第二章随机变量及其概率分布.docx

第二章随机变量及其概率分布第01讲离散型随机变量第一节离散型随机变量1.1随机变量的概念随机变量的定义（定义1）：设E是随机试验，样本空间为。，如果对于每一个结果（样本点）,都有一个实数X（3）与之对应，这样就得到一个定义在Q上的实值函数X=X（）,称为随机变量.随机变量通常用X,Y,Z,或XmX2，来表示.1.2离散型随机变量及其分布律离散型随机变量的定义（定义2）：若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量.离散型随机变量的分布律（定义3）：设X为离散型随机变量，可能的取值为Xi,X2,.Xk.且P（X=xk）=pk,k=l,2,称其为X的分布律（或分布列、概率分布）.分布律的性质：（1）Px0,k=l,2,；若一数列p1具有以上两条性质，则它必可以作为某随机变量的分布律.【例题填空题】某射手射击所得的环数X的分布律为X678910P0.10.280.110.290.22如果命中8T0环为优秀，则这名射手射击一次为优秀的概率是正确答案0.62答案解析J0.11+0.29+0.22=0.62.参见教材P59-60。【例题计算题】袋子里有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.从中同时取出3个球，记X为取出的球的最大编号，求X的分布律.正确答案X的取值为3,4,5,由古典概型的计算方法，得到p(-r三31-KrTI-103-101101C'WlV UHAX=s.则X的分布律为X345P110310610答案解析参见教材P60。1.30-1分布与二项分布OT分布的定义(定义4)：若随机变量X只取两个可能的值0,1,并且PX=l=p,PX=0=q,其中0<p<l,q=l-p,则称X服从OT分布，其分布律为X01PqP二项分布的定义(定义5)：若随机变量X的可能取值为0,1,2n,n为正整数，而X的分布律为A=P刀=耳=k=0,1,2n,其中0<p<l,p+q=l,则称X服从参数为n、P的二项分布,记作XB(n,p).0-1分布是二项分布的特例.注意：n重伯努利试验中随机事件A发生的次数X服从二项分布，即P(X划月CA,1.*O,LN.11注意：在计算服从二项分布的随机变量的概率时，如果n很大而P很小，则计算会比较繁琐，这就需要寻求近似计算的方法.【例题计算题】某特效药的临床有效率为0.95.现有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？正确答案令X为10人中被治愈的人数，显然XB(IO,0.95),所求概率为PX>t=PX=8-PX=9÷PX三10-C(05)i(0.05)2÷C,(0J5)(O.O5)1÷Cf;(O5),o(O.O5)0-0J8S5.答案解析J参见教材P62。泊松(Poisson)定理：设入0是常数，n是任意正整数，在n重伯努利试验中，记事件A在一次试验中发生的概率为p.，当11f+8时，有npr一入，则对于任意取定的非负整数k,有根据泊松(POiSSon)定理当n很大、P很小时，有近似公式C»产We7h其中，=np,q=l-p.实际计算中，一般当n220,pW0.05时，使用上述近似计算公式为佳.【例题计算题】一个工厂生产的产品中废品率为0.005,任取1000件，计算：(1)其中至少有两件是废品的概率；(2)其中不超过5件废品的概率.正确答案令X表示任取IOoO件产品中的废品数，则X-B(1000,0.005),根据近似计算公式，知=1000×0.005=5.(1)PJ2)-l-P(X-0-(X-l)三1-«085了(085(03X35)11一厂一5厂。邓光：(2)PX5«E尸X=号=之&(。05(0分5)11 7“X/”弟答案解析参见教材P63。1.4泊松分布泊松分布的定义(定义6):设随机变量X的可能取值为0,1,2,n,，而X的分布律为外.叩.吊吟1门其中入0,则称X服从参数为人的泊松分布，记作xp().【例题计算题】设X服从泊松分布，且已知PX=1=PX=2,求PX=4).正确答案根据题意，知-r三l三e-i,AT=2,三e-137尸Tze«e.2!解得=2,则有HN4).磊7.#答案解析参见教材P64。第02讲随机变量的分布函数、连续型随机变量及其概率密度第二节随机变量的分布函数2.1分布函数的概念分布函数的定义(定义7)：设X为随机变量，称函数b(x)HXx,xw(DBy)为X的分布函数.注意：该定义适用于任意的随机变量.【例题计算题】设离散型随机变量X的分布律为X-1012P0.20.10.30.4求X的分布函数.正确答案当Xc-I时，F(X)=P(Xx=0;当TWxCO时，F(x)=PXx=PX=-l=O.2；当0x<l时，F(x)=PXx=PX=-1+PX=0=0.2+0.1=0.3；当lx<2时,F(x)=PXx=PX=-l+PX=O+PX=l=O.2+0.1+0.3=0.6；当X22时，F(x)=P(Xx=PX=-1+P(X=0+PX=1+PX=2=0.2+0.1+0.3+0.4=1.