第1章随机事件及概率34节.ppt
2023/11/1,1,内容回顾,1.概率论中的基本概念：,样本点，,样本空间，,随机事件,2.随机事件的四种关系和三种运算以及De Morgen律,3.概率的统计定义：,频率越大，事件发生的可能性越大,4.概率的公理化定义：,非负性，规范性，可加性,5.概率的五条性质,2023/11/1,2,古典概型,一、古典概型的定义二、古典概型的公式三、应用,第三节,基本内容：,2023/11/1,3,2023/11/1,4,注:,2 判断古典概型的两个依据：,的有限性；,各基本事件的等可能性.,3 加法原理、乘法原理、排列与组合在古典概型,中起着重要的作用.,1 古典概型与样本空间的建立有关；,2023/11/1,5,预备知识：,1.加法原理：完成1件事，有n类办法.在第1类办法中,有m1种不同的方法，,在第2类中有m2种不同的方法，,在第n类中有mn种不同的方法，,那么完成这件事共有,2.乘法原理：完成1件事，需要分成n个步骤.,做第1步,有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，,做第n步有mn种不同的方法，,那么完成这件事共有,2023/11/1,6,3.排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有,排列的个数，,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记为,4.组合：从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一,组，,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为,2023/11/1,7,例1：从0,1,2,9共10个数字中任取一个.假定每,(1)7个数字全不同；,(2)不含4和7；,出7个数字，试求下列各事件的概率:,个数字都以1/10的概率被取中,取后还原,先后取,三、常见的古典概型,1.随机取数模型,2023/11/1,8,解:,样本空间所包含的基本事件总数：107.,(1)A表示“7个数字全不同”.,A所包含的基本事件数：,(2)B表示“不含4和7”.,2023/11/1,9,2.分房模型,解：1 先求样本空间所含的样本点总数.,有n个人，每个人都以同样的概率 1/N被分配,在N(nN)间房中的每一间中，试求下列各事件,的概率：,(1)某指定n间房中各有一人；,(2)恰有n间房，其中各有一人；,(3)某指定房中恰有m(m n)人.,例2:,2023/11/1,10,分析 把n个人随机地分到N个房间中去,每一,种分法就对应着一个样本点(基本事件)，,由于每个人都可以住进N间房中的任一,间，所以每一个人有N种分法,n个人共,有 Nn 种分法,即,基本事件总数：,2,(1)设 A表示“某指定n间房中各有一人”,则 A所含样本点数：,2023/11/1,11,(2)设B表示“恰有n间房，其中各有一人”,这n间房可以从N个房间中任意选取,共有,各有一人的分法有 n!种,所以事件B所含的,样本点数：,种分法.而对于每一选定的n间房,其中,分析 对于事件B，由于未指定哪n个房间,所以,2023/11/1,12,求其中恰有2件次品的概率.,例3：设一批产品共100件,其中共有95件正品和,5件次品,按放回抽样方式从这批产品中抽取10,件样本,放回地抽取10件样品共有基本事件数,设事件A1表示“取出的10件样品中恰有2件次品”,解：,事件A1包含的基本事件数：,3.产品检验模型,2023/11/1,13,基本事件的,相当于从100件样品中取10件作组合,求取出的10件样本中恰有2件次品的概率.,例4.,上题按不放回抽样方式从这批产品中抽取,10件样品,解1：,从这批产品中不放回抽样抽取10件样品,总数为,设事件A2表示“取出的10件样品中恰有2件次品”,则事件A2包含的基本事件数为,按古典概型的概率公式,2023/11/1,14,则事件A2包含的基本事件数为,解2：,第一次抽取有100种不同取法,第二次抽取,有99种不同取法,第10次抽取有91种不同取法,因此基本事件的总数为,设事件A2表示“取出的10件样品中恰有2件次品”,按古典概型的概率公式,2023/11/1,15,(2)在不放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为,(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为,设一批产品共N件,其中有M件次品,从这批产品,中随机抽取n件样品，则,产品检验模型,2023/11/1,16,就是从N件产品中任取,次取出的产品是次品的概率.,例5.,设一批产品共N件,其中有M件次品,每次,从这批产品中任取1件产品,取出后不放回,求,第,解:,到第i次取出的产品时,i件样品的排列,所以基本事件的总数为,设事件Ai表示“第i次取出的产品是次品”,它包含的,基本事件数为,2023/11/1,17,注：放回抽样或不放回抽样中,无论哪次抽取次品的概率都一样,即取出次品的概率与先后次序无关.,按古典概型的概率公式,得,2023/11/1,18,同类型的问题还有：,5)扑克牌花色问题；,4)鞋子配对问题；,6)英文单词、书、报及电话号码等排列问题.,1)中彩问题；,2)抽签问题；,3)分组问题；,2023/11/1,19,19,解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712=0.000 