数理统计参考问题详解.doc

word习题一1 设总体的样本容量，写出在如下4种情况下样本的联合概率分布. 1； 2； 3； 4.解 设总体的样本为，1对总体，其中：2对总体其中：3对总体4对总体2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解 设代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：表1.1 频率分布表i01 2 34个数6 732 20.3 经验分布函数的定义式为：，据此得出样本分布函数：图1.1 经验分布函数3某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：组下限165 167 169 171 173 175 177组上限167 169 171 173 175 177 179人数3 10 21 23 22 11 5试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.解图1.2 数据直方图它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即.4设总体X的方差为4，均值为，现抽取容量为100的样本，试确定常数k，使得满足.解 因k较大，由中心极限定理,：所以：查表得：，.5 从总体中抽取容量为36的样本，求样本均值落在到之间的概率.解6 从总体中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于的概率.解 设两个独立的样本分别为：与，其对应的样本均值为：和.由题意知：和相互独立，且：，7 设是总体的样本，试确定C，使得.解 因，如此，且各样本相互独立，如此有：所以：查卡方分位数表：，如此.8 设总体X具有连续的分布函数，是来自总体X的样本，且，定义随机变量：试确定统计量的分布.解 由条件得：，其中.因为互相独立，所以也互相独立，再根据二项分布的可加性，有，.9设是来自总体X的样本，试求。假设总体的分布为：1 2) 3) 4) 解1) 2) 3) 4) 10设为总体的样本，求与。解又因为 ,所以：11设来自正态总体，定义：，计算.解 由题意知，令：，如此12设是总体的样本，为样本均值，试问样本容量应分别取多大，才能使以下各式成立：1；2；3。解1)，所以：2)令： 所以： 计算可得：3) 查表可得： ，而取整数，.13设和是两个样本，且有关系式：均为常数，试求两样本均值和之间的关系，两样本方差和之间的关系.解 因： 所以：即：14设是总体的样本.1) 试确定常数，使得，并求出；2) 试确定常数，使得，并求出和.解 1因：，标准化得：，且两式相互独立故：可得：，.2 因：， 所以：， 可得：.15 设分别是分布和分布的分位数，求证.证明 设，如此：所以： 故：.16 设是来自总体的一个样本，求常数，使：.解 易知，如此； 同理，如此 又因：，所以与相互独立.所以：计算得：c = 0.976.17设为总体的容量的样本，为样本的样本均值和样本方差，求证： 1； 2； 3.解 1因：， 所以：， 又： 且：与相互独立 所以：2 由1可得：3 因：，所以：18设为总体的样本，为样本均值，求，使得.解所以：查表可得：，即.19设为总体的样本，试求：1的密度函数； 2的密度函数；解 因：， 所以的密度函数为：， 由定理：20设为总体的样本，试求：1； 2解21设为总体的一个样本，试确定如下统计量的分布：1； 2；3解 1因为：所以：，且与相互独立，由抽样定理可得：2因为：，且与相互独立，所以：3因为：，所以：，且与相互独立，由卡方分布可加性得：.22 设总体服从正态分布，样本来自总体，是样本方差，问样本容量取多大能满足？解 由抽样分布定理：,查表可得：，.23从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，分别为两样本方差，求.解 设分别为两样本的容量，为总体方差，由题意，又因分别为两独立的样本方差：所以：.24 设总体，抽取容量为20的样本，求概率1；2.解 1因，且各样本间相互独立，所以：故：2因：, 所以：25 设总体，从中抽取一容量为25的样本，试在如下两种情况下的值：1 ；2 未知，但样本标准差.解 1226设为总体的样本，为样本均值和样本方差，当时，求：1 23确定C，使.解 1 2其中,如此 3其中，如此所以：,计算得：. 27 设总体的均值与方差存在，假设为它的一个样本，是样本均值，试证明对，相关系数.证明所以：.28. 设总体，从该总体中抽取简单随机样本，是它的样本均值，求统计量的数学期望.解 因，为该总体的简单随机样本，令，如此有 可得：习题二1 设总体的分布密度为：为其样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量 .