第3章大气边界层支配方程之1.ppt
湍流运动的两种研究方法,1、采用随机过程的统计学方法来反映大气湍流结构 平均、方差、标准差、湍强、相关、通 量、应力、湍流动能 2、解湍流运动控制方程（平均运动方程、脉动方程、湍能方程.）,第三章 大气边界层支配方程,3.1 基本控制方程 3.2 平均量方程 3.3 湍流脉动量方程 3.4 湍流方差预报方程 3.5 湍流通量预报方程 3.6 闭合理论,3.1 基本控制方程,为了定量描述和预报边界层状况，需要借助于流体力学来描述大气中气体动力学和热力学方程。描述气体和液体流动的方程组包括：,(水汽及污染物浓度的标量方程类似热量方程),3.1 基本控制方程,3.1.1 控制方程3.1.2 简化与近似Boussinesq近似3.1.3 坐标系及其变换,3.1.1 控制方程,状态方程质量守恒（连续方程）动量守恒（牛顿第二定律）热量守恒方程（热力学第一定律）,1）状态方程,理想气体状态方程：,P：气压：湿空气密度R：干空气气体常数（R=287 J K-1 kg-1）虚温Tv=T(1+0.61q)，q比湿，T温度,2）质量守恒（连续方程）,连续性方程的一般形式：,不可压缩流体,或,泰勒假说:,运用Einstein求和符号惯例，以上的连续方程写成：,（j=1、2、3分别代表x、y、z三个方向）,3）动量守恒（牛顿第二定律）,动量方程的表达式：,局地时间变化,平流项,气压梯度力项,重力作用项,科氏效应,粘滞应力项,i3为克罗内克符号,重力仅在垂直方向起作用,思考：方程右端第三项展开？,4）热量守恒（热力学第一定律）,热量守恒关系常用位温方程来表示：,s：引起空气位温变化的热量源(汇)项（分子热传导、与相变有关的潜热释放、净辐射加热）,水汽及污染物的守恒方程形式与热量守恒形式一致 关键是要全面准确的了解引起成份变化的源汇项,3.1.2 简化与近似Boussinesq近似,在一定条件下，控制方程中某些项的量值比其它项小得多，以致可以把它略去，使得方程变得较为简单，有助于方程的求解。,必须考虑地球自转的影响,大气密度并非均匀，主要在垂直方向上是不均匀的层结流体,大气的空间尺度在水平方向远大于铅直方向，可视作浅层流体，不可压缩流体,大气边界层主要是湍流运动,大气边界层的特点概括有：,Boussinesq 近似,Boussinesq 近似的基本假定：,流体中的动力学粘滞系数=是常数,流体中的分子导热系数 kT 是常数,大气是浅层流体，垂直范围约10km,描写流体热力状态的特征量可表示为,扰动量远小于基态量：,基本状态量假设是静力平衡、绝热的，并且满足理想气体状态方程，即：,Boussinesq 近似下的简化方程：,连续方程状态方程运动方程热流量方程,1）连续方程,当大气为浅层流体，在该范围内密度的变化很小、可以忽略，边界层大气可以近似认为是不可压缩的，连续方程为：,或,2）状态方程,对于干空气，状态方程为 P=RT，对该式进行对数微分，可以得到：,如果运动的垂直尺度相对于大气层厚度而言很小，则,取对数：,取微分：,3）运动方程,Navier-Stokes方程中压力梯度项和重力项可以进行改写：,将上式代入运动方程得到：,扰动温度在重力作用下形成的净浮力项,4）热流量方程,边界层支配方程中常用到位温，Poisson方程：,对该式进行对数微分，近似有,此外，有,因此，有,扰动温度的垂直梯度,位温的垂直梯度,如果不考虑相变，热源 S 仅考虑分子热传导及辐射加热，则热流量方程为：,Rj:j方向的辐射热通量,分子热传导的加热,辐射加热,上式中Td 也可以换成,以上近似处理最早由Boussinesq(1903)提出Boussinesq近似该简化方程假定流体不可压、并限制在一薄层内。适用于研究像积云对流、海陆风环流、边界层急流中的重力波活动等发生在浅层内的中尺度运动浅水方程,综上所述，Boussinesq近似下的基本方程组为：,或,或,热流量方程,运动方程,状态方程,连续方程,3.1.2 坐标系及其变换,通常我们使用笛卡尔坐标系，在实际应用中，将笛卡尔坐标系绕z轴旋转，使x、y轴指向其它方向，能够在处理问题时更方便。例如，使x轴与平均风向、地转风向、表面应力方向、垂直于海岸线、山的方向一致，这样就可以简化控制方程中的某些项。