000 3.,例：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,2023/11/1,20,条件概率 概率乘法公式,一、条件概率二、概率乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式,基本内容：,第四节,2023/11/1,21,条件概率是概率论中的一个重要概念，,什么是条件概率？,同时，我们将发现它也是用来计算,复杂模型中概率的重要工具。,2023/11/1,22,2023/11/1,23,所谓“事件A1已发生”,是指A1 中某一个样本点已出现。那么，“在事件A1已发生的条件下，事件A2再发生”，必然是这个已出现的样本点又属于A2(属于A1A2).,例：设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件中,不放回连续取两次,每次取一个元件,求在第一次取得一等品的条件下,第二次取得一等品的概率.,分析：,设Ai表示“第 i 次取得一等品”(i=1,2),在新的样本空间 中求事件A1A2的概率,所以A1发生的条件下,A2发生的概率看成是,2023/11/1,24,2.条件概率的定义,为事件A在事件B发生的条件下的条件概率.,设A与B是两个随机事件,若P(B)0,则称,2023/11/1,25,3.条件概率的性质,(3)可列可加性：,逆事件的条件概率:,(1)非负性：0P(A|B)1;,(2)规范性：,对于可列无穷个互不相容事件,故条件概率满足概率的5条性质，如,2023/11/1,26,例6.,设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件中不放回连续取两次,求在第一次取得一等品的条件下,第二次取得一等,每次取一个元件,品的概率.,解：,设Ai表示“第 i 次取得一等品”(i=1,2),则,解1：,解2：,若按事件A1发生条件下缩减后的样本空间,来计算,则,2023/11/1,27,例7,在肝癌普查中发现,某地区的自然人群中,每十万人中,平均有40人患原发性肝癌，有34人出现甲胎球蛋白高含量，,有32人既患原发性肝癌又出现甲胎球蛋白高含量。,从这个地区的居民中任选1人，若他患有原发性肝癌,记为事件A，甲胎球蛋白高含量记为事件B，则,由条件概率的定义有：,这两个条件概率有何,现实意义？,2023/11/1,28,二、概率乘法公式,定理1：对事件A和B，,若P(B)0,则,或若P(A)0,则,此两个公式都称为概率乘法公式.,推广:设 A1,A2,An 为n个随机事件,P(A1A2 An-1)0,则有,若,2023/11/1,29,(2)三次中至少有一次取得一等品的概率.,设在10个同一型号的元件中有7个一等品，,从这些元件中不放回连续取三次，,每次取一个元件,求(1)三次都取得一等品的概率；,例7.,解：,设Ai表示“第 i 次取得一等品”(i=1,2,3),2023/11/1,30,A,三、全概率公式与贝叶斯公式,B1,B2,B3,Bi,Bn,2023/11/1,31,如图,A,B1,B2,B3,Bi,Bn,化整为零各个击破,2023/11/1,32,2023/11/1,33,以上这类问题在医药领域相当重要，,显然，甲的可能性要大得多，因为甲产量多，次品率也高。实际上,因为人们常常需要从诊断的结果来寻找真正的原因。,2023/11/1,34,贝叶斯公式(或逆概率公式),A,B1,B2,B3,Bi,Bn,2023/11/1,35,肝癌普查问题,甲胎蛋白免疫检测法(简称AFP法)被普遍应用,于肝癌的普查和诊断。,设A=肝癌患者,B=AFP检验反应为阳性;,由过去的资料已知：,假阳性率,又已知在人群中肝癌的发病率为,的可能性有多大？,今有一人AFP检测结果为阳性，,现问该人患肝癌,真阳性率,2023/11/1,36,解：,由贝叶斯公式知,由全概率公式知,已知设A=肝癌患者,B=AFP检验反应为阳性;,2023/11/1,37,购买该厂的一件产品，,将该厂所有产品混合投放市场，,(1)求这件产品是次品的概率；,已知各条生产线的产量分别占该厂总产量的25%,例8.,某厂有、三条生产线生产同一种产品，,35%,40%;,各条生产线的产品的次品率分别是5%,4%,2%,某消费者,(2)若这件产品确实是次品,问这件次品最可能是,哪一条生产线生产的？