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值 .解 计算其最大似然估计： 其矩估计为：所以：，.2 设总体X服从区间0, 上的均匀分布，即，为其样本，1)求参数的矩估计量和极大似然估计量；2)现测得一组样本观测值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值.解 1矩估计量：最大似然估计量：无解 .此时，依定义可得：2矩法：极大似然估计：.3设是来自总体X的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量 .总体X的分布密度为：1未知2未知3未知4) 未知5，其中参数未知6，其中参数未知 7未知8）解 1矩法估计：最大似然估计：.2)矩估计：最大似然估计：.3矩估计：联立方程：最大似然估计：,无解，当时，使得似然函数最大，依照定义，同理可得.4) 矩估计：，不存在 最大似然估计：，无解；依照定义，.5)矩估计：即最大似然估计：，无解依定义有：.6) 矩估计： 解方程组可得：最大似然估计： 无解，依定义得， 解得 .7)矩估计：最大似然估计：.8)矩估计：最大似然估计：.4. 设总体的概率分布或密度函数为，其中参数，记，样本来自于总体X，如此求参数的最大似然估计量 .解 记如此；.5 设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为： 组中值 5 15 25 35 45 55 65频 数 365 245 150 100 70 45 25如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计.解 最大似然估计：.6 某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为： 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.解设灯泡的寿命为,极大似然估计为：根据样本数据得到： .经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.7. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水肠杆菌的个数(假定一升水肠杆菌个数服从Poisson分布)，其化验结果如下：大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5 6 升 数 17 20 10 2 1 0 0试问平均每升水肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？解 设为每升水肠杆菌个数，由3题2问知，的最大似然估计为，所以所以平均每升氺肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .8 设总体，试利用容量为n的样本，分别就以下两种情况，求出使的点A的最大似然估计量 .1假设时； 2假设均未知时 .解1，的最大似然估计量为，所以 .2的最大似然估计量为，最大似然估计为，由极大似然估计的不变性，直接推出.9设总体X具有以下概率分布： x01/31/4011/31/40201/41/431/61/41/241/601/4求参数的极大似然估计量 .假设给定样本观测值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估计值 .解 分别计算，时样本观测值出现的概率：由最大似然估计可得：.10设总体X具有以下概率分布：， 求参数的最大似然估计量 .解最大似然估计应该满足：结果取决于样本观测值.11 设是总体X的样本，设有下述三个统计量：指出中哪几个是总体均值a=EX的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？解，所以 无偏，方差最小.12设总体，为其样本，1求常数，使为的无偏估计量；2求常数，使为的无偏估计量 .解1令 得 .2令 .13设是来自总体X的样本，并且EX =，DX = ，是样本均值和样本方差，试确定常数，使是的无偏估计量 .解所以 .14 设有二元总体，为其样本，证明：是协方差的无偏估计量 .证明 由于所以：，证毕 .15设总体，样本为，是样本方差，定义，试比拟估计量,哪一个是参数的无偏估计量？哪一个对的均方误差最小？解 1所以 是的无偏估计2所以，可以看出最小 .16设总体，为样本，试证：与都是参数的无偏估计量，问哪一个较有效？解所以 比拟有效.17 设，是的两个独立的无偏估计量，并且的方差是的方差的两倍 .