例如，选择x轴与平均风方向一致，就可以求得u=M（平均风速）和v=0，这时，x轴叫做顺风方向，y轴叫做侧风方向。,3.2 平均量方程,以上动力方程组无法求解析解，但可以求得数值解。原则上，可以用动力方程组来描述湍流的运动，但是要想囊括所有尺度的湍流运动，计算量太大。为了简化，可以截取一定尺度的涡旋，而在这个尺度以下的涡旋用湍流的统计特征来代替。在一些中尺度和天气尺度模式中，截取尺度为10100公里，而在边界层模式，比如说大涡模拟，截取尺度一般为10100米。,一 出发方程组,1.状态方程2.连续性方程3.动量守恒4.热量守恒5.水汽守恒6.标量守恒,1、状态方程,干空气气体常数,2、连续方程,张量展开：,3、运动方程(动量守恒),存储项,平流传输项,重力项，仅在垂直方向作用,柯氏力项,气压梯度力项,粘性力项,式中：为分子动粘系数，f=2sin。,4、热量守恒,存储项,平流传输项,热扩散项,式中：k为分子热扩散系数，数值为2.0610-5 m2s-1；Lp为与E相变有关的潜热（0C时气液相变取值2.50106 Jkg-1；液固相变取值3.34105Jkg-1;气固相变取值2.83106 Jkg-1）；cp为湿空气定压比热，与干空气定压比热的关系为cp=cpd(1+0.86q)；cpd取值1004.07 Jkg-1K-1；E为蒸发量,辐射加热项,与相变有关的潜热释放,5、水汽守恒,存储项,平流传输项,水汽扩散项,式中：vq为空气中水汽分子扩散率，Sq是方程中不含有其余过程时的净水体源项（源-汇），单位是：单位时间单位体积的总水体质量。,其它过程的净水体源项,6、标量守恒,存储项,平流传输项,C的扩散项,其它过程的体源项,式中：vc为空气中C的分子扩散率，Sc是不存在于方程中的其余过程的体源项，例如化学反应等。,在湍流运动的大气边界层中，上述方程组还不能完整地描述边界层中的全部过程，应将上述的主要变量转换成平均量和脉动量相加。即：,平均场方程描述长时间过程，脉动场方程描述短时间过程。,二 湍流中平均变量方程,推导思路：,出发方程：Boussinesq 近似方程组 采用雷诺平均的方法，将任意一个物理量表示成平均量和脉动量之和，代入方程组，然后再取平均。大气边界层平均量控制方程,雷诺平均规则,Stull.书 P41-44,1 状态方程,进行雷诺平均后：,2 连续方程,湍流脉动连续方程,湍流平均量连续方程,3 动量方程,3 动量方程,湍流应力或雷诺应力,重要！,P.S.：定常、水平均匀性、下沉,展开任一平均变量的全导数：,象位温、湍流动能e等平均变量，垂直变化大、水平变化很小；风速相反，u、v量级m/s，而w量级mm/s；因此方程中项多数情况下量级几乎相等。,水平平流 垂直,4、热量方程,：湍流热通量,5、水汽守恒,6、标量守恒,上面平均方程组均出现了湍流通量散度项，表现出湍流通量对平均场动量、热量和水汽含量增减的贡献。,湍流中平均变量方程概要（略去分子扩散和粘性）,状态:,连续:,动量:,热量:,水汽:,标量:,【例 子 1】,设湍流热通量按 随高度线性递减，其中 a=0.3(K m s-1)和 b=310-4(K s-1)。如果初始位温廓线是任意形状（即选择某一形状），那么1小时后廓线的最终形状是什么样子？略去下沉、辐射、潜热加热，并假设水平均匀。,-【解法】-略去下沉、辐射、潜热加热，位温平均量方程为：,假设水平均匀，略去 x 和 y 导数，得到：,1 小时的增温是,【讨论】ML，所有高度空气以相同速率增温，廓线形状不变,【例 子 2】,如果10m/s的风速把干空气平流到某一区域，该区水汽水平梯度为(5g水/kg气)/100km，那么要保持定常状态的比湿，边界层湍流水汽通量的垂直梯度多大？假设所有水都是气态，且不存在水汽体源。,问题中没提到下沉或水平通量梯度，假设为零，得到：,-【解法】-定常即，选择x坐标与平均风向一致，平均量方程:,【讨论】梯度大小相等于在垂直距离1km上 减少0.5(g/kg)(m/s),【作 业】,令 C 是空气中hockipuculis细菌浓度，大家知道这种传染病菌，每年冬天都要掠过美国北部一些州，当湖上结冰时它便增加。Sieve研究所发现了空气中hockipuculis的下列守恒方程:,式中 a 是常数，假设水平均匀、无下沉，求出湍流大气中的 守恒方程。,【个 例 分 析】,