,设事件A表示“消费者购得一件次品”，,表示“这件产品是第i 条生产线的产品”(i=1,2,3),事件Bi,显然B1,B2,B3是互不相容的,且,解：,2023/11/1,38,(1)按全概率公式得,设事件A表示“消费者购得一件次品”，,表示“这件产品是第i 条生产线的产品”(i=1,2,3),事件Bi,显然B1,B2,B3是互不相容的,且,解：,2023/11/1,39,解(2)：按贝叶斯公式得,所以这件次品最可能是第条生产线生产的.,(2)若这件产品确实是次品,问这件次品最可能是哪一条生产线生产的？,2023/11/1,40,(2)在顾客买下的一箱玻璃杯中确实无残次品的概率.,解：(1),例9(研).,玻璃杯整箱出售，,每箱12个，,假设各箱中,有0,1,2 个残次品的概率分别为 0.85,0.10,0.05.,顾客购买一箱玻璃杯时，,售货员任取一箱,而顾客,开箱随机察看4个,若未发现残次品,则买下该箱玻,璃杯;否则不买.,求,(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率；,设事件A表示“顾客买下该箱玻璃杯”,事件Bi表示“顾客察看的该箱玻璃杯中有i个残次品”,那么B0,B1,B2互不相容,且,2023/11/1,41,根据全概率公式得,(2)根据贝叶斯公式得,计算条件概率,2023/11/1,42,条件概率、概率乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式的关系：,条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,2023/11/1,43,内容小结,1.会计算古典概型的概率;,2.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、,全概率公式以及贝叶斯公式，并能应用这些公式,进行概率计算.,2023/11/1,44,作业,习题一（P27）：11、13、15、18、21、22,2023/11/1,45,备用题,1.鞋子配对问题,取走两只,求下列事件的概率.,(1)每人取走的鞋恰为一双的概率;,(2)每人取走的鞋不成一双的概率.,解 设第一个人从2n只中取任取2只,第2个人从,2n-2只中任取2只,第n个人取走最后2只.,有n双不同的鞋混放在一起,有n个人每人随机,2023/11/1,46,(1)每个取走一双鞋的事件数为,于是,依乘法原理,基本事件的总数为,2023/11/1,47,因为第一个人可以从n只右脚鞋中取一只,又可以,从n只左脚中取一只(只要2只鞋不成双),其余类推.,于是,(2)每个人取走的2只鞋都不成双的事件数为(n!)2.,2023/11/1,48,2.生日问题,全班共有学生30人，求下列事件的概率：,(1)某指定30天，每位学生生日各占一天；,(2)全班学生生日各不相同；,(3)全年某天恰有二人在这一天同生日；,(4)至少有两人的生日在10月1日.,解,日 房，N=365(天),2023/11/1,49,(1)A=“某指定30天，每位学生生日各占一天”,(2)设B=“全班学生生日各不相同”,(3)设 C=“全年某天恰有二人在这一天同生日”,2023/11/1,50,(4)设 D=“至少有两人的生日在10月1日”,D1=“恰有一人的生日在10月1日”,D2=“无一人的生日在10月1日”,2023/11/1,51,3.电话号码问题,设电话号码由7位数字组成(第一位数字不,为0),试求下列事件的概率:,(3)7位数字不含0和9;,(4)7位数字不含0或9;,解:由0,1,9这十个数可以形成9106个不同,的电话号码.,(1)7位数字为3501896;,(2)7位数字完全相同;,(5)7位数字含0不含9.,2023/11/1,52,于是,有,2023/11/1,53,4.某种动物,解：设A表示“这种动物能活20岁以上”;,活到25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个20岁,的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？,B表示“这种动物能活25岁以上”;,则有,故,由出生算起活20岁以上的概率为0.8，,2023/11/1,54,Bj表示“报名表是取自第j区的考生”,j=1,2,3.,5.设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生,的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份,随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.,求先抽到的一份是女生表的概率p.,解:设Ai表示“第i次取出的报名表是女生表”,i=1,2,根据题意得,
