第4章控制网平差.ppt
第4章 控制网平差,对于一个实际平差问题,可建立不同形式的函数模型,相应地就有不同的平差方法。测量中常见的控制网平差方法有条件平差和间接平差两种。本章介绍独立三角网条件平差和水准网间接平差的原理和方法,第一节 独立三角网条件平差,根据三角网中起算数据的多少,三角网有独立三角网(网中仅有必要的起算数据)和非独立三角网(网中具有多余的起算数据)之分。三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差时,条件方程式列立、法方程式组成和解算的详细步骤和方法。,一、典型三角网,1.三角锁,共有n+2个点,其中2个为起算点,n个未知点.起算数据:(x1,y1),(x2,y2).观测值:ai,bi,ci,B2,2.大地四边形,共有4个点,其中2个为起算点,2个未知点。起算数据:(xA,yA),(xB,yB)观测值:a1 a4,b1 b4,A,B,C,D,3.中点多边形,共有n+1个点,其中2个为起算点,n-1个未知点.起算数据:(xA,yA),(xO,yO)观测值:ai,bi,ci,二、典型三角网的条件方程,1.三角锁,图形条件,基线条件,代入条件方程得到改正数表达的条件方程,n个图形条件:,vai+vbi+vci+wi=0;wi=ai+bi+ci 180,将,其中:ai=ctgai;bi=ctgbi;”=206265”,1个基线条件:,ai vai bi vbi+wB=0,2、大地四边形,,可以列出7个图形条件,但是只有 3 个是相互独立的,其余几个可以由这 3 个方程推导出来:,用改正数表达:,va1+vb1+va2+vb2+w1=0;w1=a1+b1+a2+b2 180,va2+vb2+va3+vb3+w2=0;w2=a2+b2+a3+b3 180,va3+vb3+va4+vb4+w3=0;w3=a3+b3+a4+b4 180,极条件1个:,用改正数表达:ai vai bi vbi+ws=0;,其中:ai=ctg ai,bi=ctg bi,3、中点多边形,在中点多边形中,平差时除了要满足三角形闭合条件外,还必须使中心点处的角度满足下列条件:,用改正数表达:,图形条件n个:,vai+vbi+vci+wi=0;,wi=ai+bi+ci 180(i=1,2,n),圆周角条件1个:,vci+wo=0;wo=ci-360,极条件1个:,ai vai bi vbi+ws=0,第二节 条件平差原理,条件方程可以写成矩阵形式:AV+W=0 其中,A 为r n 阶矩阵,称为系数矩阵;V 为n 1列阵,称为改正数向量;W为r 1列阵,称为闭合差向量。,条件方程 AV+W=0 中,有 r 个方程,n 个未知数,且 r n,这样的方程组有无穷多组解。然而,根据最小二乘准则,观测量的最或然值应该满足VTPV=min。,在 AV+W=0的条件下确定 VTPV 的最小值,这在数学中是求函数=VTPV的条件极值问题。条件平差,实际上就是确定条件方程满足VTPV=min 的唯一解。,根据计算函数的条件极值的拉格朗日乘数法则组成新函数:=VTPV 2KT(AV+W)其中:K=(k1,k2,kr)T 是拉格朗日乘数,测量平差中称之为联系数向量。显然,只要令对V的一阶导数等于零就可以求出 VTPV 的极值。,矩阵求导的两个公式:,(1)设C为常数阵,X为列阵,则,(2)设Y、Z 均为列阵,则:,一、改正数方程,令其等于零,注意到(PV)T=V T P,从而有:V T P=K T A 转置后左乘 P 1 得:V=P 1 ATK(1)该公式表达了改正数 V 与联系数 K 的关系。,函数=VTPV 2 KT(AV+W)对 V 求导:,二、法方程式,将(1)式代入条件方程 AV+W=0 中得:AP 1 AT K+W=0(2)这就是条件平差的法方程式。