第2章一维势场中的粒子.ppt
第2章 一维势场中的粒子,2.1一维定态的一般性质,与空间有关的一维定态Schrdinger方程为：,（2.1）,在量子力学中，如不作特别说明，都假定势能V取实数，即 V=V*。若对应于某个能量E，方程（2.1）只有一个解，则称能级E不简并。若对应于某个能量E，方程（2.1）不只一个解，则称能级E是简并的。,定理2.1：设,是方程（2.1）的一个解，,的一个解，对应的能量本征值也是E。且总可以找到方程（2.1）的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表成这组实解的线性叠加。,对应的能量本征值为E，则,也是方程（2.1）,是实解，则将它归入,（2.1）的一个解。而根据线性微分方程解的叠加,定理2.2：设V(x)具有空间反射不变性，V(x)V(x)。如果 为方程（2.1）的一个解，对应的能量本征值为E，则 也是方程,（2.1）的一个解，对应的能量本征值也是E。且总可以找到方程（2.1）的一组解,其中每一个都具有确定的宇称,而属于能量本征值E的任何解，都可表成这组解的线性叠加。,若能级E无简并，则,描述的是同一个状态，他们之间只能相差一个,常数，,所以有,偶宇称,奇宇称,若能级E有简并，可令,均为方程（2.1）的解，对应的能量本征值都为E，且有确定的宇称。,此外，由定理.1可知，总可将方程的解取为实函数。,习题2.1 在三维情况下证明定理2.1和定理2.2。,定理2.3：对于阶梯形方势,有限时，,连续；,时，定理不成立。,证明：由方程（2.1）有,（2.2）,在x=a的邻域对方程（2.2）积分，有,即V(x)在x=a处发生突变，,有限时，上式右边积分为0，从而,在x=a处连续；,上式右边的积分无法确定。,2.2一维无限深势阱和一维有限深势阱,1.一维无限深势阱,设质量为 的粒子在势场,中运动，求定态Schrdinger方程的解。,解：由于势阱外,不可能出现在势为无限大之处，故势阱外波函数为零。即：,而能量有限的粒子,势阱内的Schrdinger方程为,（2.3）,令,（2.4）,则（2.3）简化为：,其通解的形式为：,由波函数的连续发性条件可得到,从而有,再由波函数的归一化条件可得到归一化常数为,综上，一维无限深势阱,波函数：,能级能级：,（2.6）,一维势阱中粒子波函数及概率图示(取 a2),习题2.2 方程,的一般解亦可写为如下,试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。,或,形式：,习题2.3,设质量为的粒子在势场,中运动，求定态Schrdinger方程的解。,提示：本问题与一维中心不对称无限深势阱的差别仅在于坐标原点的选择，,将式（2.6）中的坐标x换为x+a/2即得到本问题的解为：,n=1,2,3,（2.7）,习题2.4 二维无限深方势阱问题,设质量为的粒子在势场,中运动，求束缚态解。,习题2.5 三维无限深方势阱问题,设质量为的粒子在势场,中运动，求束缚态解。,2.一维有限深势阱,对于一维有限深势阱中运动的粒子，当其处于束缚态时，确定其能级的为超越方程，没有解析解。下面将用数值解法较完整地给出能级和归一化波函数，所用方法和结果简洁明了，对这类问题有普遍意义，也可加深对这类问题的理解。,如图1，设质量为 的粒子在势场,这里我们只考虑束缚态情形，即0EV0 写出分区的定态Scrodinger方程,中运动，求定态Schrdinger方程的解。,令,则分区的定态Schrdinger方程为：,由此得各分区域的通解为：,式中A、B、C、D为待定常数。由波函数的连续性条件可得到：,若要A、B、C、D有不全为零的解，则k1和k2必须满如下方程：,此外有：,令,可将上述方程组写为：,数值解法，取,借助于数学计算软件，容易求得两个交点坐标为：（2.05973，3.42892）和（3.79099，1.27609）即此时粒子有两个能级：,归一化波函数为：,当V0时，势阱的波函数化为：,可见当势为无穷大时，波函数为零。,其第一个束缚态的概率分布情形如图：,2-3 线性谐振子,弹簧振动、单摆是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：,谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。,考虑一维空间中运动的线性谐振子，其势能为：,定解问题为:,（2.8）,（2.9),单值性连续性有限性,令,方程可改写为,（2.10),求解:,先看,时,的渐近行为。