第2章随机变量及其分布.ppt

第二章 随机变量及其分布,关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量.,随机变量的概念,随机变量常用X、Y、Z 或、等表示。,随机变量的特点:,1 X的全部可能取值是互斥且完备的,2 X的部分可能取值描述随机事件,2.1 随机变量及其分布,(1)掷一颗骰子，出现的点数 X1，2，6.X=3(2)n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，n Y=1(3)某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，(4)某种型号电视机的寿命 T:0,+),1000T2000,T=1200,2.1.1 随机变量的定义,定义2.1.1 设=为某随机现象的样本空间，称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.,随机变量常用,X,Y,Z等表示,注 意 点(1),(1)随机变量X()是样本点的函数，,其定义域为，其值域为R=(，),若 X 表示掷一颗骰子出现的点数，则 X=1.5 是不可能事件.,(2)若 X 为随机变量，则 X=k、a X b、均为随机事件.,即 a X b=；a X()b,注 意 点(2),(3)注意以下一些表达式：,X=k=X kX k；,a X b=X bX a；,X b=X b.,(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量.,例1在抛掷一枚硬币时,出现正面(H)，或出现反面(T),则样本空间正面，反面,记为随机变量,例2 将一枚硬币抛掷3次,观察正面(H)与反面(T)出现的情况,则样本空间为 HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT.记出现正面的总次数为(),则()为定义在上的函数:,P(=1),P(=2),P(=3),P(=0),若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量.若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 a,b，则称 X 为连续随机变量.前例中的 X,Y,Z 为离散随机变量；而 T 为连续随机变量.,两类随机变量,定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x，称 F(x)=P(X x)为 X 的分布函数.基本性质：(1)F(x)单调不降；(2)有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；(3)右连续.,2.1.2 随机变量的分布函数,2.1.3 离散随机变量的分布列,设离散随机变量 X 的可能取值为：x1，x2，xn，称 pi=P(X=xi)，i=1,2,为 X 的分布列.分布列也可用表格形式表示：,X x1 x2 xn,P p1 p2 pn,分布列的基本性质,(1)pi 0，(2),(正则性),(非负性),注 意 点(1),求离散随机变量的分布列应注意：,(1)确定随机变量的所有可能取值;,(2)计算每个取值点的概率.,例.用随机变量方法描述掷一颗骰子的试验情况。,解:用表示掷一颗骰子出现的点数,可取16的自然数,则相应的概率值为1/6,列成概率分布为,事件“点数不大于5且不小于3”可表示为“35”,则相应的概率为 P(35)=(=3)+P(=4)+P(=5)=3(1/6)=1/2.,例 设随机变量的分布律为,求的分布函数F(x)及概率P01.5。,分析:F(x)=Px,随机变量,可取0、1、2,应该根据x的不同取值确定函数F(x).,解:当x0时,F(x)=Px=0;当0 x1时,F(x)=Px=P=0=0.3;当1x2时,F(x)=Px=P=0+P=1=0.8;当x2时,F(x)=Px=P=0+P=1+P=2=1;,因此的分布函数F(x)为,(2)P0 1.5=P01.5+P=0=F(1.5)-F(0)+P=0=0.8.,注 意 点(2),对离散随机变量的分布函数应注意：,(1)F(x)是递增的阶梯函数;,(2)其间断点均为右连续的;,(3)其间断点即为X的可能取值点;,(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.,例2.1.1,已知 X 的分布列如下：,X 0 1 2,P 1/3 1/6 1/2,求 X 的分布函数.,解：,X 0 1 2,P 0.4 0.4 0.2,解：,例2.1.2,已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.,P=xk=F(xk)-F(xk-0)(k=1,2,);Pab=Pb-P a=F(b)-F(a);Pa b=F(b)-F(a)-P=b;Pa b=F(b)F(a)+P=a.Pab=F(b)-F(a)+P=a-P=b F(b)-F(a).,离散型随机变量的概率分布与分布函数满足关系,(2)已知分布函数F(x),则,2.常用离散分布,2.2.1 二项分布 记为 X B(n,p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时，称 B(1,p)为 0-1分布.,注 意 点,二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和.,试验次数为 n=4,“成功”即取得合格品的概率为 p=0.8,所以,X B(4,0.8),思考：若 Y 为不合格品件数，Y？