立体几何中截面问题重难考点归纳总结.docx

高三二轮专题复习立体几何中截面问题重难考点归纳总结作空间几何体截面的常见方法：(1)直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；(2)作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；(3)作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；(4)辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.考点一：截面形状的判断1 .在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.平面a以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为()A.等腰梯形B.非矩形的平行四边形C.正五边形D.正六边形2 .在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体A8CO48C6中，点E、尸分别是棱8山、Se中点，点G是棱CG的中点，则过线段AG且平行于平面AlE尸的截面图形为()HA.矩形B,三角形C.正方形D.等腰梯形3 .如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体，则截面图形可能是 （填序号）.5.在正方体ABC。一 A1ACR中，M, N,。分别为棱A8,A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形8出,Gq的中点，过点M,N,。作该正方体的截面，则所得截面的形状是（）考点二：求截面面积6.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。I,O2,过直线0。2的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的表面积为（）A.242B.24;TC.16JLrD.20乃7 .已知球。的表面积为8乃，则过球Q一条半径的中点，且与该半径垂直的截面圆的面积为.8 .己知圆锥的侧面积为引，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为.9 .已知正四棱柱中AG、BR的交点为O-AC.8。的交点为。2,连接QU，点。为的中点.过点。且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和Ji6,则正四棱柱ABCD-AyBiClDi的体积为.10 .已知正四棱柱ABCQ-AgGA中，BE=3BB=2,4B=3A41,则该四棱柱被过点A,C,E的平面截得的截面面积为.11 .已知圆锥的侧面积为20乃,底面圆。的直径为8,当过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面面积最大时，则点。到截面的距离为.12 .在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.如图，在棱长为1的正方体Abco-AGGA中，点瓦尸分别是棱8,bg的中点，点G是棱CG的中点，则过线段AG且平行于平面AEF的截面的面积为98A.1B.-C.-D.yf2894。的中点，则正四面体ABCO的13 .已知棱长为4的正四面体ABCD,E,F,N分别是棱/W,AC,外接球被三角形EFN所在的平面截得的截面面积是()7c810r16A.71B.一冗C.71D.71333314 .已知三棱锥A-BCo的所有棱长均相等，四个顶点在球。的球面上，平面经过棱AB,AC,AD的中点，若平面。截三棱锥A和球。所得的截面面积分别为，S2,则IL=()A.巫B,更C.Ad.工8乃16乃864%15 .已知正方体A8CO-A4GA的长为2,直线AGj平面,下列有关平面1截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为.截面形状一定是等边三角形：截面形状可能为五边形；截面面积的最大值为3百，最小值为26；存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分.16 .已知某圆锥轴截面的顶角为120,过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2,则该圆锥的底面半径为（）A.3B.3C.2币D.2折17 .在长方体48。入56乌中，己知1=ab=2ao=2,e,尸分别为AG的中点，则平面ABCA被三棱锥G-CE尸外接球截得的截面圆面积为.