此时方程为,，渐近解为,因为波函数的标准条件要求,。,有限，,故取,。,据上，可令方程的解为,代入方程（2.10)，得到,满足的方程为,（2.11),用级数解法，可求得，只有在,时，才能求得满足要求的解，为,Hermite多项式,相应的线性谐振子的能级为,对应于能量,的波函数是,（2.12),前几个波函数的表达式：,讨论：,（1）线性谐振子的能级是分立的，两相邻能级的间隔均为:,振子的基态（n=0）能量为,称之为零点能。,，,2）与经典力学中的线性谐振子的比较：,n=10,习题2.8 求基态线性谐振子在经典界限外被发现的概率,习题2.9 求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。,习题2.10 试证明,谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。,是线性,习题2.11 带电q的线性谐振子在均匀电场E中,运动，其势能为,，求谐振子的,能级和波函数。,习题2.12 一粒子在一维势阱,中运动,利用谐振子的已知结果求出粒子的能级和波函数。,2.4 阶梯势反射和势垒贯穿,1.阶梯势反射,粒子以能量E对阶梯势入射，,求透射系数与反射系数。,讨论如下三种情况：,（1）V00；由左向右入射（3）E0,由右向左入射。,解：(1)-V0E0写出分区Schrdinger方程为：,令：,可将上述方程简化为：,一般解可写为：,由波函数连接条件，有：,解得：,据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的概率流密度及反射系数和透射系数,满足 R+D1,可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x0的区域找到电子的概率不为零。类似于光的“全内反射”。,(2)E0,写出分区Schrdinger方程为：,令：,可将上述方程简化为：,一般解可写为：,考虑到没有从右向左的入射波，B0由波函数连接条件，有：,解得：,据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的概率流密度及反射系数和透射系数,满足 R+D1,可见，尽管E0，但仍有粒子被反射。,（3）E0,粒子从右向左入射,仿（2）方法求解，结果相同。,.势垒贯穿,一维空间中，能量为E的自由运动的粒子在如图方型势垒上散射，求解之。,（1）EV0,定态Schrdinger方程为：,其解的一般形式为：,上述解再乘上时间因子就分别得到向左向右传播的平面波，但在xa的区域没有向左传播的平面波，故 C=0。,再利用x=0和xa处的连续条件，有：,可解得：,而相应的概率流密度为,相应的透射系数和反射系数为：,透射系数,反射系数,（2.13）,（2.14）,而当,，即,时，D=1,R=0,此时粒子完全透射，没有反射，称之为共振透射。,习题2.13 在上述势垒贯穿问题中，若入射粒子能量满足 E=V0，结果如何？直接求解；在式（2.13）和（2.14）中令EV0，并将结果与的结果进行比较。,（2）EV0,这时 k2是虚数，可令 k2ik3 则,为实数，可得到透射系数为,可见，能量低于势垒高度的粒子有一定概率穿过势垒。,当 V0时，D0。对任意形状的势垒，可将上式推广为：,若入射粒子的能量 E 很小，以致 k3a1,则有,（3）若为势阱，V0-V0,仍有:,透射系数,反射系数,且反射系数一般不为零。,2.5 一维势,一维势垒的穿透,设有质量为、动能为E的粒子入射到势垒,，求其透射系数。,定态Schrdinger方程为：,在x=0处连续,由定理2.3可知,则有跃变：,(2.15),(2.16),在x0处式(2.15)可以表示成：,其特解为：,其中R项为反射波，S项为透射波，由x=0处,的连续条件得到1+R=S,由式(2.16)得到,容易解出：,所以，透射系数,反射系数,粒子数守恒,时，,2一维势阱中的束缚态,设粒子在势阱,求束缚态（E0）能级和波函数。,中运动，,定态Schrdinger方程为:,其解的形式为,且要求,由于V(x)是偶函数，束缚定态波函数必有确定的宇称,下面将分别就偶宇称态和奇宇称态进行讨论。,偶宇称态,可令,由式（2.20），有：,因此有,唯一束缚态能级,归一化,(b)奇宇称态,由波函数在x=0处的连续条件得到A=0,因此不存在奇宇态束缚态。,习题2.14 设粒子在势阱,中运动，求束缚态（E0）能级和波函数。,
