第七章有限冲激响应滤波器的设计.ppt
第7章有限冲激响应滤波器（FIR）的设计,71 线性相位FIR滤波器的特点 7.2 窗函数设计法7.3 频率抽样设计法7.4 应用MATLAB设计FIR数字滤波器,有限长单位冲激响应数字滤波器的特点:有限长单位冲激响应（FIR）可以做成具有严格的线性相位，同时又可以具有任意的幅度特性。FIR滤波器的单位抽样响应是有限长的，因而FIR滤波器一定是稳定的。只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都能变成因果的有限长序列，总能用因果系统来实现。FIR滤波器由于单位冲激响应是有限长的，因而可以用快速傅里叶变换（FFT）算法来实现过滤信号，从而可大大提高运算效率。但是，要取得很好的衰减特性，FIR滤波器的阶次比HR滤波器的要高。,本章主要讨论线性相位滤波器的设计。,7.1 线性相位FIR滤波器的特点,7.1.1 线性相位条件,如果一个线性移不变系统的频率响应有如下形式：（7.1）则其具有线性相位。这里 是一个实数。因而，线性相位系统有一个恒定的群延时（7.2）,在实际应用中，有两类准确的线性相位，分别要求满足（7.3）（7.4）FIR滤波器具有式（7.3）的线性相位的充分必要条件是：单位抽样响应 关于群延时 偶对称，即满足（7.5）（7.6）,满足式（7.5）和式（7.6）的偶对称条件的FIR滤波器分别称为I型线性相位滤波器和型线性相位滤波器。,FIR滤波器具有式（7.4）的线性相位的充分必要条件是：单位抽样响应 关于群延时 奇对称，即满足（7.7）（7.8）（7.9）,把满足式（7.7）、（7.8）和式（7.9）的奇对称条件的FIR滤波器分别称为型线性相位滤波器和型线性相位滤波器。,1I型线性相位滤波器,7.1.2 线性相位滤波器频率响应的特点,由于偶对称性，一个I型线性相位滤波器的频率响应可表示为（7.10）其中,幅度函数为（7.11）相位函数为（7.12）,I型线性相位滤波器的幅度函数和相位函数的特点：幅度函数对 偶对称，同时对 也呈偶对称；相位函数为准确的线性相位。,2型线性相位滤波器,一个型线性相位滤波器，由于N是偶数，所以，的对称中心在半整数点。其频率响应可以表示为：（7.13）其中,幅度函数为（7.14）相位函数为（7.15）,型线性相位滤波器的幅度函数和相位函数的特点：幅度函数的特点：（1）当 时，=0，也就是说 在 处必然有一个零点；（2）对 呈奇对称，对 呈偶对称。相位函数的特点：同I型线性相位滤波器。,3型线性相位滤波器,由于型线性相位滤波器关于 奇对称，且 为整数，所以，其频率响应可以表示为（7.16）其中,幅度函数为（7.17）相位函数为（7.18）,型线性相位滤波器的幅度函数和相位函数的特点：幅度函数的特点：（1）当 时，=0，也就是说 在 处都为零点；（2）对 均呈奇对称。相位函数的特点：既是准确的线性相位，又包括 的相移，所以又称 移相器，或称正交变换网络。,4型线性相位滤波器,型线性相位滤波器关于 奇对称，且N为偶数，所以为非整数。其频率响应可以表示为（7.19）其中,幅度函数为（7.20）相位函数为（7.21）,型线性相位滤波器的幅度函数和相位函数的特点：幅度函数的特点：（1）在 处必为零，也就是说 在 处为零点；（2）在 处呈奇对称，在 处呈偶对称 相位函数的特点：同型线性相位滤波器。,7.1.3 零点位置,对于I型或型线性相位滤波器，意味着,对于型或型线性相位滤波器，意味着,在上述两种情况下，如果 在 处等于零，则在处也一定等于零。所以 的零点呈倒数对出现。另外，若 是实值的，则复零点呈共轭倒数对出现，或者说是共轭镜像的。,一个线性相位滤波器零点的约束条件,在此情况下，,在此情况下，,（2）零点 在单位圆上，但不在实轴上，即，此时零点的共轭值就是他的倒数，其基本因子为,（7.23）,在此情况下，,在此情况下，即有半个抽样的延时。