考点三：求截面周长18 .如图，在正方体ABS-ABGA中，AB=4,E为棱BC的中点，尸为棱AA的四等分点（靠近点R），过点A,E,尸作该正方体的截面，则该截面的周长是.19 .已知在棱长为6的正方体ABaXABiCQi中，点E尸分别是棱Ci。】，8G的中点，过A,E,尸三点作该正方体的截面，则截面的周长为.20 .正三棱柱ABC-AlWG中，所有棱长均为2,点E,尸分别为棱B8,AICI的中点，若过点A,E,F作一截面，则截面的周长为（）A.2+25B.25+13C.25+13D.25+21 .在三棱锥A-BCO中，AB=CD=a,截面MNPQ与AB,Co都平行，则截面MNPQ的周长等于（）A.2aB.4aC.°D.无法确定考点四：截面最值问题22 .已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,ABC是边长为的正三角形，三棱锥P-ABC的体积为!，Q为BC的中点，则过点。的平面截球0所得截面面积的取值范围是（6C.1 3 -.-4 4D.1 2-,- 4 323 .正四面体ABC。的棱长为4,E为棱A8的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的取值范围是（）B. 42A.4乃,6万C.AD.,624 .已知球。是正三棱锥A-BC。（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3,AB=23,点E在线段30上，BD=3BE.过点E作球。的截面，则所得截面面积的最小值是（）A.1B.3C.4万D.525 .如图，四边形EEG”为四面体ABCD的一个截面，若四边形瓦GH为平行四边形，AB=4,CD=6,则四边形EFG”的周长的取值范围是.26 .如图，设正三棱锥P-ABC的侧棱长为2,NAPB=40。，EJ分别是8P,CP上的点，过A,E,尸作三棱锥的截面，则截面3诋周长的最小值为.27 .正三棱锥P-ABC中，&PA=48=40，点E在棱PA上，且PE=3E4,已知点P、A、B、C都在球。的表面上，过点E作球。的截面。，则a截球。所得截面面积的最小值为.考点五：有关截面的综合问题28 .如图，在正方体45CO-AIqGA中，点P为线段AG上的动点（点P与4，q不重合），则下列说法不正确的是（）A.BDlCPB.三棱锥C-BPo的体积为定值C.过尸，C,A三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形D.OP与平面ABC。所成角的正弦值最大为:29.（多选题）在棱长为2的正方体ABeo-A4GA中，以下结论正确的有（）A.三棱锥B-AOG外接球的体积是4年B.当点。在直线上运动时，A。+QC的最小值是8+4JC.若棱A8,AA1,GR的中点分别是E,尸，G,过E,尸，G三点作正方体的截面，则所得截面面积为3D.若点M是平面ABCA上到点O和G距离相等的点，则点M的轨迹是直线AB30.（多选题）如图，正方体ABa）-A4GA的棱长为1，P为sc的中点;，。为线段CG上的动点，过点4P,。的平面截该正方体所得的截面多边形记为S,则下列命题正确的是（）DiCA.当CQ=T时，S为等腰梯形31B.当CQ=W时，S与GA的交点R满足GR=§3C.当=<CQ<1时，S为六边形4D.当CQ=I时，S的面积为必231.（多选题）在正方体A3COA4GA中，A8=2,点E,尸分别为A8,BC中点，点P满足4P=lV,20,l,则（）9A-当"时，平面际截正方体的截面面积为了B.三棱锥P-ECG体积为定值C.当义g(°3时，平面PE尸截正方体的截面形状为五边形D.存在点P,二面角P-EF-A为45°详细解析1. C【详解】画出截面图形如图:故A正确;在正方体ABC。一ABcA中，作截面EFG”（如图所示）交CA，AB,AB,8分别于点E,F,G,H,根据平面平行的性质定理可得四边形EFG/中，EFHHG,且EH"FG,故四边形EFG/7是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B正确;经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形.但此时不可能是正五边形，故C错误;正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D正确.故选：C2. D【详解】取BC的中点H,如图连接A"、GH、RG、ADi,由题意得：GHUEF,AH/AiFtG不在平面AE尸内，M三平面AE尸内，6”|平面4七尸.-A/不在平面AE户内，AFq平面AE尸内，4Il平面4也尸.GHCAH=H,G",A"U平面A"GR,.