椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习付答案.doc

-一椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点、的距离之和等于定长大于的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。对椭圆定义的几点说明：1“在平面是前提，否则得不到平面图形去掉这个条件，我们将得到一个椭球面；2“两个定点的设定不同于圆的定义中的“一个定点，学习时注意区分；3作为到这两个定点的距离的和的“常数，必须满足大于| F1F2|这个条件。假设不然，当这个“常数等于| F1F2|时，我们得到的是线段F1F2；当这个“常数小于| F1F2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。4下面我们对椭圆进展进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1， A2， B1， B2，于是我们易得| A1A2|的值就是那个“常数，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那个“常数。同学们想一想其中的道理。5中心在原点、焦点分别在*轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：一样点是：形状一样、大小一样；都有 a > b > 0 ，。不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同第一个椭圆的焦点坐标为c，0和c，0，第二个椭圆的焦点坐标为0，c和0，c。椭圆的焦点在 * 轴上标准方程中*2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y2项的分母较大。二椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质，只要的有关性质中横坐标*和纵坐标y互换，就可以得出的有关性质。总结如下：几点说明：1长轴：线段，长为；短轴：线段，长为；焦点在长轴上。2对于离心率e，因为a>c>0，所以0<e<1，离心率反映了椭圆的扁平程度。由于，所以越趋近于1，越趋近于，椭圆越扁平；越趋近于0，越趋近于，椭圆越圆。3观察以下图，所以，所以椭圆的离心率e = cosOF2B2三直线与椭圆： 直线：、不同时为0 椭圆：则如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下： 消去得到关于的一元二次方程，化简后形式如下， 1当时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； 2当时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点相切； 3当时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。 注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为，则线段的长度即弦长为，设直线的斜率为，可得：，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。典型例题一例1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：1当为长轴端点时，椭圆的标准方程为：；2当为短轴端点时，椭圆的标准方程为：；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解：，说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比二是列含和的齐次方程，再化含的方程，解方程即可典型例题三例3 中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为，由，得，为所求说明：1此题求椭圆方程采用的是待定系数法；2直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例4椭圆上不同三点，与焦点的距离成等差数列1求证；2假设线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率证明：1由椭圆方程知，由圆锥曲线的统一定义知：，同理，且，即2因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为又点在轴上，设其坐标为，代入上式，得又点，都在椭圆上，将此式代入，并利用的结论得典型例题五例5 椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？假设存在，则求出点的坐标；假设不存在，请说明理由解：假设存在，设，由条件得，左准线的方程是，又由焦半径公式知：，整理得解之得或另一方面则与矛盾，所以满足条件的点不存在说明：1利用焦半径公式解常可简化解题过程2本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据条件进展推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断3本例也可设存在，推出矛盾结论读者自己完成典型例题六例6 椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程分析一：一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为代入椭圆方程，并整理得由韦达定理得是弦中点，故得所以所求直线方程为分析二：设弦两端坐标为、，列关于、的方程组，从而求斜率：解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得得将、代入得，即直线的斜率为所求直线方程为说明：1有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹2解法二是“点差法，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率3有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用及“点差法有关二次曲线问题也适用典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程1长轴长是短轴长的2倍，且过点；2在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如1题中由求出，在得方程后，不能依此写出另一方程解：1设椭圆的标准方程为或由又过点，因此有或 