,线性相位滤波器只能由以上这几种因子的组合而成。,7.2 窗函数设计法,7.2.1 设计方法,逼近,窗函数设计法设计是在时域进行,（7.26）,由 的傅里叶反变换导出,由于 是矩形频率特性，故 一定是无限长的序列，而且是非因果的，而要设计的是FIR滤波器，必然 是有限长的。所以要用有限长的 来逼近无限长的，最有效的方法是截断，即用一个有限长度的窗函数序列 来截取，并将截短后的 移位，得,（7.27）,窗函数序列的形状及长度的选择很关键。,取，即取矩形窗,例7.1 设计一低通滤波器，所希望的频率响应截止频率 在 之间为1，在 之间为0，分别取N=11,21,41，观察其频谱响应的特点。,解：,由式（7.27）,当N=11时，求得,显然，满足对称关系。,根据序列，分别求得N=11,21,41时的幅频特性,由图可以看出，当N取的过小时，通频带过窄，且阻带内波纹较大，过渡带较宽，当N增大时，与 的近似程度越来越好。但当N增大时，通带内出现了波纹，而且随着N的继续增大，这些波纹并不消失，只是最大的尖峰处越来越接近于间断点，这种现象称作吉布斯现象。,吉布斯现象的产生是由于对 突然截短的结果。,为了减少吉布斯现象，应选取旁瓣较小的窗函数。,1矩形窗,7.2.2 各种窗函数,窗函数为,（7.28）,幅度函数为,（7.29）,主瓣宽度，过渡带宽。,2汉宁（Hanning）窗（又称升余弦窗）,窗函数为,（7.30）,幅度函数为,（7.31）,主瓣宽度，过渡带宽。,3海明（Hamming）窗（又称改进的升余弦窗）,窗函数为,（7.32）,幅度函数为,（7.33）,主瓣宽度，过渡带宽。,4.凯泽（Kaiser）窗,窗函数为,（7.34）,其中 为第一类变形零阶贝塞尔函数，是一个可自由选择的参数，改变 值就可对主瓣宽度与旁瓣衰减进行选择，一般选择。过渡带宽。,最小阻带衰减只由窗形决定，不受N的影响，而过渡带宽则随N的增加而减小。,表7.1 几种窗函数的基本参数比较,1高通数字滤波器的设计,7.2.3 其他各型FIR滤波器的设计方法,令,（7.35）,则,求得,（7.36）,2高通数字滤波器的设计,令,（7.37）,则,求得,（7.38）,3带阻数字滤波器的设计,令,（7.39）,则,求得,（7.40）,比较式（7.36）、（7.38）、（7.40）可知，一个高通滤波器相当于用一个全通滤波器减去一个低通滤波器；一个带通滤波器相当于两个低通滤波器相减，其中一个截止频率在，另一个在；一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器加上一个高通滤波器，低通滤波器的截止频率，高通滤波器在。,选取一个满意的窗函数，令,（7.41）,则 即为要设计的滤波器的单位抽样响应。,按上述方法设计的滤波器，由于满足了 的对称关系，因此都具有线性相位。,7.3 频率抽样设计法,频率抽样法是从频域出发，把给定的理想频率响应 加以等间隔抽样，即,令,（7.42）,由DFT定义，得,（7.43）,可求得滤波器的系统函数,（7.44）,该系统的频率响应为,（7.45）,经过推导，有,（7.46）,由式（7.46）可知，是由内插函数,（7.47）,的插值所决定的，即,由内插公式（7.47）可知，在各频率抽样点上，滤波器的实际频率响应严格地和理想频率响应值相等。但是在抽样点之间的频率响应则是由N个离散值 作为权重和插值函数 线性组合的结果。显然抽样点N取得越大，近似程度越好，N的选取要视在通带和阻带内的技术要求而定。,（7.47）,的指定原则,（3）由 求出的 应具有线性相位。,（1）在通带内可令|=1，阻带内|=0，且在通带内赋给 一相位函数；,（2）指定的 应保证由式（7.43）求出的 是实序列；,的指定,由式（7.46）知，若保证,则 就具有线性相位，。,并考虑|=1，等效地指定,（7.48）,根据DFT的性质可知，为保证 是实序列，应满足下列对称关系,（7.49）,由于,（7.50）,当N为偶数时，；当N为奇数时，。