥曲线和的离心率，则lg e1 +lg e2的值 (A) 一定是正数 (B) 一定是负数 (C) 一定是零 (D) 以上答案均不正确 答案：(B)解： ， lg e1 +lg e2 = lg e1 e2 < 0 选(B)练习5、利用椭圆的第一定义，求焦点三角形的边长、周长和面积22、ABC的顶点B、C在椭圆 y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 2006年全国卷II答案：(C )A2 B6 C4 D1222、双曲线的实轴长为2 a，AB为左支上过焦点F 1的弦，| AB| = m ，F2为双曲线的另一个焦点，则ABF2的周长是_ 答案：4 a + 2 m 23、如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半局部于七个点，是椭圆的一个焦点，则_06年卷答案：3524、假设双曲线(a > 0 , b > 0 )与椭圆( m > n > 0 )有一样的焦点F 1 , F 2，P是两曲线的一个交点，则| P F 1 |·| P F 2 | 等于 (A) m a (B) ( m a ) (C) m 2a2 (D) 答案：(A)25、椭圆的焦点F 1, F 2在*轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为8，1求椭圆的标准方程； 2设点M在椭圆上，且求F1MF2的面积。10分解：1设椭圆的标准方程为( a > b > 0 ) 1分由题意知，a = 42分 , c =3分 , 则 b 2 = a 2 c 2 = 16 15 = 14分 椭圆的标准方程为5分2解法1：设M ( * , y )， F 1 ( , 0 )，F 2 ( , 0 )则= (，y ) , = (，y ) 6分·= ()() + y 2 = * 2 15 + y 2 = 07分8分 => 9分 | F 1 F 2 | = 2F1MF2的面积S = = 110分2解法2： MF 1MF 26分 MF 1+ MF 2 = 8 7分 MF 12 + MF 22 + 2 MF 1 MF 2 = 64 MF 12 + MF 22 = 8分 60 + 2 MF 1 MF 2 = 64 MF 1 MF 2 = 2 9分F1MF2的面积S = MF 1 MF 2 = 1 10分26、双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到*轴的距离为 ABCD(05年全国卷III) 答案：C. z.