则X的分布函数F(X)为0,02<-L-l<O,尸(X) =03,Ox<LOAl<L02.答案解析参见教材P66。2.2分布函数的性质性质(1) ： OF(x)l.性质(2) ： F(X)是不减函数，即对于任意的x1<x2,有F(KA 尸(0)性质(3) ： F(-m)- 0,F(w)-1.B)Em r(x)- O. fan F(r)-1.Jt ”性质(4) ： F(X)右连续，即 J(xO)- Hm r(x÷x)-(x).已知X的分布函数F(x),可解出以下事件的概率：1 PXft-(6).T Pa<*GNF()-(),M<7<3' PX>bl-F(b.【例题计算题】设随机变量X的分布函数为:X)- X 2,x<0Ox<I.1<2, a.求：(1)尸；<K：;(2处>?;OHX>：.I"正确答案献”W卜犬卜右卜冷(叩哥哈卜一M；答案解析参见教材P68。第三节连续型随机变量及其概率密度3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的定义(定义8)：若对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使得对任意实数X,有尸工力冲则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数.注意：连续型随机变量在某一指定点取值的概率为0.概率密度的性质：(1) f(x)0.匚人分fcl满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度.(3) 明/S)->S)fU<<b离散型随机变量无性质(康.(4)设X为f(x)的连续点，则T(K)存在，且F(X)-/(1).【例题单选题】设随机变量X的概率密度为U'二则常数c=().0.箕他.A. 1/9B. 1/3C. 3D. 9正确答案A答案解析根据连续型随机变量的概率密度函数的性质，c/在自变量X位于0,3之间的定积分为1,经计算可知结果为1/9,故选择A.参见教材P69。【例题应用题】设某种型号电子元件的寿命X(单位：h)具有以下的概率密度:FlOOO)-中网(1)任取1个, (2)任取4个, (3)任取4个, 正确答案现有一大批此种元件(设各元件工作相互独立)，问：其寿命大于150Oh的概率是多少？4个元件中恰有2个元件的寿命大于150Oh的概率是多少？4个元件中至少有1个元件的寿命大于1500h的概率是多少？(I)P>1500口卜(2)属于4重伯努利试验，令Y表示4个元件中寿命大于150Oh的元件个数，则有YB(4,2/3),所求概率为叩7啡)出(3)所求概率为pr-pr-Oj-I-C答案解析J参见教材P72。3.2 均匀分布与指数分布均匀分布的定义(定义9)：若随机变量X的概率密度为加京9*A其他.则称X服从区间a,b上的均匀分布，记作XU(a,b).均匀分布概率密度f(x)的图像常用公式：设XU(a,b),c<J¼fflqbnk,4则PcX司b-a均匀分布的分布函数QXA/=a<x<bb-a分布函数的图像【例题计算题】公共汽车站每隔5min有一辆汽车通过，乘客在5min内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间在13min内的概率.正确答案设X表示乘客的候车时间，则XU(0,5),其概率密度为但“1O箕他所求概率为Pxc-1,5-05答案解析J参见教材P73。指数分布的定义(定义10)：若随机变量X的概率密度为/Xx)"e'X>",其中人>0为常数，则称X服从参数为人的指数分0.x0布，简记为XE(N),其分布函数为F(x)-l-e4x. x>00.x0指数分布常用于描述各种“寿命”的分布.指数分布的概率密度图像：【例题填空题】设随机变量X服从参数为1的指数分布，则PX>2.正确答案e2答案解析提示：指数分布的概率密度为/()三Pcx>00.xOF(X-7r<-jc-,.参见教材P73。3.3 正态分布正态分布的定义(定义11)：若随机变量X的概率密度为1/(x)三-J-eAi-w<x<-w也JTO*其中u、02为常数，-8<.<-o,O>0,则称X服从参数为口、。2的正态分布，记作XN(u,。)f()的图形该称图形为服从正态分布的随机变量的概率密度曲线或正态分布曲线.正态分布曲线的性质：(1)曲线关于X=P对称.(2)X二口时，曲线取得最大值y()jm.X-4±<7处为曲线的拐点,X轴为曲线的渐近线.(3)正态分布曲线的位置完全由决定，口是正态分布的中心.(4)。刻画了正态随机变量取值的分散程度：。越小、取值的分散程度越小，反之则越大.服从正态分布的随机变量的分布函数为：分布函数的图像标准正态分布的定义：=0,。=1的正态分布N(OJ)被称为标准正态分布，其概率密度记作(x),分布函数记作(x),即：<x<-wo.