试确定常数c1, c2，使得为的线性最小方差无偏估计量 .解：设 当，上式达到最小，此时 .18. 设样本来自于总体X，且(泊松分布)，求，并求C-R不等式下界，证明估计量是参数的有效估计量 .解所以其C-R方差下界为 所以 是参数有效估计量.19 设总体X具有如下密度函数，是来自于总体X的样本，对可估计函数，求的有效估计量，并确定R-C下界 .解因为似然函数所以取统计量得=，所以是无偏估计量令 T是有效估计量，由所以 C-R方差下界为.20设总体X服从几何分布：，对可估计函数，如此1求的有效估计量；2求；3验证的相合性 .解 1因为似然函数所以取统计量 .又因为 所以是的无偏估计量，取，由定理2.3.2得到，是有效估计量2所以 是相合估计量 .21 设总体X具有如下密度函数，是来自于总体X的样本，是否存在可估计函数以与与之对应的有效估计量？如果存在和，请具体找出，假设不存在，请说明为什么 .解 因为似然函数所以令 所以是的无偏估计量，取，由定理2.3.2得到，是有效估计量所以：是有效估计量.22 设是来自于总体X的样本，总体X的概率分布为：1） 求参数的极大似然估计量；2） 试问极大似然估计是否是有效估计量？如果是，请求它的方差和信息量；3） 试问是否是相合估计量？解 1得到最大似然估计量2所以所以是无偏估计量，是有效估计量信息量3所以，T也是相合估计量 .23 设样本来自总体，并且的区间估计为，问以多大的概率推断参数取值于此区间 .解 设以概率推断参数取值于，在方差为1条件下，推断参数的置信度为的置信区间为所以 ，得到即以概率推断参数取值于.24 从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为： 2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值的90%置信区间，1假设=0.01cm； 2假设未知；解 因为1） 计算所以置信区间为2） 计算所以置信区间为.25 测量铝的密度16次，测得试求铝的比重的0.95的置信区间(假设铝的比重服从正态分布) .解 这是正态分布下，方差未知，对于均值的区间估计：因为计算 所以 置信区间为 .26在方差的正态总体下，问抽取容量n为多大的样本，才能使总体均值的置信度为的置信区间长度不大于l？解 均值的置信度为的置信区间为要使即 .27 从正态总体中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4)的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？解，所以.28X的简单随机样本值 . .1） 求参数a的置信度为0.95的置信区间；2） 求EX的置信度为0.95的置信区间 .解 1服从正态分布，按照正态分布均值的区间估计，其置信区间为，由题意，从总体X中抽取的四个样本为：其中，代入公式，得到置信区间为2，由1知道的置信区间为，所以置信区间为.29 随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根，测得其电阻()为：设测试数据分别服从和，并且它们相互独立，又均未知，求参数的置信度为95%的置信区间 .解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计： 置信区间为计算得 所以.30 有两位化验员A、B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用一样方法各作了10次测定，其测定值的方差依次为0.5419和0.6065，设与分别为A、B所测量数据的总体的方差(正态总体)，求方差比/的置信度为95%的置信区间 .解 由题意，这是两正太总体方差比的区间估计： 置信区间为计算得 所以置信为 .31随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为95%的置信区间 .解 由题意标准差的置信度为的置信区间为计算得所以 置信区间为 .32在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现16个次品，试求这批货物次品率的置信度为95%的置信区间解 设表示来自总体的样本，样本为次品时,样本为正品时，表示次品率，如此，的置信区间为计算得：所以 置信区间为.33设总体，参数，是来自于总体X的样本，并且，求参数的贝叶斯估计量 .解 设，先验分布密度，当时，样本的概率密度分布为关于参数的后验分布为的后验分部为，所以关于的Bayes估计量.34设总体，参数具有指数分布，即，并且损失函数为平方差函数形式，求参数的贝叶斯估计量 .解设，先验分布密度当时，样本的概率密度分布为关于参数的后验分布为的后验分部为，关于的Bayes估计量.35设总体X服从几何分布：，并且参数，其中为参数 .