应用反比例函数中k的几何意义解题举例.doc

反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积图1ANMXYO一般地，如图1，过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AM、AN，所得矩形AMON的面积为：S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|.又y=，xy=k.=|k|.这就是说，过双曲线上任一点，做X轴、Y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|,这是系数k的几何意义，明确了k的几何意义会给解题带来许多方便，请思考以下问题：1、求函数的解析式ACOBx图2例1如图2所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、如果四边形是正方形，求一次函数的关系式解析四边形是正方形与反比例函数的图象在第一象限相交于点，那么正方形的面积为：Sxy9，所以正方形的边长为3，即点A的坐标3，3，。将点A3，3，代入直线得y=x+1。2.特殊点组成图形的面积xyABO图3例2如图3，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，假设那么解析由A,B分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等，S1+S阴影S2+S阴影xy3.图4224。例3如图4，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC轴，AC轴，ABC的面积记为，那么A BCD解析A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，ABC的面积记为4SAOD=4×xy=4.图53、求字母的值例4如图5，直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点，过点A作AMx轴，垂足为M，连结BM,假设=2，那么k的值是A2B、m-2C、mD、4解析直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点，A,B两点关于原点O对称，所以=2SAOM=2×xy=xy=2k=2。例5如图6，双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C假设OBC的面积为3，那么k_解析：由双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，图6设点D的坐标x,y，又DEBA,点B的坐标为2x,2y，OBC的面积3,OA.AB=×2x×2y=2xy=2k=3,k=.4、求线段的长度例6如图7，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，与轴相交于点轴于点，的面积为1，那么的长为保存根号 解析：的面积为1，yOxACB图7k=1,k=2。解方程组y=x+1Y=,得A的坐标1，2。由一次函数的图象与轴相交于点C，OC=1,BC=2,AB=2,由勾股定理得2。5、探讨面积的变化xyOAB图8例7如图7，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会A逐渐增大B不变C逐渐减小D先增大后减小解析是轴正半轴上的一个定点，OA的长度是定值，即的底边一定。点是双曲线上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，纵坐标y的值逐渐减小，故的面积将会逐渐减小，选B。6.确定自变量的取值围例8一次函数点P在反比例函数的图象上,PAx轴,垂足为A,PBy轴,垂足为B,且四边形AOBP(O为坐标原点)的面积为2.求k值;求所有满足的x;试根据这两个函数的图象,写出满足的x的取值围(只需直接写出结论).分析:根据四边形AOBP的面积为2,可以求出反比例函数中的k值.再利用转换为一元二次方程求出相应的x值.解:(1)四边形AOBP(O为坐标原点)的面积为2,k=2.解得x=-2或x=1.由图象得当-2x0或x1时,满足.点拨:反比例函数常与一次函数结合起来考查,而反比例函数独有的特性就是反比例函数图象上任意一点向坐标轴做垂线,形成矩形的面积为|k|.探究反比例函数中k的意义反比例函数(k0)的比例系数k的意义，除同学们熟悉的“当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限y值随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限y值随x的增大而增大外，还有一个非常重要的意义，即过反比例函数(k0)的图像上任意一点作x轴、y轴的垂线，与两坐标轴所围成矩形的面积都等于；过反比例函数(k0)图像上任意一点作x轴(或y轴)的垂线，且连结坐标原点，与坐标轴所围成三角形的面积都等于.PyxOMN图1探究1：假设P(x，y)为反比例函数(k0)图像上的任意一点如图1所示，过P作PMx轴于M，作PNy轴于N，求矩形PMON的面积.分析：S矩形PMON=, xy=k, S =.探究2：假设Q(x，y)为反比例函数(k0)图像上的任意一点如图2所示，过Q作QAx轴于A(或作QBy轴于B)，连结QO，那么所得三角形的面积为：SQOA=或SQOB=.此题由同学们自己试着说明理由说明：当k>0时，所围成的矩形的面积为k，三角形的面积为；OByxAQ图2当k<0时，所围成的矩形的面积为-k，三角形的面积为.以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.应用举例：例1 如图3，在反比例函数x0的图象上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为M、N，那么四边形的面积为PyMx0N图3解：S四边形PMON=.MyNxO图4例2 反比例函数的图象如图4所示，点M是该函数图象上一点，MNx轴，垂足为N.如果SMON=2，求这个反比例函数的解析式解：SMON=2, =4, k=±4又双曲线在第二、第四象限，k0，k=-4, 所求反比例函数的解析式为5 / 5