标准正态分布的概率密度(X)的图像如下标准正态分布函数(X)的性质：(1) (-)=l(x).(2) (0)=1/2.重要公式(1)如果XN(u,2),分布函数为F(x),则有F(x)PJxPa<X-PJT<-Pjr4-P(<X<h)H誓)T管)(3) px>-pjr>fl-lK)注意：标准正态分布表的查表方法，参见教材中第76页的例21.【例题计算题】正态分布的“3。”规则设XN(u,2),求X落在区间-k。，+ko的概率，其中k=l,2,3.正确答案QCr-()-(rX)-2(的-1.P-grJ÷-2*1)T-0.6826.P-2<11T<f÷2-2p)-l-0.9544,P"-krX÷3-2(3)T-0.9973.启示：尽管正态随机变量的取值范围是全体实数，但它的值落在口-3。，+3的概率为0.9973,这个性质被称为正态分布的“3。”规则.答案解析参见教材P77。【例题单选题】设随机变量X(3,22),并且PX>cPXc,求常数C=().A.0B.2C.3D.4正确答案C答案解析J服从正态分布的随机变量，其大于或小于等于其数学期望的概率是相等的，因而答案只能为c=3,选择C.参见教材P74。【例题填空题】设随机变量XN(u,2),(x)为标准正态分布函数，且(2)=0.9772,则H-2<X<jtf÷2)-.正确答案0.9544答案解析-2X÷2三(2)-(-2)-<2)-l-(2)三2(2H三2xOJT72-l三0.9544.参见教材P75。分位数的定义(定义12)：设X服从标准正态分布，如果U“满足条件P>M-aj0<a<l则称点uu为标准正态分布的上侧a分位数，简称Q分位数.wUo. =l. 282Uo. 02s= 1 960Uo. m5-2. 567u0,05=l. 645Uo.ozz2. 326Uo.1x=3. 090第03讲随机变量函数的概率分布第四节随机变量函数的概率分布4.1离散型随机变量函数的概率分布设X为离散型随机变量，其分布律为XXiX2XkPPiP2Pk令随机变量Y为X的函数，并且Y=g(X),则根据函数关系，Y的取值可能取有限多个值或可列无穷多个值，因而Y也是一个离散型随机变量.注意：Y的可能取值为g(x),g(x2),.g(xk),.,这些取值中可能有相等的情形.【例题计算题】设随机变量X的分布律为X-1012P0.20.10.30.4求：(1)Y=X3的分布律；(2)Z=X2的分布律.正确答案(1)Y的可能取值为T,0,1,8,因为pr三-)三pxJ«-=px=-1N02pr三o)=pxj=o=px-o.apr-i三>(jr3三=>jr-03,j>(y三l)=p3三l=p三2=0A所以Y的分布律为Y-1018P0.20.10.30.4(2) Z的可能取值为0,1,4,由于pz-o-px2-o三px-o1-oPZ-1)-PX5-1-PX_1÷J>X-11-O2÷O3-O5J>(Z-4-PX2-4-PX-2)-0A因而，Z的分布律为Z014P0.10.50.4答案解析参见教材P80。【例题计算题】设XB(3,0.4),令F-2二22,求PY=1.2正确答案"HfZ+中T-c5(.硝06)'V(U/(Of),-072.答案解析参见教材P81。4.2连续型随机变量函数的概率分布定理1设X为连续型随机变量，概率密度为f(x).设g(x)是一严格单调的可导函数，值域为(,),且记x=h(y)为y=g()的反函数，则Y=g(X)的概率密度f(y)为：A("( a<y<t0.其他a«-»t+时,(r)-(¼y)V>L-«</<*«-使用定理1求解随机变量函数的概率密度的方法称为“公式法”.仅适用于“单调型”随机变量函数的情况.两个重要结论(1)当XN(u,。2)时，y±L2-N(0,i),随机变量丫被称为X的标准化；(2)正态随机变量的线性变换Y=aX+b仍然是正态随机变量，并且aX+b(a+b,a22).两个重要分布(1)柯西(Cauchy)分布如果其概率密度为:力YW一齐万-®< jr<-wo称随机变量Y服从柯西分布.(2)对数正态分布如果XN(u,o2),则Y=服从对数正态分布，其概率密度为1 1A一S-a为砺EP.XOo,2.关于X2分布如果XN(O,1),则丫=乂2的分布称为'2分布，自由度为L记作Y2().【例题计算题】设连续型随机变量X的概率密度为f(x),令Y=aX+b,其中a、b为常数，a0,求Y的概率密度.正确答案jrg(x)r÷三-x,-+D,x三Or)wL由得aa答案解析参见教材P82。本章小结一、理解随机变量及其分类，掌握分布函数的概念及性质，使用分布函数求解概率；二、理解离散型随机变量及其分布律的概念与性质，分布律和分布函数的求解；三、掌握OT分布、二项分布与泊松分布，会查表并计算概率；四、理解连续型随机变量及其概率密度、分布函数的概念，掌握相关计算；五、掌握均匀分布、指数分布与正态分布的概念以及相应的计算；六、求解离散型随机变量函数的分布律：重点掌握使用“公式法”求“单调型”随机变量函数的概率密度；七、对求解“非单调型”随机变量函数的概率密度的“直接变换法”做一般性了解.