在平方差损失下，求参数的贝叶斯估计量T .解设，先验分布密度当时，样本的概率密度分布为：关于参数的后验分部为的后验分部为关于的Bayes估计量.36设为总体的样本，1） 求参数p是有效估计量T1与相应的信息量；2） 如果，在平方差损失下，求参数p的贝叶斯估计量T2 .3） 试比拟两个估计量T1和T2 .解1因为似然函数为：所以又因为所以取，有定理2.3.2得 是的有效估计量2设先验分布密度当时，样本的概率密度分布为关于参数的后验分部为的后验分部为，关于的Bayes估计量3比拟估计量,有：所以，优于.习题三1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化？解由题意知 ，设立统计原假设 拒绝域为 ，临界值 ， 由于 ，所以拒绝，总体的均值有显著性变化.设立统计原假设 由于，所以当时拒绝域为 由于，所以拒绝，总体的方差有显著性变化.2一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为=950h .该种元件寿命，问这批元件是否合格？解 由题意知 ，设立统计原假设拒绝域为 临界值为 由于 ，所以拒绝，元件不合格.3某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495g，假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常2？解 1设X表示罐头的重量(单位：g). 由题意知,设立统计原假设,拒绝域 当时，临界值 ，由于，所以承受，机器工作正常.2设X表示罐头的重量(单位：g). 由题意知，设立统计原假设拒绝域为 当时，可得由于,所以承受，可以认为方差为.4某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进展调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为3.399元/500克，标准差为0.269元/500克.往年的平均售价一直稳定在3.25元/500克左右， 问该市当前的鸡蛋售价是否明显高于往年？解设X表示市场鸡蛋的价格单位：元/克，由题意知设立统计原假设, 拒绝域为 当时，由于所以拒绝，当前的鸡蛋售价明显高于往年.5某厂生产的维尼纶纤度，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差是否明显变大了？解 由题意知 ，设立统计原假设 拒绝域为， 当时，由于，所以拒绝，认为强度的方差明显变大.6某种电子元件,要求平均寿命不得低于2000，标准差不得超过130.现从一批该种元件中抽取25只,测得寿命均值,标准差.设元件寿命服从正态分布，试在显著水平 下, 确定这批元件是否合格.解 设X表示电子元件的平均寿命单位：，由题意知设立统计原假设 拒绝域为 当时，由于 ，所以承受，即这批电子元件的寿命是合格的.7设为来自总体的样本，对统计假的拒绝域为.1当时，求犯两类错的概率与；2证明：当时，0，0.解1由题意知 犯第一类错误的概率为犯第二类错误的概率为2假设成立，如此 当，所以同理 8设需要对某一正态总体的均值进展假设检验H0：= 15，H1：< 15取检验水平，试写出检验H0的统计量和拒绝域.假设要求当H1中的=13时犯第二类错误的概率不超过=0.05，估计所需的样本容量n.解 由题意知 , 设立统计原假设 如此拒绝域为，其中临界值犯第二类错误的概率即 , 化简得 .9设为来自总体的样本，为, 对假设： 其中，试证明：解1,由题意知 犯第一，二类错误分别为，如此有 2由题意知 ，犯第一，二类错误分别为，如此有10设为总体样本，对假设：的拒绝域为 . 求犯第类错误的概率和犯第类错的概率.解 由题意知 , 统计假设为 . 拒绝域为 如此犯第一，二类错误的概率分别是11设总体是密度函数是 统计假设 .现从总体中抽取样本,拒绝域，求：两类错误的概率解 由题意知当此时 当此时 12 设总体，根据假设检验的根本原理，对统计假设： ；，试分析其拒绝域.解 由题意知 ,当成立时所以拒绝域为 当成立时所以拒绝域为13设总体根据假设检验的根本原理，对统计假设：1；2试分析其拒绝域.解 由题意知 1假设统计假设为 其中当成立时，拒绝域形式为 由 ，可得所以 ，由此可得拒绝域形式为2假设统计假设为 其中未知当成立时，选择拒绝域为 ，由得 所以，由此可得拒绝域形式为14从甲、乙两煤矿各取假设干样品，得其含灰率%为,甲:24.3, 20.8, 23.7, 21.3, 17.4, 乙:18.2, 16.9, 20.2, 16.7 .假定含灰率均服从正态分布且，问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异 ？ 