存在及恒成立含答案.doc
- 存在与恒成立1. 恒成立问题：2. 存在问题：3. 恰成立问题：4. 相等问题：5. 综合问题：（1） 7（8） 10考点一.恒成立问题命题点1.参变别离：简单最值1设函数f(*)*33*2，假设不等式f(32sin )<m对任意恒成立，数m的取值围解：令*=32sin 1,5，从而只需m>f(*)ma*，*1,5，f(*)3*23，令f(*)0，*±1，当*1,5时，f(*)0恒成立，即f(*)在1,5上为减函数，f(*)ma*f(1)4，则m>42设函数，假设对任意，有，求b的取值围。解：由题：f(*)ma*-f(*)min"4，f(*)开口向上，对称轴为, 最大值必为f(-1)=1-b+c或f(1)=1+b+c，1假设,即-2b2,则最小值为, 则-2b6。2假设,即b>2或b<-2,则|f(1)-f(-1)|=|2b|4,得|b|2, 矛盾舍。综合得b：-2,2。命题点2.参变别离：二阶求导与洛必达法则秒杀：洛必达法则操作步骤别离构造求导抛弃判断洛必达结论第一步：别离参数，得到；第二步：构造函数；第三步：证明单调性；求，可能需要二次求导，直到可以判断导数正负终止，写出单调区间，确定极值点 第四步：判断当时，是否为或型第五步：运用洛必达法则求在处极限；=，直到代入*=a有意义可求出极限为止。第六步：求出参数围1解：，单调性不确定则二阶求导，单减，则a>-1.(2)解：，单调性不确定则二阶求导，故g(*)单调递增，g(*)"g(0)=(由洛必达法则，则a"1.3函数=e*(e*a)a2*，假设当*"0时成立，求a的取值围解：由题意得当时，,当时，令，令，则，则在上递减，故，故，故，又，故。4设函数，其中是的导函数，假设恒成立，数的取值围。解：由题意得当时，,当时，令，令，则，则在上递增，故，故，故，又，故。命题点3.斜率型求参数1设函数，假设对任意b>a>0，恒成立，数m的取值围解：。2设函数，假设对任意b>a>0，恒成立，数m的取值围解：。命题点4.直接法求参数1函数，假设恒成立，求a的取值围。解：，当，原式成立；当，不符合题意，则a"-2.2设函数，如果当*>0时且时，恒成立，数k的取值围解：设，；综上k"0。命题点5.两函数法1函数，假设恒成立，求a的取值围。解：，。考点二。存在性问题1设f(*)*ln *，g(*)*3*23.(1)如果存在*1，*20,2使得g(*1)g(*2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对任意的s，t都有f(s)g(t)成立，数a的取值围解：(1)存在*1，*20,2，使得g(*1)g(*2)M成立，等价于：g(*1)g(*2)ma*M，g(*)*3*23，g(*)3*22*3*，*02g(*)0g(*)3递减极(最)小值递增1由上表可知：g(*)ming，g(*)ma*g(2)1，g(*1)g(*2)ma*g(*)ma*g(*)min，最大整数M4.(2) 由题：在区间上，函数f(*)"g(*)ma*恒成立，由(1)知，在区间上，g(*)的最大值为g(2)1.f(*)1恒成立，即*ln *"1恒成立，则，令h(*)=,=0，,则h(*)在单调递增，在1,2)单调递减，故h(*)ma*=h(1)=1，则a"1.2函数, , 假设对任意 ，均存在，使得, 求a的取值围。解：由题：，f(*)在* (0,2恒成立,即=h(*),则a>h(*)ma*,得,令f(*)=4ln*-*-2,得=-1=,当* (0,2, >0得f(*)单调递增,则f(*)<f(2)=4ln2-4<4lne-4=0，当*，>0, h(*)单调递增,h(*)ma*=h(2)=ln2-，则a>ln2-。3函数，设a1函数g(*)=,假设对任意0,1总存在,使成立,求a的取值围。解：实际上就是要求g(*)的值域包含"f(*)的值域:=，*0,1,当,>0,f(*)增,当,<0,f(*)减,当*=,f(*)min=f()=-4，f(0)=-,f(1)=-3 f*值域：-4,-3;=3(*+a)(*-a),*0,1,a1，<0,g(*)单调递减，g(0)=-2a-3,a，g(1)=1-3-2a-4,即a1或a 综上1a。4函数f*=，假设存在实数t0，2，使对任意的*1，m，不等式f*恒成立，试求正整数m的最大值解：不等式f*，等价于*，即t即当t0，2，使对任意的*1，m，不等式t恒成立则0在*1，m上恒成立即0在*1，m上恒成立设*=，则*=，设r*=*=，则r*=1*m，r*0所以r*在区间1，m上是减函数又r1=4-e-10，r2=2-e-20，r3=-3-30，故存在2，3，使得r=0当1*时，有*0，当*时，有*0从而y=*在区间1，】上递增，在区间，+上递减又1=e-1+40，2=e-2+50，3=e-3+60，4=e-4+50，5=e-5+20，6=e-6-30所以，当1*5时，恒有*0；当*6时，恒有*0故使命题成立的正整数m的最大值为55f(*)=ln(1+*) ，g(*)=k* 确定k的值 ，使得存在t>0 对任意* (0 ，t)， 恒有丨f(*)-g(*)丨<。解：当k>1时，g(*)>*>f(*),(画函数图象得，丨f(*)-g(*)丨=k*-ln(1+*),令h(*)=k*-ln(1+*)-,则=，当*时，>0,.单调递增，故h(*)>h(0)=0,即丨f(*)-g(*)丨>,满足题意t不存在。当k<1时，存在>0,使得对任意的*(0,),f(*)>g(*),则丨f(*)-g(*)丨=ln(1+*)-k*，令m(*)=ln(1+*)-k*-,则，故当*)时，>0,单调递增，则m(*)>m(0)=0.即丨f(*)-g(*)丨>，记与中较小的为，则当*(0,)时，恒有丨f(*)-g(*)丨>，故满足题意t不存在。当k=1时，丨f(*)-g(*)丨=*-ln(1+*),令n(*)=*-ln(1+*)-,则<0，单调递减，故n(*)<N(0)=0,则*>0时，恒有丨f(*)-g(*)丨<,此时t满足。综上，k=1. z.
