第三讲二次函数上.docx

第三讲二次函数(上)二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学教材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。学习二次函数的关键是抓住顶点(-b2a,(4ac-b274a),顶点的由来体现了配方法(y=ax2+bx+c=a(x+b2a)2+(4ac-b274a)；图象的平移归结为顶点的平移(y=ax'fy=a(x-h)2+k)；函数的对称性(对称轴x=-b2a,f(-b2a+x)=f(b2a-x),xR),单调区间(-,-b2a),-b2a,+,极值(4ac-b274a),判别式(b2-4ac)与X轴的位置关系(相交、相切、相离)等，全都与顶点有关。一、“四个二次型”概述在河南教育出版社出版的漫谈a2+bx+c一书中(作者翟连林等)，有如下一个“框图”：(一元)二次三项式 ax2+bx+c (a0)_一元二次方程 a2+bx+c=0(a0)-* a=0 I(一元)二次薇_a_I(一元)一次函阚y=ax2+bx+c(a|#协y=bx+c(bWO)一元二次不等式ax2+bx+c>0或-*a=0->ax2+bx+c<0(a0)观察这个框图，就会发现：在aWO的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式a2+bx+c(a0)像一颗心脏一样，支配着整个“四个二次型”的运动脉络。而二次函数y=ax'bx+c(aWO),犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量X的取值范围是全体实数，即nR;它的解析式f(x)即是二次三项式ax2+bx+c(aO)：若y=0,即a2+bx+c=0(a0),就是初中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0,即ax'bx+c>O或ax,bx+c<O(aO),就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在，它直接影响着两大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点；一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话，“四个二次型”联系密切，把握它们的相互联系、相互转化、相互利用，便于寻求规律，灵活运用，使学习事半功倍。二、二次函数的解析式上面提到，“四个二次型”的心脏是二次三项式：二次函数是通过其解析式来定义的(要特别注意二次项系数aW0)；二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此，掌握二次函数首先要会求解析式，进而才能用解析式去解决更多的问题。Y=a2+bx+c(aW0)中有三个字母系数a、b、c,确定二次函数的解析式就是确定字母a、b、C的取值。三个未知数的确定需要3个独立的条件，其方法是待定系数法，依靠的是方程思想及解方程组。二次函数有四种待定形式：1 .标准式(定义式)：f(x)=ax2+bx+c.(a0)2 .顶点式：f(x)=a(-h)2+k.(a0)3 .两根式(零点式)：f(x)=a(-l)(-2).(a0)4 .三点式：(见罗增儒高中数学竞赛辅导)过三点A(xbf(x)、B(x2,f(x2).C(x3,f(x3)的二次函数可设为f(x)=a(x-2)(x-3)+a2(x-)(x-3)+a3(x-x)(x-2)把ABC坐标依次代入，即令X=Xl,X2,×3,得f(x)=a(-2)(x-X3),f(x2)=a2(x2-x)(X2-X3),f(x3)=a3(3-1)(X3-X2)解之，得：a)=f(x)/(X1-X2)(-3)>a2=f(x2)/(x2-)(x2-s),a3=f(x3)/(X3-X1)(x3x2)从而得二次函数的三点式为:f(x)=f(x)(x-2)(X1-X3)(-2)(-X3)+f(x2)/(X2-X】)(X2-X3)(x-x)(X-X3)+f(X3)/(X:X】)(X3-X2)(x-x)(X-X2)根据题目所给的不同条件，灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式，将会得心应手。例1.已知二次函数的图象过(一1,6),(1,-2)和(2,3)三点，求二次函数的解析式。解法一：用标准式Y图象过三点(一1,一6)、(1,一2)、(2,3)；可设y=f(x)=ax2+bx+c,且有a-b+c=6，a+b+c=-2，4a+2b+c=3解之得：a=l,b=2,C=-5所求二次函数为y=x2+2-5解法二：用三点式图象过三点(1,-6),(1,一2),(2,3)；可设y=a1(-2)(-3)+a2(-)(-3)+a3(-1)(-2)=(a+a2+a3)x"-a(X2+X3)+a2(x+x3)+a3(x+x2)x+(a1X2X3+a2X1X3+a3XX2)计算可得：a=-6/(11)(-1-2)=-1,a2=-2(1+1)(1-2)=1,a3=3(2+1)(2-1)=1f(x)=x2÷2-5例2.二次函数的图象通过点(2,-5),且它的顶点坐轴为(1,-8),求它的解析式解：它的顶点坐标已知可设f(x)=a(x1)2-8又函数图象通过点(2,-5),，a(21)"8=-5解之，得a=3故所求的二次函数为：y=3(-l)2-8即：y=f(x)=3x2-6x5评注,以顶点坐标设顶点式a(-h)2+k,只剩下二次项系数a为待定常数，以另一条件代入得到关于a的一元一次方程求a,这比设标准式要来得简便得多。例3.己知二次函数的图象过(-2,0)和(3,0)两点，并且它的顶点的纵坐标为125/4,求它的解析式。