由、，得，或，故所求的方程为或2设方程为由，所以故所求方程为说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数关键在于焦点的位置是否确定，假设不能确定，应设方程或典型例题八例8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标分析：此题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值一般地，求均可用此法解：由：，所以，右准线过作，垂足为，交椭圆于，故显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上故所以说明：此题关键在于未知式中的“2的处理事实上，如图，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值典型例题九例9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为当时，说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例题十例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标分析：此题考察椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求的最大值时，要注意讨论的取值围此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是，其中待定由可得，即设椭圆上的点到点的距离是，则其中如果，则当时，从而有最大值由题设得，由此得，与矛盾因此必有成立，于是当时，从而有最大值由题设得，可得，所求椭圆方程是由及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到点的距离是解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定，为参数由可得，即设椭圆上的点到点的距离为，则如果，即，则当时，从而有最大值由题设得，由此得，与矛盾，因此必有成立于是当时从而有最大值由题设知，所求椭圆的参数方程是由，可得椭圆上的是，典型例题十一例11 设，求的最大值和最小值分析：此题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的构造一致设，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值解：由，得可见它表示一个椭圆，其中心在点，焦点在轴上，且过0，0点和3，0点设，则它表示一个圆，其圆心为1，0半径为在同一坐标系中作出椭圆及圆，如下图观察图形可知，当圆过0，0点时，半径最小，即，此时；当圆过3，0点时，半径最大，即，的最小值为0，最大值为15典型例题十二例12 椭圆，、是其长轴的两个端点1过一个焦点作垂直于长轴的弦，求证：不管、如何变化，2如果椭圆上存在一个点，使，求的离心率的取值围分析：此题从条件出发，两问都应从和的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手此题的第2问中，其关键是根据什么去列出离心率满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：，根据得到，将代入，消去，用、表示，以便利用列出不等式这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成解：1设，于是，是到的角故2设，则，由于对称性，不妨设，于是是到的角， 整理得， ， ，或舍，典型例题十三例13 椭圆的离心率，求的值分析：分两种情况进展讨论解：当椭圆的焦点在轴上时，得由，得当椭圆的焦点在轴上时，得由，得，即满足条件的或说明：此题易出现漏解排除错误的方法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上故必须进展讨论典型例题十四例14 椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解解法一：由，得，由椭圆定义，得由椭圆第二定义，为到左准线的距离，即到左准线的距离为解法二：，为到右准线的距离，又椭圆两准线的距离为到左准线的距离为说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义典型例题十五例15 设椭圆(为参数)上一点与轴正向所成角，求点坐标分析：利用参数与之间的关系求解解：设，由与轴正向所成角为，即而，由此得到，点坐标为典型例题十六例16 设是离心率为的椭圆上的一点，到左焦点和右焦点的距离分别为和，求证：，分析：此题考察椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离解：点到椭圆的左准线的距离，由椭圆第二定义，由椭圆第一定义，说明：此题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径或焦点弦的有关问题时，有着广泛的应用请写出椭圆焦点在轴上的焦半径公式典型例题十七例17椭圆有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点(1)求的最大值、最小值及对应的点坐标；(2)求的最小值及对应的点的坐标分析：此题考察椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法二是数形结合，即几何方法此题假设按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；假设抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解解：(1)如上图，设是椭圆上任一点，由，等号仅当时成立，此时、共线由，等号仅当时成立，此时、共线建立、的直线方程，解方程组得两交点、综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值(2)如以下图，设是椭圆上任一点，作垂直椭圆右准线，为垂足，由，由椭圆第二定义知，要使其和最小需有、共线，即求到右准线距离右准线方程为到右准线距离为此时点纵坐标与点纵坐标一样为1，代入椭圆得满足条件的点坐标说明：求的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂线段巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段典型例题十八例18 (1)写出椭圆的参数方程；(2)求椭圆接矩形的最大面积分析：此题考察椭圆的参数方程及其应用为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题解：(1)(2)设椭圆接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设为矩形在第一象限的顶点，则故椭圆接矩形的最大面积为12说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便典型例题十九例19，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且(1)求椭圆离心率的取值围；(2)求证的面积与椭圆短轴长有关分析：不失一般性，可以设椭圆方程为，思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即，设，化简可得又，两方程联立消去得，由，可以确定离心率的取值围；解出可以求出的面积，但这一过程很繁思路二：利用焦半径公式，在中运用余弦定理，求，再利用，可以确定离心率的取值围，将代入椭圆方程中求，便可求出的面积思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合求解解：(法1)设椭圆方程为，则，在中，由余弦定理得，解得(1)，即故椭圆离心率的取围是(2)将代入得，即即的面积只与椭圆的短轴长有关(法2)设，则(1)在中，由正弦定理得，当且仅当时等号成立故椭圆离心率的取值围是(2)在中，由余弦定理得：，即即的面积与椭圆短轴长有关说明：椭圆上的一点与两个焦点，构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理解题过变形，使之出现的构造，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关，的关系式，使问题找到解决思路典型例题二十例20椭圆与轴正向交于点，假设这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值围分析：、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的围建立关于、的一个不等式，转化为关于的不等式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程解：设椭圆的参数方程是，则椭圆上的点，即，解得或，舍去，又，又，说明：假设椭圆离心率围，求证在椭圆上总存在点使如何证明？例1求适合以下条件的椭圆的标准方程：1两个焦点的坐标分别是4，0，4，0，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；2两个焦点的坐标分别是0，2，0，2，并且椭圆经过点，；3焦点在坐标轴上，且经过点A，2和B2，1分析：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可。假设判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式。解析：1因为椭圆的焦点在*轴上，所以设它的标准方程为1ab02a10，2c8，a5，c4b2a2c252429所以所求的椭圆的标准方程为12因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1ab0由椭圆的定义知，2a又c2，b2a2c21046所以所求的椭圆的标准方程为13解法一：假设焦点在*轴上，设所求椭圆方程为1ab0由A，2和B2，1两点在椭圆上可得：解之得假设焦点在y轴上，设所求椭圆方程为1ab0，同上可解得，不合题意，舍去。故所求的椭圆方程为1解法二：设所求椭圆方程为m*2ny21m0，n0且mn。由A，2和B2，1两点在椭圆上可得即，解得故所求的椭圆方程为1点评：1求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a、b。2第3小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为m*2ny21m0，n0，不必考虑焦点位置，直接可求得方程想一想，为什么？例2B、C是两个定点，|BC|6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。分析：在解析几何里，求符合*种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。如下图，由ABC的周长等于16，|BC|6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|AC|16610，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图。解析：如下图，建立坐标系，使*轴经过点B、，原点与BC的中点重合。由|AB|AC|BC|16，|BC|6，有|AB|AC|10，即点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c6，2a10，c3，a5，b2523216。由于点A在直线BC上时，即y0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是1y0。点评：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用，另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明。例3一动圆与圆O1：*32y21外切，与圆O2：*32y281切，试求动圆圆心的轨迹方程。分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件。解析：两定圆的圆心和半径分别为O13，0，r11；O23，0，r29设动圆圆心为M*，y，半径为R，则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R|MO1|MO2|10由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a5，c3。b2a2c225916故动圆圆心的轨迹方程为1。点评：正确地利用两圆切、外切的条件，合理地消去变量R，运用椭圆定义是解决此题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。例4P是椭圆1上的一点，F1、F2是两个焦点，且F1PF230°，求PF1F2的面积。分析：如下图，P30°，要求PF1F2的面积，如用|F1F2|·|yP|，因为求P点坐标较繁，所以用S|PF1|·|PF2|·sin30°较好，为此必须先求出|PF1|·|PF2|，从构造形式可看出用余弦定理可得出夹30°角的两边的乘积。