这样当N为偶数时，若按式（7.48）对 赋值，就不能满足式（7.49）的对应关系。由此，按如下原则对 赋值。,N为偶数时,N为奇数时,（7.51）,（7.52）,用频率抽样法设计FIR数字滤波器的步骤：,（1）根据所设计的滤波器的通带与阻带的要求，根据N为偶数还是奇数，按式（7.51）、（7.52）指定，在阻带内，=0；,（2）由指定的 构成所设计的滤波器的转移函数，也可由式（7.44）求得频率响应。,例7.2 用频率抽样法设计一个低通滤波器，其截止频率是抽样频率的1/10，取N=20。,解：,此处N为偶数，且在通带内对 抽样时，仅得两个点，由式（7.51），有,在其它点处，,将 代入式（7.43），得 序列如下,7.4 应用MATLAB设计FIR数字滤波器,1窗函数,（1）bartlett.m（三角窗）（2）blackman.m（布莱克曼窗）（3）boxcar.m（矩形窗）（4）hamming.m（海明窗）（5）hanning.m（汉宁窗）（6）triang.m（三角窗）（7）chebwin.m（切比雪夫窗）（8）kaiser.m（凯泽窗）,7.4.1 与本章内容有关的MATLAB文件,（1）fir1.m本文件采用窗函数法设计FIR数字滤波器，其调用格式是1）b=fir1（N,Wn）2）b=fir1（N,Wn,high）3）b=fir1（N,Wn,stop）,2FIR数字滤波器的文件,式中N为滤波器的阶次，因此滤波器的长度为N+1；Wn是通带截止频率，其值在01之间，1对应抽样频率的一半；b是设计好的滤波器系数。,对于格式（1），若Wn是一标量，则可用来设计低通滤波器；若Wn是 的向量，则用来设计带通滤波器；若Wn是 的向量，则可用来设计带滤波器，此时，格式将变为：b=fir1（N,Wn,DC-1）或b=fir1（N,Wn,DC-0）格式（2）用来设计高通滤波器；格式（3）用来设计带阻滤波器。,（2）fir2.m本文件采用窗函数法设计具有任意幅频特性的FIR数字滤波器。其调用格式是b=fir1（N,F,M）其中F是频率向量，其值在01之间，M是与F相对应的所希望的幅频响应。不指定窗函数的类型，则自动选择汉明窗。,（3）remez.m本文件用来设计采用切比雪夫最佳一致逼近FIR数字滤波器。同时，还可以用来设计希尔伯特变换器和差分器。其调用格式是1）b=remez（N,F,A）2）b=remez（N,F,A,W）3）b=remez（N,F,A,W,hilbert）4）b=remez（N,F,A,W,differentiator）其中，N是给定的滤波器的阶次；b是设计的滤波器的系数，其长度为N+1；F是频率向量，其值在01之间；A是对应F的各频段上的理想幅频响应；W是各频段上的加权向量。,注意：若b的长度为偶数，设计高通和带阻滤波器时有可能出现错误，因此最好保证b的长度为奇数，即N应为偶数。,（4）remexord.m 本文件采用切比雪夫一致逼近设计FIR数字滤波器时所需要的滤波器阶次。其调用格式是N,Fo,Ao,W=remexord（F,A,DEV,Fs）式中，F、A的含义同文件（3），是通带和阻带上的偏差；该文件输出的是符合要求的滤波器阶次N、频率向量Fo、幅度向量Ao和加权向量W。若设计者事先不能确定自己要设计的滤波器的阶次，那么，调用remexord后，就可利用这一族参数再调用remez，即b=remez（N,Fo,Ao,W），从而设计出所需要的滤波器。因此，通常remez和remexord结合使用。,说明：remexord给出的阶次N有可能偏低，这时适当增加N即可；另外，若N为奇数，就可令其加1，使其变为偶数，这样b的长度为奇数。,（5）sgolay.m本文件用来设计Savitzky-Golay平滑滤波器。其调用格式是b=sgolay（k,f）式中k是多项式的阶次，f是拟合的双边点数。要求 kf，且f为奇数。,（6）firls.m本文件用最小平方法设计线性相位FIR数字滤波器。