平面A"GR/平面AE/，过线段AG且平行于平面A瓦'的截面图形为等腰梯形A"GR.故选：D.3. 【详解】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时符合条件:当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时符合条件，综上可知截面的图形可能是.故答案为：®4. AB【详解】由组合体的结构特征可知：当截面过球与正方体切点时可知A正确、C错误；当截面过正方体的对角面时可知B正确；此题是正方体的内切球，可知D错误.故选：AB5. D【详解】如图所示：旦EH分别为AD,DR,BC中点,M,N,Q确定平面。，NHMQ旦Nea,故NHUa,QGa,Hwa,故QHUa,同理可得/QU,EFUa,EMUa,故截面为六边形.故选：D.6. B【详解】根据题意，所得截面是边长为4的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为2的圆，且高为4,所以其表面积5=2“（2）2+2><2*4=24.故选：B.37. 【详解】2设球的半径为R,则4乃R2=8,解得R=设截面圆的半径为，由题知：=/虚）2_（日）=孚，所以截面圆的面积S=»|乎）=r.3故答案为：228. j【详解】设圆锥的底面半径为小圆锥的母线为/,又圆锥过轴的截面为正三角形，圆锥的侧面积为葺，.I=2r,rl=葛,22，/=§.故答案为：.9. 3【详解】设正四棱柱的底面边长为m高为九由题知当截面平行于平面ABCQ时，截面面积最小；当截面为平面ABCo时，截面面积最大，因为过点。且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和加,所以a = h = 3,a=11.-L'解得aJa2+h=i于是正四棱柱ABa）的体积为/力=3.故答案为：3.10. 1219【详解】由题意，正四棱柱ABa)AGGA中，BE=-BBi=2,4A8=3A1,4可得44=BB=CC=8,8E=2,在。A上取点尸，使得已”=2,连接AP,cr,则有A尸=CE,A/CE,所以四边形AlEC尸是平行四边形,由勾股定理可得1E=62+62=62,CE=22+62=2i,1C=62÷62+82=234,八5AiE2+CE2-AiC272+40-136小所以CoSZ1EC=3=7=7=-2AyE×CE2×62×21010所以SinNAEC=噜，所以四边形A1ECF是平行四边形的面积为AEXECXSinZAEC=62M噜=12i?,故答案为：12i511.N【详解】5设圆锥的底面圆的半径为广，高为九母线长为/,则=4,%”=20;T,.*./=5>/:=3,由于尿",所以圆锥的轴截面为钝角三角形，所以过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面为宜角三角形时面积最大，B如图，4SAB为截面三角形，S。为圆锥的高251AB=5j2,Ssb=,OA=OB=4,SAOB=QX1G/31111125,153bsabd-gAOB，h,NjX=x.1=上丘，即点。到截面的距离为空.55故答案为：生.5,设点。到截面的距离为4则5而邛FT1.3,12.B【详解】取BC的中点"，连接A",G”,因为EFBGG”,M(Z面AHGD.G”U面AHGD.EF/面AHGD.同理，A卢面AHGOi,又AIECEF=E,则平面AHGQl平面AIER等腰梯形AHGd的上下底分别为正，点，2腰长为立，故梯形的高为逑，则梯形面积为苫，248故选艮13. D【详解】过点A作平面BC。的垂线，垂足为H,交平面EFN于点。二设该四面体外接球球心为0,连接08,8”，作图如下所示：因为四面体ABCD为正四面体，且AHJ"面8C。，故”点为88的外心，则该四面体的球心一定在A”上，不妨设外接球球心为0;因为EEN分别为AB,AC,AO的中点，则E/8C,FNHCD,又EFCFN=F,BCcCD=C,且EF、FNU面EFN,BCCOU面8CQ,故平面EFN/平面88,故AO_1面EFN,又七为A8中点，故0'也为A”中点.因为正四面体ABCQ的所有棱长为4,故BH=ZXB×4=苴,则a”=Jab，丽=Ji6-!二平,o，h=；AH=当;设该四面体的外接球半径为R,即OA=OB=R,则O"=A”-R=生尼-R,3解得R=B故0(/=R_AO=®一=牛.即外接球球心。到平面EFN的距离为坐,又外接球半径为",设平面日W截外接球所得圆的半径为，则产+(乎)=(6)解得r=H故截面圆的面积为丹乃.故选：D.3314. B【详解】设平面。截三棱锥A-88所得正三角边长为小截面圆的半径为r,则Sl=生2,由正弦定理可得=一=空。，sin6003S26故选：B15. 