第五章大数定律与中心极限定理.docx

第五章大数定律与中心极限定理第01讲切比雪夫(ChebySheV)不等式和大数定律第一节切比雪夫(ChebySheV)不等式定理1切比雪夫(ChebySheV)不等式设随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X)均存在，则对任意的£0,成立下式:P(X-E(X)><f其等价形式为PX-E(X)<41-缪.【例题计算题】有一大批种子，其中良种占1,现从中任取6000粒。试用切比雪夫不等式估计6000粒中良种所占6比例与-之差的绝对值不超过0.01的概率.【思考】正确答案设X为任取出的6000粒种子中的良种数，则XB(n,p)=B(6000,：),从而cnnE(X)=np=1O,D(X)=np(1-p)=券匕6由切比雪夫不等式有p威水。吁P*T80<S=PX-E(X)<60)1415000.50C."S=0769.【解析】参见教材P155-156。【例题计算题】在每次试验中，事件A发生的概率为0.5,利用切比雪夫不等式估计，在100O次独立试验中，事件A发生的次数在400至600之间的概率.【思考】正确答案由题意知，在100O次独立试验中，事件A发生的次数服从二项分布，如将其记为X,则XB(1000,0.5),根据切贝雪夫不等式PXY(X)<GR-誓P(X-500<r)l-00x0"0250/PX-500<<l-p-250P-<X-500<<lr250尸50O-"X<500+62】-号知6=100250得尸(400<X<6001-箭=0.975【例题计算题】设随机变量X服从正态分布N(P,。2),试估计概率P-"3)【思考】正确答案J根据切贝雪夫不等式PGX-E(X)IM<爷同时，注意到对于X,E(X)=,D(X)=。2PqX-"n3<则Pflx-jP(x)3><=l.第二节大数定律2.1 伯努利大数定律2.2 独立同分布的随机变量序列的切比雪夫大数定律2.1伯努利大数定律定理2设随机事件A在一次试验中出现的概率为p.独立重复地进行n次这样的试验，记必为事件A在n次试验中出现的次数，则对任意给定的正数£,有琮树伯努利大数定律表明，当n很大时，"事件A在n次试验中出现的频率力与概率P的绝对偏差小n于任意给定的整数£”这个事件的概率接近1.也就是说，当n很大时，对任意给定的正数,频率”落n入区间(p-£,p+£)内这一事件，其发生的概率近乎为1,它说明了频率的稳定值就是概率.2.2独立同分布的随机变量序列的切比雪夫大数定律定理3设X,X2-,X”，是独立同分布的随机变量序列，并且数学期望和方差均存在,E(Xk)=D(Xk)=ck=1,2,则对任意给定的正数£,有定理3的启示:当n很大时，独立同分布的随机变量序列的算术壬均值在统计学上具有一定的稳定性,它的取值充分靠近在数学期望R的附近.注意：伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特殊情况.第02讲独立同分布序列的中心极限定理第三节中心极限定理3.1独立同分布序列的中心极限定理定理4设X”X2-,Xn,是相互独立同分布的随机变量序列，并且具有相同的数学期望和方差nE(Xk)=,D(Xk)=2>0,k=1,2,，记随机变量V_9二的分布函数为卜】原)，则对任n-意实数X,有IimFnW = IimP=4：百户 dt=(x)×k-11-rxn其中(X)为标准正态分布函数.n结论：(1)对独立同分布的随机变量序列X“X2,X,只要n足够大，则这些随机变量和ZXkk>1的分布近似服从正态分布N(n/n2).2>0¢t随机变量的和经过标准化后，只要n足够大，就有nXxk-叩侬i三½=N(OJ).n(2)当X”X2,，Xn相互独立同分布，分布的数学期望与方差均存在，且。2>0时，只要n足够大，就有In3O2Xk-N(¾IIkVn进一步经过标准化后有 N(OJ).【例题计算题】对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2,标准差为1.5,求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.【思考】正确答案100设Xk为第k次射击时命中目标的炮弹数，k=l,2,100,则X=×k为100次射击中命中目kT标的炮弹总数，而且x“X2,，XM相互独立同分布，且E(Xj=2闻0=15k=12Jo0.从而E(X)=10OE(Xk)=200fDP(j=7,00D(XJ=15.由定理4可知，随机变量200近似服从标准正态分布.P(180X220=P(l224444=PY)(4=2-1=0.8165.答案解析参见教材PI60。【例题计算题】某一加法器同时收到20个噪声电压孔,k=l,2,20,设它们是相互独立的随机变量，且都在区间o,io上服从均匀分布，令V=求pv>105的近似值.【思考】正确答案J根据已知条件，可以求得3*5,河=用雷击因而，E(P) = 20E(匕)=100,Fr-100所以随机变量一JT近似服从标准正态分布，所求概率为 10*1-<»(0.387)=0.348.