,Y B(4,0.2),一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数 X 服从二项分布.,例:设X B(2,p)，Y B(4,p)，已知 P(X1)=8/9，求 P(Y1).,解:由 P(X1)=8/9，知 P(X=0)=1/9.,由此得：P(Y1)=1 P(Y=0),所以 1/9=P(X=0)=(1p)2，,从而解得:p=2/3.,=1-(1p)4=80/81.,例.某厂有同型号设备(独立工作),每台故障率平均0.01,求：(1)1名维修工负责看管20台设备,求不能及时维修的概率.(2)若3名维修工共同看管80台设备,求不能及时维修的概率.(3)若有400台这种设备,为使不能及时维修的概率在0.01以下,问至少需要安排多少名维修工看管?,解：设表示同时出故障的设备台数,则B(20,0.01),(1),则B(80,0.01),(2),则B(400,0.01),(3),假设需要m个维修工,根据要求有,即 m=9.,尽管任务比第一种情况重了(平均每人约维护27台)，但质量反而提高了可以用概率方法达到优化使用人力，物力资源的目的,二项分布的最可能值,在二项分布中,使 pk=P=k取最大的k值称为二项分布的最可能值,记为k0,则有,即,例.社会上定期发行中奖率为p的某种奖券,每券1元。某人每次购买1张奖券,如果没有中奖下次再继续购买1张,直到中奖为止，求该人购买次数的概率分布。,解:=1表示第一次购买的奖券中奖,即P(=1)=p;=2表示购买两次奖券,第一次未中奖而第二次中奖,即P(=2)=(1-p)p,.=i表示购买i次奖券,前i-1次未中奖而第i次中奖,即P(=i)=(1-p)i-1p。,如果随机变量的概率分布函数为 P(=i)=(1-p)i-1p,i=1,2,称随机变量服从几何分布。,记为 X Ge(p),X 为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.,几何分布具有无记忆性，即：,P(X m+n|X m)=P(X n),2.2.2 几何分布,若随机变量 X 的概率分布为,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记为 X P().,2.2.3 泊松分布,例如:1.某高速公路每天发生交通事故的次数;2.在某公共汽车起点站,每辆车上的人数；.一本书一页中的印刷错误数等.,例.已知P(5),求P(=2),P(=5),P(=20)。,解:已知5,因此 P(=2)=0.084224,P(2),P(4),P(=5)=0.175468,P(=20)=0。,泊松定理,定理,(二项分布的泊松近似),若B(n,p)时,当n很大(n50)p很小(p0.1),且np5时有,Bk(n,p)Pk(),=np,k=0,1,2,n。,书上P30页,2.1.4 连续随机变量的密度函数,连续随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b).因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0，所以无法仿离散随机变量用 P(X=x)来描述连续随机变量X的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.,定义2.1.4,设随机变量X 的分布函数为F(x),则称 X 为连续随机变量，,若存在非负可积函数 f(x)，满足：,称 f(x)为概率密度函数，简称密度函数.,密度函数的基本性质,满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.,(非负性),(正则性),注意点(1),(1),(2)F(x)是(,+)上的连续函数;(3)P(X=a)=F(a)F(a0)=0;,(4)PaXb=PaXb=PaXb=PaXb=F(b)F(a).,注意点(2),(5)一般,f(x)=,连续型,密度函数 X f(x)(不唯一),2.,4.P(X=a)=0,离散型,分布列:pn=P(X=xn)(唯一),2.F(x)=,3.F(a+0)=F(a);P(aXb)=F(b)F(a).,4.点点计较,5.F(x)为阶梯函数。,5.F(x)为连续函数。,F(a0)=F(a).,F(a0)F(a).,例 已知连续型随机变量的概率密度为,求(1)k;(2)F(x);(3)P1.52.5.,解：(1)由 有,因此,已知 的概率密度为,则有的概率分布函数,(3)P1.52.5.,由于,因此 P1.52.5=F(2)-F(1.5),例2.1.3,设 X,求(1)常数 k.(2)F(x).,(1)k=3.,解：,例2.1.4,设 X,求 F(x).,解：,设X与Y同分布，X的密度为,已知事件 A=X a 和 B=Y a 独立，,解:因为 P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B),从中解得,且 P(AB)=3/4,求常数 a.,且由A、B 独立，得,=2P(A)P(A)2=3/4,从中解得:P(A)=1/2,由此得 0a 2,因此 1/2=P(A)=P(X a),例2.1.5,设 X f(x)，且 f(x)=f(x)，F(x)是 X 的分布函数，则对任意实数 a0，有()F(a)=1 F(a)=F(a)=F(a)F(a)=2F(a)1,课堂练习,记为X U(a,b),1.