【详解】如图可知，截面形状可以是等边三角形、六边形、正六边形，*明显错误：截面面积的最小值可以趋向于零，故错误；当截面为正六边形时，截面过正方体的中心，此时正方体的体积被分成相等的两部分.故正确.故答案为：16. A【详解】如图，由题可知，NAPB=I20，NABP=30又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2,:产=2,即/=2,2在改IPO8中，r=Icos30=2x=6.故选：A.2Qjr17. 9【详解】O以点。为原点建立空间直角坐标系如图所示:依题意得：C(0,2,0),E(l,2,l),*0,1,2),则EC=(TOI),EF=(-1,-1,1),所以ECE/=1+0-1=0，则所_LEC;设。为CT7中点，因为所_LEC则EO=OC=Fo=C0,所以点。为三棱锥C1-CEF外接球的球心，则R=LC/=逝.22设球心。到平面AXBCDl的距离为力，又因为O为C尸中点，所以点F到平面ABCA的距离为Ih,由于2h=；ClD=：x2&=夸,所以力=乎，故截面圆的半径为r=-"=P,所以截面圆面积为等.V8o9兀故答案为：VO18. 96+25+2i!详解3如图，取的中点，取CG上靠近点G的三等分点G,连接AE,EG,G”,£4,易证AE/“EA尸EG,则五边形AEGH/为所求截面.84因为AB=4,所以BE=CE=ClH=DlH=2,AF=3,DF=1,CG=§,C1G=-则AE=2>,EG=?,GH=N亚,HF=EAF=5,33故该截面的周长是AE+EG+GH+HF,+AF=96+25+2小3故答案为：96+25+2加319. 613+32【详解】如图，延长ERAiSif相交于点M,连接AM,交BBl于点H,延长尸E,AiDi,相交于点M连接AM交OG于点G,连接产”，EG,可得截面为五边形A”FEG.因为ABCD-A山GG是棱长为6的正方体，且E,尸分别是棱CQ,8G的中点，由中位线定理易得：EF=32，由勾股定理易得：AG=AH=213,EG=FH=13,截面的周长为A"+”尸+M+EG+AG=613+32故答案为：6>3 ÷ 32 -20. B【详解】如图，在正三棱柱ABC-A4G中，延长A"与CcI的延长线交于连接EM交囱G于P,连接产P,则四边形AEP/为所求截面.M过E作EN平行于BC交CCl于N,则N为线段CG的中点，由MFC1相似于M4C可得MG=2,由AMPg相似于-MfN可得：与=g=?G=g,3=g,在 R/ . AA1F 中，AA=2, A尸=1，则A产=仔=逐，AB=2,BE=1,则AE=F7F=6,2B1E = LB1P = -,则尸E =4在acp中，G尸=LGP=N尸GP=60。，由余弦定理：P2=l2+f-l-2×l×-×cos60°=-,则PP=4Uj393所以截面周长为：5÷5÷÷=25÷.故选：B.21. A【详解】设4=k,因为AB平面MNPQ,平面ABC平面MNPQ=MN,AfiI平面ABC,所以MN/AB,同理CM可得QA8,MQ/CD,NPHCD,故四边形MNPQ为平行四边形,所以g=丝=_L,AB AB + kMQ NP k CDCDT+k因为A=CD=,所以MN = PQ =捻akMQ = NP =,1 + k所以四边形MNPQ的周长为MN+PQ+MQ+NPT息+备卜2。故选：A.设F在底面ABC上的射影为M,因为PA=尸B=PC,所以M为ABC的中心，由题可知，Saabc=-,由匕lac=；XPMXSM«=!，解得尸M=坐Jb3在正A8C中，可得AM=也.从而直角48。在中解得上4=1.3进而可得QA_L?8,PB工PC,PCLPA,因此正三棱锥尸-ABC可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥P-ABC的外接球相同，正方体对角线的中点为球心0.记外接球半径为R，则R=W，因为球的最大截面圆为过球心的圆，2所以过Q的平面截球。所得截面的面积最大为Sa=乃&=；乃；又。为BC中点，由正方体结构特征可得。=；PA=；由球的结构特征可知，当。垂直于过。的截面时,截面圆半径最小为r=yR2-OQ2=乎所以SnIin=%g%因此，过。的平面截球。所得截面的面积范围为故选：A.23.A【详解】如图，将正四面体补为边长是2的正方体，则正四面体A8C。的外接球为正方体的外接球，球心O在体对角线的中点，且球的半径R=布；当OE垂直于截面时，截面面积最小，截面圆的半径为彳=JR2一=2面积为4万；当截面过球心。时，截面面积最大，截面圆的半径为5=R=#，面积为6万故选:A【详解】解：如图，Oi是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径彳=一海x4=6;由勾股定理得棱锥的高AOI=J=3；设球。的半径为R则球=(3-Rp+代2,解得R=2,所以00尸1；在BOi七中，由余弦定理得GE?