【例题单选题】设()为标准正态分布函数，随机变量序列满足Jo,事件A不发生,k = 12l 00,且P（八）=O.8,“区,X10O相巨独立.令Y=XXk，则由中心极限定理知Y的分布F（y）近似于（）.V-80A.(y)B.(<)G(16y÷80)D.(4y÷80)4【思考】正确答案B答案解析JXlcB(LO.8),则E(Xlt)=O.8,D(XJ=Q16,从而E(Y)=IE(Xlt)=80,D(Y)=100D(Xlt)=16.所以上黑ZN(OfI)i贝麟题选B.4第03讲棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理3.2棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理定理5设随机变量匕，n=L2,服从以n,p为参数的二项分布，且（XPG,则对任意实数x,有£eydt = (x).其中（X）为标准正态分布函数.由定理5得到的两个结论：（1）若YnB（JP），则jN（联必10）即二项分布的极限分布是正态分布.因而，二项分布的计算可通过正态分布近似计算.当n较大时，近似计算的常用公式如下:Pa<Ytb“np-广中,ynp(l-p)物(I-P)J其中YflB(n,p).若YnB(n,P),则ULFN(P，凶二jE2.在n重伯努利实验中，若事件A发生的概率为p,匕为n次独立重复实验中事件A发生的频率，则n当n充分大时，频率区近似服从正态分布np.内二P).，IW)【例题计算题】设某单位内部有100O台电话分机，每台分机有5%的时间使用外线电话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？【思考】正确答案把观察每一台分机是否使用外线作为一次试验，则各次试验相互独立，设X为100O台分机中同时使用外线的分机数，则XB(1000,0.05),X的数学期望和方差分别M=E(X)=np*叫=5(Jn=p(l-p)=6.8».根据题意，设N为满足条件的最小正整数PO×N = R050,X50,NSO69262(N-506?892)(0-506392=H)"7255)由于。(7255)0,故有P(OXN()O.95.0.892而(1.69=09505,OW1.65,三AN613726.892即该单位总机至少需要62条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机在使用外线时不被占用.答案解析参见教材PI62。【例题计算题】某厂生产的芯片的合格率为08,现若要以0.997的概率保证出厂100Oo块合格芯片，试问该厂至少生产多少块芯片？【思考】正确答案设该厂生产n块芯片，记X为n块芯片中的合格数.题意所求为，由概率PXN1OOOO2O.997求n的最小值.根据题意，知XB(n,0.8),根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，随机变量XfXo.8X-O即侬tL-N(0,1)JFtXO.8x020.4w因而 pjtioooo)=p0.4Jj0AX-O 8w 10000-O8>J100-0.80.40997t也就是08-100000.4OSn-100OO").997,查表可得r>X75,解得期2654.58，取0.4wn=12655.该厂需要至少生产12655块芯片.【例题填空题】设随机变量XB(100,0.2),(x)为标准正态分布函数，(2.5):0.9938,应用中心极限定理，可得P20QT30.【思考】正确答案£(-¥)-100x02«20由题意知-VD(Ar)-TlMxOJx(I-OJ)-4由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理知I®机变量,-2°近似服从标准正态分布因而P20X30*PJT-20 3020 -=(25)-(0)由己知(25)=09938.同时注意到¢(0)=0.5.P20X30«0.9938-OS=0.4938.故本填空题答案为0.4938.【例题填空题】在伯努利试验中，若事件A发生的概率为p,0<p<l,今独立重复观察n次，记v卜第欹事件碳生，“0.第次算件A松Lj(X)为标准正态分布函数，则NXLlPIimPl与2yjnp(l-p)正确答案根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，知当n趋近于无穷大时，随机变量1及加服从标准正MI-P)根据该定理lin】P:一叩J 叩Q-P)态分布r>1-Lx'=f=e2d=(x)可知Iim P2Jy向=(2)，经查表，知中(2)=0.9772.本章小结一、知道切比雪夫不等式；二、了解伯努利大数定律和切比雪夫大数定律及其在概率论中的重要意义；三、了解独立同分布序列的中心极限定理，知道棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，并会计算简单应用问题.