式中,P为观测值的权矩阵,设第 i 个观测值的权为 pi,则,显然 P 是一个对角阵,其逆存在,且:,三、法方程的解,令 N=AP 1 AT(3)则法方程式的形式为 N K+W=0 其中N 称为法方程式系数矩阵,是一个满秩二次型方阵,其逆存在。从而可解出联系数向量:K=N 1 W(4),四、精度评定公式,在条件平差中,精度评定包括计算单位权方差和平差值函数的中误差。,其中,r 为条件方程的个数,pvv=VTPV 可以根据改正数向量 V 直接计算,1.单位权方差:,2.平差值的权倒数,我们知道,未知量 x 的中误差的平方 mx2 与单位权中误差的平方 2 成正比,与该量的权 Px 成反比,即:,条件平差中,平差值权倒数的计算公式为:,因此,对于某个平差值,只要能够确定它的权,根据单位权中误差,就可以计算出该函数的中误差。,3.平差值函数的权倒数,同样,对于平差值的函数,只要能够确定它的权P,根据单位权中误差,就可以计算出该函数的中误差m。,设有平差值函数为,P-1=f T P-1 f-(AP-1f)TN-1AP-1f,其中:P为观测值的权矩阵;A为条件方程系数矩阵;N为法方程系数矩阵;f 为列矩阵:,可见,列出平差函数式后,只要求出f 列阵的各元素,即可由上式计算函数的权倒数。,则平差值函数的权倒数公式为,五、条件平差的一般过程,(1)列出条件方程,AV+W=0,(2)组成法方程系数矩阵,N=AP 1 AT,(3)解法方程得到联系数,K=N 1 W,(4)计算改正数,V=P 1 ATK,(5)计算平差值,(6)精度评定(计算单位权方差、观测值中误差、平差值函数的中误差等),【例3-1】某一级小三角网如图,知A点坐标为(500.000,500.000),AB边坐标方位角=321236”,长度S=872.562m,三角网角度观测值如下表,计算各点坐标。,第三节 独立三角网条件平差算例,列条件方程 本题应列出5个条件方程。其中3个图形条件,1个圆周角条件,1个极条件。,【解】:,2.闭合差检核,一级小三角网测角中误差应不大于5”,图形条件闭合差检核:,|wi|max=1.6”w限,圆周角条件闭合差检核:,wO=-3.2”wO限,极条件闭合差检核:,3.列立条件方程,条件方程的矩阵形式为:AV+W=0,本例中:,W=(1.0-1.6-0.6-3.2-33.1)T,V=(va1 vb1 vc1 va2 vb2 vc2 va3 vb3 vc3)T,4.组成法方程,法方程的组成与解算可以利用Matlab软件。打开Matlab,进入命令编辑器后,先输入常数矩阵A和W,再进行矩阵运算,得到法方程式,解法方程式得到联系数向量K和改正数向量V。,注意:本例中所有观测值都是等精度角度观测值,所以法方程中权矩阵为单位阵。,先输入2个常数矩阵A,W,再点击workspace按钮,对这两个矩阵进行修改,常数矩阵的输入,组成法方程系数矩阵,5.解算联系数和改正数,6.精度评定,直接在MATLAB中计算PVV:,m10”说明该三角网角度观测达到精度要求。,?PVV=V*V,PVV=59.3972,据此计算测角中误差:,7.计算观测量的平差值,8.平差值闭合差检核,图形条件:,w1=1180=-0.01”,w2=2180=+0.01”,w3=3180=0.00”,圆周角条件:,wo=c360=0.00”,极条件:,9.推算三角网各边长度,从已知边AB起,应用正弦定理依次计算。,10.计算各点坐标,(按闭合导线计算),第四节 水准网间接平差,间接平差法(参数平差法)是通过选定t个独立参数,将每个观测量分别表达成这t个参数的函数,建立函数模型,按最小二乘原理,用求自由极值的方法解出参数的最或然值,从而求得各观测量的平差值。用间接平差法进行水准网的平差计算是一种常用的方法,一、间接平差的基本原理,设平差问题中有 n 个观测值 L,必要观测数为 t,选定 t 个独立量 X 为参数,观测量平差值为观测值 L 与改正数 v 之和,按具体平差问题,可列出n个平差值方程:,1.