=1+3一2XlXbX立=1,2所以OlE=1；所以在AOEOi中，OE=应;当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为JR2_/2=0,截面面积为2乃.故选：A25. (8,12)【详解】解：四边形EPGH为平行四边形，.E尸G；EHU平面ABO,FGU平面AB0,.&7平面ABD；又EHu平面ABC,平面ABCn平面A血)=4?,EHHAB,同理可得£FC£>；设切=x,EF=y,.EH_CEEF_AEBCAfCDAC里+竺=g+空=/=1ABCDCAACAC又Q48=4,CD=6,F-=I,46y = 6l-,且0<X<4;二四边形EFGH的周长为/=2(x+y)=2x+6(1-4=2-t8<12x<12；二四边形国TGH周长的取值范围是(8,12).故答案为：(8,12)26. 23【详解】将正三棱锥的三个侧面展开如图，由图可知，为使二血的周长最小，只需让AEEA四点共线即可，则当心户为AA与BP,“交点时，Ag'的周长最小，由题意，NBPC=NCPA=NAP8=40。，.ZAQA=I20。，得AAI=JA"+A产-2APAPcosl200=小4+4-2x2x2x(-g)=2G所以AAE尸的周长的最小值为故答案为：2J27. 3【详解】PA=PC=PB=4,AB=AC=BC=42»-PA2+PC2=AC2,:.ZCP=y,同理/CPB=NB?A=故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球。，直径为正方体的体对角线，故2R=4耳,设RA的中点为尸，连接。尸，则。尸=2j且O7LP4所以OE=后T=3,当OE_L平面。时，平面。截球。的截面面积最小，此时截面为圆面，其半径为J(25)2-32=+,故截面的面积为3%.故答案为：328. D【详解】由题可知8。_L平面ACGA,所以BDLCP,故A正确；由等体积法得VJBPD=yp-BCD=ScAAi为定值，故B正确；设AG的中点为加，当PcMG时，如下图所示:4此时截面是三角形RQC,当PeMAl时，如下图所示:此时截面是梯形。RC,故C正确；选项D,在正方体中，连接。,，则R?为。P在平面上的射影，则NAP。为。夕与平面A/£©所成的角，设正方体的棱长为1,PR=x,则力P=Jf77,sinZD1PD=-y=,当X取得最小值时，SinNAP。的值最大，即AP时，X的值最小为正，2所以SinNAP。的值最大为述，故D不正确.3故选：D.29. ACD【详解】对于A：三棱锥B-AOG的外接球即为正方体ABS-A罔CQ的外接球，因为正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，即2R=2J,R=6,所以外接球的体积是V=g?（竹43,故选项A正确;B连接AC,则AC是AQ+QC的最小值，其中是边长为2的等边三角形，BCG是直角边为2的等腰直角三角形，/T所以AC=AQ+QC=25+点=卡+应，即AQ+QC的最小值是痛+四，故选项B错误；对于C：分别取棱A。，cc,BC的中点，M过E,F,G三点的截面是正六边形及HGMN,D1G,MF-D,N,连接环，FH,HG,GM,MN,NE,则易知且边长为我，F，W十少CN对于B:把s8CG沿BG翻折到与在同一个平面（如图所示）,B所以截面面积为gx当）x6=3G故选项C正确；对于D：因为M是平面A5G。上到点D和C1距离相等的点，所以点M的轨迹是平面A1B1C1D1与线段DC1的垂直平分平面ABCA的交线，即点M的轨迹是平面A心GA与平面AiBCDi的交线A1D1,所以点M的轨迹是直线AA，即选项D正确.故选：ACD.30. ABD【详解】解：过点A,P,。的平面截正方体，当0<CQ<g时，其截面形状为梯形如图1,特别地当CQ=T时，截面形状为等腰梯形，当J<CQ<1时，其截面形状为五边形如图2.当CQ=I时，。与Cl重合，其截面形状为四边形如图3,此时PQ二A尸，因为P为BC的中点，0CPUAD,所以。为MN的中点，所以PC/AE,同理QEAP,所以四边形APQE为平行四边形，所以四边形APQE为菱形，其面积为LAeP七6点=.故ABD正确.2122故选：ABD.NZN/nKD1C1ID1?C1/Dlyf>/）二7二/'二A选项中，当九=1时，2与A重合，则截面为等腰梯形，其面积为g,故A选项错误;B选项中，因为4A平面上CG，故P到平面ECG的距离不变，故三棱锥P-ECG体积为定值.故B选项正确：C选项中，当2=g时，其截面刚好为五边形，O<l<g时，截面为五边形；故C选项正确;D选项中，当点P与A重合时，其二面角正切值为2应，此时二面角大于45。,所以存在点P,二面角。-即-A为45。，D选项正确；故选：BCD.