解析：由方程1，得a5，b4，c3，|F1F2|2c6|PF1|PF2|2a10F1PF230°在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos30°即62|PF1|22|PF1|·|PF2|PF2|22|PF1|·|PF2|·|PF1|·|PF2|2|PF1|·|PF2|PF1|PF2|2361003664，|PF1|·|PF2|642|PF1|·|PF2|·sin30°·642·162例5椭圆a*2by21与直线*y1相交于P、Q两点，假设|PQ|2，且PQ的中点C与椭圆中心连线的斜率为，求椭圆方程。分析：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a、b之值即可解析：由得ab*22b*b10设P*1，y1，Q*2，y2，则*1*2，*1*2|PQ|·ab又PQ的中点C，1，即C，kOC 由得a，b所求椭圆方程为1例6中心在原点的椭圆C的一个焦点是F0，又这个椭圆被直线l：y3*2截得的弦的中点的横坐标是，求该椭圆方程。分析：此题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法。解析：据题意，此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为1ab0设直线l与椭圆C的交点分别为A*1，y1，B*2，y2，则有：1，两式相减得：0即3a23b2又因为椭圆焦点为F0， c则a2b250 由解得：a275，b225该椭圆方程为1例7设P是椭圆ab0上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且F1PF2=90°，求证：椭圆的离心率e证明：P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a在RtF1PF2中，由2，得|PF1|·|PF2|=2a2c2 由和，据韦达定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程z23az+2a2c2=0的两根，则=4a28a2c20，2，即e1. 如果方程*2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值围是A. 0，B. 0，2C. 1，D. 0，12. 椭圆1，F1、F2分别为它的两焦点，过F1的焦点弦CD与*轴成角0，则F2CD的周长为A. 10B. 12C. 20D. 不能确定3. 椭圆1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，则点M的纵坐标是A. ±B. ±C. ±D. ±4. 设椭圆1的两焦点分别是F1和F2，P为椭圆上一点，并且PF1PF2，则|PF1|PF2|等于A. 6B. 2C. D. 5. 直线y*与椭圆y21相交于A、B两点，则|AB|等于A. 2B. C. D. 6. 点P是椭圆1上一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260°，则F1PF2的面积为_。7. ABC的两顶点B8，0，C8，0，AC边上的中线BM与AB边上的中线的长度之和为30，则顶点A的轨迹方程为_。 8. F1、F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则M点的轨迹是_。9. 以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P，4和Q，3，则此椭圆的方程是_。10. 在椭圆1，过点2，1且被这点平分的弦所在的直线方程是_。11. ABC的两个顶点坐标分别是B0，6和C0，6，另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。12. 在面积为1的PMN中，tanM，tanN2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点并且过点P的椭圆方程。参考答案1. 解析：将方程*2ky22化为椭圆的标准方程为1，又焦点在y轴上，>2，解之得0<k<1。2. 解析：由椭圆方程知a5，|CF1|CF2|2a10，|DF1|DF2|2a10，则F2CD的周长|F2C|F2D|CD|CF1|CF2|DF1|DF2|101020。3. 解析：由椭圆的标准方程易知c3，不妨设F13，0、F23，0，因为线段PF1的中点在y轴上，由中点坐标公式知*P3，由椭圆方程1解得yp±，故M点纵坐标为±。4. 解析：从方程中可得a3，b2，c5|PF1|PF2|2a6，|PF1|PF2|2180即|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|180由PF1PF2，|PF1|2|PF2|22c2100代入上式得2|PF1|·|PF2|80|PF1|PF2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|20|PF1|PF2|2答案：B5. 解析：设A*1，y1，B*2，y2由方程组得1*±y±，即A，B，由两点间距离公式可得|AB|6. 解析：设|PF1|m，|PF2|n，在F1PF2中，由余弦定理有m2n22mncos60°|F1F2|2122，即m2n2mn144 由椭圆定义知mn20，则m2n22mn400 由得，3mn256，故mn因此，7. 解析：如下图，设B、C为BC的两个三等分点，则B24，0，C24，0，连接AB，AC，设A*，y，BM、又分别为ACB与ABC的中位线。|AB|2|BM|，|AC|2|AB|AC|2|BM|60由椭圆定义，动点A到两定点B、C的距离的和为定长60，所以点A在以B、C为焦点，中心在原点的椭圆上运动。2a60，a30由|BC|48，得c24b2a2c2900576324则点A的轨迹方程是1y08. 解析：尽管动点M满足|MF1|MF2|2a6，但2a|F1F2|，M点轨迹应为F1、F2两点间的线段。答案：F1、F2两点间的线段9. 解析：设此椭圆方程为m*2ny21m>0，n>0，mn，把P，4，Q，3代入得解得m1，n，故椭圆方程为*21。10. 解析：设弦的两端点分别为A*1，y1、B*2，y2，则有1，1两式相减得即弦所在直线的斜率为，又弦过2，1点，故弦所在直线的方程是*2y4011. 解：设顶点A的坐标为*，y，由题意得：顶点A的轨迹方程为：1y±612. 解：以直线MN为*轴，以线段MN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如下图。设所求椭圆方程为1a>b>0，分别记M、N、P点的坐标为c，0、c，0和*0，y0tantanN2由题设知 解得即 P在MNP中，|MN|2c，MN上的高为，SMNP1，解得c即P，由此得|PM|，|PN|a|PM|PN|，从而b2a2c23故所求的椭圆方程为1. z.