误差方程,用矩阵形式表达:L+V=BX+d 或:V=BX l此式称为间接平差误差方程。式中,L 为观测值向量(n 1 阶);V 为改正数向量(n 1 阶);B 为系数矩阵(n t 阶);X 为未知数向量(t 1 阶);l=L d 为常数矩阵(n 1 阶)。,2.法方程式,按最小二乘原理,上式的X必须满足VPV=min的要求,因为t个参数X为独立量,可按数学上求函数自由极值的方法,令VPV对X的一阶导数等于零,即:,将误差方程 V=BX l 代入上式:,令,,,上式简写成,3.法方程式的解,式中系数阵Nbb为对称二次型的满秩方阵,其逆存在,故有,二、间接平差的计算步骤,1)选择t个独立参数X;2)列出误差方程;3)组成法方程;4)解法方程,求出参数5)由误差方程计算V;6)计算观测量平差值7)精度评定,。,V=BX l,V=BX l,三、精度评定,1.单位权中误差,其中:pvv=VT P V,2.平差值的权倒数,间接平差中,第 i 个平差值Li 的权倒数等于平差值协因数阵对角线上的相应元素,而平差值协因数阵为:,3.参数的权倒数,第 i 个参数的权倒数就等于参数的协因数阵对角线上的相应元素,而参数的协因数阵就等于法方程系数矩阵的逆矩阵:,4.参数函数的权倒数,设参数的函数为:,则参数函数的权倒数为:,且有,三、水准网间接平差算例,P.80 如图,N6N9是已知水准点,A、B、C是结点,观测值及已知值均注于略图上,计算各节点高程,并评定精度。,解:1.列误差方程,设 A、B、C点的高程最或然值为x、y、z,则:,h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7,为了简化计算,设未知量的近似值为x 0、y0、z0,并设相应的改正数为x、y、z,则,本例中:x0=H7+h1=251.763 m y0=H6+h5=248.682 m z0=H9+h7=253.922 m,误差方程的最后形式为:,用矩阵表达为:V=BX l,其中:X=(x y z),,T,2.计算权矩阵,各观测值的权按 pi=10/Li 计算,则,?N=B*P*BN=1.9600-0.5300-0.4300-0.5300 1.5800-0.4300-0.4300-0.4300 1.4400,?W=B*P*LW=9.1500-12.2800 13.3300,3.组成法方程系数矩阵和常数矩阵,?INVN=inv(N)INVN=0.6523 0.2959 0.2831 0.2959 0.8231 0.3341 0.2831 0.3341 0.8788,?X=INVN*WX=6.1098-2.9463 10.2016,4.系数矩阵求逆,计算参数,5.计算改正数和平差值:,?V=B*X-LV=6.1098-1.9439-11.9082-13.8902-2.9463-1.8521 10.2016,V=BX l,6.计算节点高程平差值,节点高程平差值分别就是误差方程的参数,因此:HA=x=x0+x=251.769 m HB=y=y0+y=248.679 m HC=z=z0+z=253.932 m,7.计算单位权中误差,先计算pvv:,?PVV=V*P*VPVV=246.8879,?m0=sqrt(PVV/(7-3)m0=7.8563,则,8.确定计算节点高程平差值的权倒数,节点高程平差值分别就是误差方程的参数,在法方程系数矩阵的逆矩阵 0.6523 0.2959 0.2831 N-1=0.2959 0.8231 0.3341 0.2831 0.3341 0.8788中,对角线上的元素,分别就是参数x,y,z 的权倒数,也就是这些节点高程平差值的权倒数,即:1/px=0.65,1/py=0.82,1/pz=0.88,9.计算节点高程平差值的中误差,