解 由题意知 设统计假设为 其中当时临界值 拒绝域为而 15 设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低.经过试验获得它们的抗拉强度分别为单位：kg/cm：甲：88，87，92，90，91 乙：89，89，90，84，88假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且 =.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高？解 由题意知 设统计假设为 ，其中当时临界值 拒绝域为而 ，所以承受，认为甲的抗拉强度比乙的要高.16甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径单位：mm为：假定其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高？解 由题意知 设统计假设为 ，其中当时 ，临界值 拒绝域为，而，承受，认为乙的精度高.17要比拟甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对，再随机选取8架飞机，将8对轮胎磨损量单位：mg数据列表如下：甲49005220550060206340766086504870乙49304900514057006110688079305010试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？(). 假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足且两个样本相互独立.解 由题意知 设统计假设为 ，其中当时，令 拒绝域为，临界值 而，所以承受，认为两种轮胎耐磨性无显著差异.18设总体, 由两总体分别抽取样本：4.4，4.0，2.0，4.8 ：6.0，1.0，3.2，0.4 1能否认为 ()? 2能否认为 ()？解 (1) 由题意知 设统计假设为 ，其中令，如此有，当时，拒绝域为，而，所以(2) 由题意知 设统计假设为 ，其中其中，拒绝域为临界值 而19从过去几年收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有2%的治愈率.数据证言这种样本中的3%治愈率足够证实他的看法.1试用假设检验方法检验这个医生的看法；2如果该医生实际得到了4.5%治愈率，问检验将证实化学疗法比外科方法更有效的概率是多少？解 (1) 记每个病人的治愈情况为，如此有设统计假设为 ，其中 拒绝域为，临界值 而 (2) 不犯第二类错误的概率 由，可得 由中心极限定理得 20在某公路上，50min之间，观察每15s通过的汽车数，得下表通过的汽车数量0 1 2 3 4 5次数f92 68 28 11 1 0问能否认为通过的汽车辆数服从泊松分布？解 设统计假设为 记 如此有检验统计量的值为21对某厂生产的汽缸螺栓口径进展100次抽样检验，测得100数据分组列表如下：组限频数582034组限频数17664试对螺栓的口径的分布做假设检验.解 设表示螺栓的口径，分布函数为，统计假设为，其中在成立的情况下，计算得由得所以检验统计量的值为由此应该22检查产品质量时，每次抽取10个产品检验，共抽取100次，得下表：次品数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10频数35 40 18 5 1 1 0 0 0 0 0问次品数是否服从二项分布？解设表示抽取的次品数，分布函数为，统计假设为，其中在成立的情况下，计算得 检验统计量的值为因此23请71人比拟A、B两种型号电视机的画面好坏，认为A好的有23人，认为B好的有45人，拿不定主意的有3人，是否可以认为B的画面比A的好？解设表示A种型号电视机的画面要好些，表示B中型号电视机画面要好些分布函数分别为，统计假设为由题意知 检验统计量 而，所以24 为比拟两车间生产同一种产品的产品某项指标的波动情况，各依次抽取12个产品进展测量，得下表甲乙问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否一样？解 设分别表示甲乙两车间所生产产品的指标分布，分布函数分别，统计假设为检验统计量为秩和，易知的样本值为且拒绝域为而，所以25 观察两班组的劳动生产率(件/h)，得下表：第1班组 28 33 39 40 41 42 45 46 47第2班组 34 40 41 42 43 44 46 48 49问两班组的劳动生产率是否一样=0.05？