解：(一2,0)和(3,0)是X轴上的两点,Xi=-2,X2=3可设y=f(x)=a(x+2)(x-3)=a(x2-6)=a(x-l2)2-254=a(x-l2)-254a它的顶点的纵坐标为一254a-254a=1254,a=-5故所求的二次函数为：f(X)=5(x+2)(-3)=-5x2+5x+30想一想：本例能否用顶点式来求？例4.已知二次函数经过3点A(1/2,3/4)、B(-1,3)>C(2,3),求解析式。分析本例当然可用标准式、三点式求解析式，但解方程组与求小、a2.a3计算较繁。仔细观察三点坐标特点或画个草图帮助分析，注意到三点的特殊位置，则可引出如下巧解。解法一：顶点式：由二次函数的对称性可知,点B、C所连线段的中垂线x=(T+2)/2=1/2即为图象的对称轴，从而点A(1/2,3/4)必是二次函数的顶点，故可设顶点式：f(x)=a(x-(l2)2+(34)把B或C的坐标代入得：f(-1)=a(-3/2)2+(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3解得：a=l.*.f(x)=(-(l2)2+34=x2-x+1解法二由B、C的纵坐标相等可知B、C两点是函数y=f(x)与直线y=3的交点，亦即B、C两点的横坐标是方程f(x)=3即f(X)-3:0的两个根故可设零点式为：f(x)-3=a(x+l)(-2)把A点坐标代入，有f(1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2),即一94=-94a,a=l从而f(x)=(x+l)(-2)+3=x2-+1三、二次函数的最值我们知道，二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a0)利用配方法，可以得出:y=f(x)=ax2+bx+c=a(x+(b2a)2+(4ac-b2j4a),它的图象是开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标是(-(b2a),(4ac-b274a)1 .当自变量在全体实数范围内变化时，二次函数的最值为：a>0,a<0,ynin=fni11=(4ac-b274a)；yrox=f三=(4ac-b274a)；2 .当自变量的取值范围为有限闭区间p,g时，其最值在f(p)、f(g)>f(-b2a)三者中取得，最值情况如下表：-b2ap,g-b2ap>gla>0fnin=f(-b2a)=(4ac-b"/4a)fmx=maxf(p),f(g)fnln=in(f(p),f(g)f111=maxf(p),f(g)a<0f,tlx=f(b2a)=(4ac-b2)/4a)fni11=minf(p),f(g)例5.当X为何值时，函数f(x)=(-a)2+(-a2)2+(-a11)2取最小值。解：*/f(x)=(x2-2ax+a2)+(x2-2a2x+a22)+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2+an)x+(a2+a22+a112)；当X=(a+a2+an)n)f,f(x)有最小值。评注：1994年全国普通高考命制了如下一个填空题，在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到山、a2,，共n个数据。我们规定的所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，从%,a2,a,推出a=读者从例5的解答中，能否悟到解决此题的灵感？例6.(1982年全国高中数学联赛试题)己知x,X2是方程2-(k-2)x+(k2+3k+5)=O(k为实数)的两个实数根，XJ+J的最大值是：（八）19；(B)18；(C)50/9(D)不存在解：由韦达定理得：x+x2=k-2,xX2=k2+3k+5xi2÷x=(X÷X2)-2xiX2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19如果由此得K=-5时，(xi2+x22)皿=19,选（八）,那就错了。为什么？己知该xI,X2是方程的两个“实数”根，即方程必须有实数根才行，而此时方程的判别式20,即=(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-160解得：-4k-43Vk=-5¢-4,-43,设f(k)=一(k+5)2+195Mf(-4)=18,f(-4/3)=509<18当k=-4时,(xi2+x22)<三x=18,选(B)评注：求二次函数最值时，必须首先考虑函数定义域。否则，审题不慎，忽略“实数”二字，就会掉进题目设置的“陷阱”中去了。例7.己知f(x)=2-2x+2,在X七t,t+l上的最小值为g(t),求g(t)的表达式。解：f(x)=(-l)2+l(1)当t+l<l即t<0时，g(t)=f(t+l)=t2+l(2)当tlt+l,即0tWl时，g(t)=f(1)=1(3)当t>l时，g(t)=f(t)=tt+2?+UyOg(f)=<1,0t综合、得：i2-2i+2ft>例8.(1)当xsy2=l时,求2x+3y2的最值；(2)当3x2+2y"=6x时，求x'y?的最值。解：由x2+2y2=l得y2=l2(l-x2),代入2x+3yx+(32)(l-2)=(-(3/2)(-(2/3)2+(13/6)又Ir2=2/20,x21,1x1当x=23时,y=(10)/6,(2x+3y2)nnx=163;当X=T时，y=0,(2x+3y2)1=-2(2)3x2+2y2=6x,得y-(32)x(2-),代入x2+y2=x2+(3/2)X(2-)=-l2(-3)2+92又y2=(32)x(2-)0,得0xW2当x=2,y=O时，(x2+y2)nftx=4;当X=O,y=0时,(x2+y2)nln=0