均匀分布,占整个区间长度的比例,有实根的概率.,例:设随机变量X U(0,5),求方程,解:,例:X U(2,5).现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.,解：,记 A=X 3,则 P(A)=P(X 3)=2/3,设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3,2/3)，所求概率为,P(Y2)=,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,2.指数分布,记为 X E(),其中 0.,特别：指数分布具有无忆性，即：,P(X s+t|X s)=P(X t),说明:指数分布常用于描述具有“寿命”特征的随机变量的分布特性。,例:某产品的寿命(单位:小时)服从参数为1/2000的指数分布,求产品使用1500小时不坏的概率。,解：已知 的概率密度为,因此,例 某元件寿命(单位:小时)服从参数为(-1=1000)的指数分布,求3个相同元件使用1000小时后都没有损坏的概率。,解：已知的分布函数为,因此,由于各元件寿命相互独立,因此使用3个这样的使用1000小时后都没有损坏的概率约为e-3。,或,记为X N(,2),其中 0，是任意实数.,是位置参数.,是形状参数.,3.正态分布,y,正态分布的性质,(1)f(x)关于 是对称的.,在 点 f(x)取得最大值.,(2)若 固定,改变,(3)若 固定,改变,f(x)左右移动,形状保持不变.,越大曲线越平坦;,越小曲线越陡峭.,标准正态分布N(0,1),密度函数记为(x),分布函数记为(x).,(x)的计算,(1)x 0 时,查标准正态分布函数表.,(2)x 0时,用,若 X N(0,1),则(1)P(X a)=(a);(2)P(Xa)=1(a);(3)P(aXb)=(b)(a);(4)若a 0,则 P(|X|a)=P(aXa)=(a)(a)=(a)1(a)=2(a)1,例 设 X N(0,1),求 P(X1.96),P(|X|1.96),=1(1.96),=1(1(1.96),=0.975(查表得),=2(1.96)1,=0.95,=(1.96),解:P(X1.96),P(|X|1.96),=2 0.9751,设 X N(0,1),P(X b)=0.9515,P(X a)=0.04947,求 a,b.,例,解:(b)=0.9515 1/2,所以 b 0,反查表得:(1.66)=0.9515,故 b=1.66,而(a)=0.0495 1/2,所以 a 0,(a)=0.9505,反查表得:(1.65)=0.9505,故 a=1.65,一般正态分布的标准化,定理 设 X N(,2),则 Y N(0,1).,定理 设N(,2),证明:,由于N(,2),因此(-)/N(0,1),则,设 X N(10,4),求 P(10X13),P(|X10|2).,解:P(10X13)=(1.5)(0),=0.9332 0.5,P(|X10|2)=,P(8X12),=2(1)1,=0.6826,=0.4332,例,设 X N(,2),P(X 5)=0.045,P(X 3)=0.618,求 及.,例,解:,=1.76=4,已知 X N(3,22),且 PXk=PXk,则 k=().,课堂练习(1),3,课堂练习(2),设 X N(,42),Y N(,52),记 p1=PX 4，p2=PY+5,则()对任意的，都有 p1=p2 对任意的，都有 p1 p2,设 X N(,2),则随 的增大，概率 P|X|()单调增大 单调减少 保持不变 增减不定,课堂练习(3),正态分布的 3 原则,设 X N(,2),则,P(|X|)=0.6828.,P(|X|2)=0.9545.,P(|X|3)=0.9973.,例.地区成年男性的身高(单位:厘米)XN(170,7.692),求该地区成年男性身高超过175厘米的概率。,解:由于该地区成年男性身高XN(170,7.692),因此 PX175=1-PX175,该地区成年男性身高超过175厘米的概率为0.2578。,例7.设某项竞赛成绩N(65,100)。若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线应该定为多少?,解:设获奖分数线应该定为x0,则Px0=0.1,即 Px0=0.9,由于竞赛成绩N(65,100),从而可知获奖分数线应该定为x0=77.9。,随机变量函数的分布,问题：已知 X 的分布，求 Y=g(X)的分布。,例如：Y1=4X+3；Y2=|X|；Y3=X2.,当 X 为离散随机变量时，Y=g(X)为离散随机变量.,将g(xi)一一列出,再将相等的值合并即可.,2.6.1 离散随机变量函数的分布,例:已知,求：Y=X2的分布律,连续型一般方法:若Xf(x),-x+,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数 FY(y)PYyPg(X)y,然后再求Y的密度函数,此法也叫“分布函数法”,例.设XU(-1,1),求Y=2X的概率密度。,当y-2时,当-2y2时,当y2时,思考:,设XU(0,1),求Y=3X的概率密度.,设XU(0,1),求Y=aX+b的概率密度,设XU(0,1),求Y=eX的概率密度,例.已知XN(,2),求,的概率密度,例：设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。,Y在区间(0,16)上均匀分布。,