解 设分别表示两个组的劳动生产率，分布函数分别为，统计假设为检验统计量为秩和，易知的样本值为拒绝域形式为而，因此, 所以26观观察得两样本值如下：问这两样本是否来自同一总体=0.05？解 设分别表示，两个样本，分布函数分别是，统计假设为检验统计量为秩和，易知的样本值为拒绝域形式为而，因此, 所以27某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是：10，53，46,按照某种遗传模型其比率之比应为：，问数据与模型是否相符？解 设体格的属性为样本，由题意知其密度函数为，其中统计假设为似然函数为解得最大似然统计量为 如此 拒绝域为而 所以28在某地区的人口调查中发现：15729245个男人中有3497个是聋哑人.16799031个女人中有3072个是聋哑人.试检验“聋哑人与性别无关的假设.解设表示男人中聋哑人的个数，表示女人中聋哑人的个数，其分布函数分别表示为，. 统计假设为拒绝域为而所以29下表为某药治疗感冒效果的联列表：年龄疗效 儿童成年老年一般583832128较差284445117显著2318145510910091300试问该药疗效是否与年龄有关=0.05？解设表示该药的疗效与年龄有关，表示该药的疗效与年龄无关，其分布函数分别表示为. 统计假设为拒绝域为而 所以30某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂提供的产品批的不合格率不超过3%时以高于95%的概率承受，当不合格率超过12%时，将以低于10%的概率承受.试为验收者制订验收抽样方案.解由题意知，代入式子选用式子计算求得，于是抽查方案是：抽查66件产品，如果抽得的不合格产品，如此承受这批产品，否如此拒绝这批产品.31假设一批产品的质量指标，要求质量指标值越小越好.试给出检验抽样方案未知，又如何确定检验抽样方案？假设质量高时指质量指标在一个区间时，又如何确定检验抽样方案?解 (1) 解方程组得 (2) 假设未知，用估计，从而得出公式习题四1下表数据是退火温度()对黄铜延性效应的试验结果，是以延伸率计算的，且设为正态变量，求对的样本线性回归方程.()300 400 500 600 700 800(%)40 50 55 60 67 70解利用回归系数的最小二估计：其中代入样本数据得到：样本线性回归方程为：2证明线性回归函数中(1)回归系数的置信水平为的置信区间为；(2)回归系数的置信水平为的置信区间为.证 (1) 由于，所以，所以 易知 ，其中所以的置信水平为的置信区间为(2) 由，得，与相互独立，所以：根据        得到的置信度为的置信区间.3某河流溶解氧浓度以百万分之一计随着水向下游流动时间加长而下降.现测得8组数据如下表所示.求溶解氧浓度对流动时间的样本线性回归方程，并以=0.05对回归显著性作检验.流动时间t天溶解氧浓度百万分之一解利用其中代入样本数据得到：所以，样本线性回归方程为：拒绝域形式为：，所以回归模型不显著.4假设是一可控制变量，值下分别对 进展观测，得如下数据(1)假设与有线性相关关系，求对样本回归直线方程，并求的无偏估计； (2)求回归系数的置信度为95%的置信区间；(3)检验和之间的线性关系是否显著；(4)求 置信度为95%的预测区间；(5)为了把的观测值限制在，需把x的值限制在什么围？解 (1) 利用其中计算得所以，样本线性回归方程为：，(2) 根据第二题，的置信区间为，代入值计算得到：，的置信区间为，代入数值计算得到：.(3) 根据检验法，其拒绝域形式为 而 显然，所以和之间具有显著的线性关系.(4) , 如此有 (5) 根据(4)的结论，令解得 5证明对一元线性回归系数,相互独立的充分必要条件是.证假设要，那么.反之显然也成立，命题的证.6设组观测值之间有关系式：其中，且相互独立.(1) 求系数的最小二乘估计量；(2) 证明，其中(3) 求的分布.解(1) 最小化残差平方和：(2) 易知 其中，将其代入上式可得所以,(3) ，同理，易得7某矿脉中13个相邻样本点处某种金属的含量与样本点对原点的距离有如下观测值23457810111415161819分别按(1)；(2)；(3).建立对的回归方程，并用相关系数指出其中哪一种相关最大.解(1) 令，根据最小二乘法得到，正规方程：，最后得到所以：样本线性回归方程为：，(2) 令，得到所以：样本线性回归方程为：，(3) 令，得到所以：样本线性回归方程为：，综上，,所以第三种模型所表示的的相关性最大.8设线性模型其中且相互独立，试求、的LS估计.解 令如此线性模型可转化为 根据 ， 令 可得 即 9养猪场为估算猪的毛重，随机抽测了14头猪的身长(cm)，肚围(cm)与体重(kg)，得数据如下表所示，试求一个型的经验公式.身长(cm)41 45 51 52 59 62 69 72 78 80 90 92 98 103肚围(cm)49 58 62 71 62 74 71 74