可设计任意给定的理想幅频特性。,（7）fircls.m用带约束的最小平方法设计线性相位FIR数字滤波器。可设计任意给定的理想幅频特性。,（8）fircls1.m用带约束最小平方法设计线性相位FIR低通和高通滤波器。可设计任意给定的理想幅频特性。,（9）firrcos.m用来设计低通线性相位FIR数字滤波器，其过渡带为余弦函数形状。,7.4.2 应用MATLAB设计FIR数字滤波器,例7.3 令N=10，分别用矩形窗和海明窗重复例7.1。,解：,根据要求编制MATLAB程序如下：clear all;N=10;b1=fir1(N,0.25,boxcar(N+1);%用矩形窗作为冲激响应的窗函数b2=fir1(N,0.25,hamming(N+1);%用Hamming窗作为冲激响应的窗函数%M=128;,h1=freqz(b1,1,M);h2=freqz(b2,1,M);%分别求两个滤波器的频率响应；t=0:10;subplot(221)stem(t,b2,.);hold on;plot(t,zeros(1,11);grid;f=0:0.5/M:0.5-0.5/M;M1=M/4;for k=1:M1,hd(k)=1;hd(k+M1)=0;hd(k+2*M1)=0;hd(k+3*M1)=0;endsubplot(222)plot(f,abs(h1),b-,f,abs(h2),g-,f,hd,-);grid;运行结果如图7.5所示。,图7.5 运行结果,例7.4设计一多带滤波器，要求理想幅频响应在归一化频率0.20.3，0.60.8之间为1，其余均为0。,解：,程序如下：clear all;f=0 0.19 0.2 0.3 0.31 0.59 0.6 0.8 0.81 1;%给定频率轴分点；m=0 0 1 1 0 0 1 1 0 0;%给定在这些频率分点上理想的幅频响应N1=30;N2=90;%取两种不同的滤波器长度；b1=fir2(N1,f,m);b2=fir2(N2,f,m);,%得到两个滤波器；subplot(311);stem(b1,.);grid;subplot(312);stem(b2,.);grid;M=128;h1,w=freqz(b1,1,M,1);h2,w=freqz(b2,1,M,1);subplot(313);plot(w,abs(h1),b-,w,abs(h2),g-);grid;,图7.6 滤波器单位抽样响应及其幅频响应曲线,例7.5 利用切比雪夫最佳一致逼近法设计一低通滤波器，要求通带边缘频率，阻带边缘频率。,解：,clear all;f=0.6.7 1;%给定频率轴分点；A=1 1 0 0;%给定在这些频率分点上理想的幅频响应；weigh=1 10;%给定在这些频率分点上的加权；,b=remez(32,f,A,weigh);%设计出切比雪夫最佳一致逼近滤波器；%h,w=freqz(b,1,256,1);h=abs(h);h=20*log10(h);figure(1)stem(b,.);grid;figure(2)plot(w,h);grid;,例7.6 利用切比雪夫最佳一致逼近法设计一个多阻带陷波器，数字系统的抽样频率为500Hz，去掉工频信号（50Hz）及二次、三次谐波的干扰。,解：,clear all;%用切比雪夫最佳一致逼近设计线性相位多带FIR滤波器；f=0.14.18.22.26.34.38.42.46.54.58.62.66 1;A=1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1;weigh=8 1 8 1 8 1 8;b=remez(64,f,A,weigh);%,h,w=freqz(b,1,256,1);hr=abs(h);h=abs(h);h=20*log10(h);figure(1)stem(b,.);grid;figure(2)plot(w,h);grid;,
