圆锥曲线大题综合测试(含详细答案).docx

圆锥曲线1.设椭圆?=l(>&)的右焦点为耳，直线/:工=4=彳与工轴交于点A,若OF1=2FA(其中。为坐标原点).(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N:/+。-2)2=1的任意一条直径(后、F为Ix)直径的两个端点)，求还.而的最大值.己知椭圆£:*+方=l(o>b>0)的一个焦点为耳卜石,0),而且过点H(I)求椭圆E的方程;(II)设椭圆E的上下顶点分别为A1,4,P是椭圆上异于A，A2的任一点,直线尸A,PA2分别交X轴于点N,M,若直线Or与过点M,N的圆G相切,切点为T证明：线段Or的长为定值,并求出该定值.3、已知圆0x2+y2=2交X轴于A,B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为正的椭圆,其左焦2点为K若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q.（I）求椭圆C的标准方程；（II）若点P的坐标为（1,1）,求证:直线PQ与圆O相切；（In）试探究:当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.4设A（j,y）,必）是椭圆2+=1（。>6>0）上的两点,满足-y-,）,-）=0»椭圆的离心率e=一,短轴长为2,0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆2的焦点F（0,c）,（C为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（3）试问：AAOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明：如果不是，请说明理由.5、直线/：y=mx+1,双曲线C：3x2/T7.已知椭圆C: = +与= l(>b>0)经过点A(2, 1),离心率为在，过点8(3, 0)的直线/与 a Zr2椭圆C交于不同的两点M,N. (1)求椭圆C的方程；(2)设直线和直线AN的斜率分别为ZAA,和阳心 求证：Lw+心N为定值-y2=1,问是否存在m的值，使/与C相交于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点6已知双曲线C：1与=1(。>0,力>0)的两个焦点为R(-2,0),F2(2,0),点P(3,7)在ah曲线C上。(1)求双曲线C的坐标；(2)记0为坐标原点，过点Q(0,2)的直线/与双曲线C相交于不同两点E,F,若aOEF的面积为2点，求直线/的方程。8.已知椭圆G：+A=l(a>>0)的离心率为Y-,直线Z：y=x+2"与以原点为圆心、ab2以椭圆G的短半轴长为半径的圆相切。(I)求椭圆G的方程：(II)设椭圆Cl的左焦点为B，右焦点为F2,直线4过点B，且垂直于椭圆的长轴，动直线，2垂直4于点P，线段PF2的垂直平分线交4于点M,求点M的轨迹C2的方程；(III)若AC、BD为椭圆Cl的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.229设7<'是椭圆G+4=l(4>b>0)的左焦点，直线/为其左准线，直线1与X轴交于点尸，ab线段前V为椭圆的长轴，己知IMNl=8,且IPMl=2MF.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点尸的直线与椭圆相交于不同两点力"求证：NW=8泌(2)求三角形力以、面积的最大值.10如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点"（2），平行于QM的直线/在y轴上的截距为n（m0）,/交椭圆于A、8两个不同点（1）求椭圆的方程；（2）求机的取值范围；（3）求证直线M4、"8与X轴始终围成一个等腰三角形。11已知椭圆C：0+谷=1（4匕0）,左、右两个焦点分别为耳、居，上顶点A（0,。），abAKB为正三角形且周长为6（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）。为坐标原点，尸是直线KA上的一个动点，求IPF2+。1的最小值，并求出此时点P的坐标.12如图，设P是圆V+y2=2上的动点，PD_LX轴，垂足为D,M为线段PD上一点，且PD=2MD,点A、Fl的坐标分别为(O,2),(-1,0)。(I)求点M的轨迹方程；(2)求IMAI+1MFIl的最大值，并求此时点M的坐标。13.如图，在平面直角坐标系XQ)，中。椭圆C:+V=1的右焦点为尸，右准线为(1)求到点F和直线/的距离相等的点G的轨迹方程。(2)过点尸作直线交椭圆。于点4,8,又直线OA交/于点T,若OT=2OA,求线段AB的长;（3）已知点M的坐标为（%0，%），/工0,直线QM交直线号+为y=l于点N,且和椭圆C的一个交点为点尸，是否存在实数2, 请说明理由。AOM ON?,若存在，求出实数4；若不存在,圆锥曲线答案62（2）方法1：设圆N:r+（y2）2=1的圆心为N,则瓦:而=彼一直）麻一丽）6分+NF-NP）（NF-NP）7分=NP-NF2NP-1-8分从而求还.而的最大值转化为求而2的最大值.9分10分因为尸是椭圆M上的任意一点，设尸（不，%），22Il分所以受二十久_=1，即/2=6-362因为点N(0,2),所以/2=%2+(%一2)2=一%+)2+2.12分因为为e-J2，应，所以当为=1时，而2取得最大值12.13分所以港.而的最大值为11.14分2由(I)可知a(0,i),4(0,-i),设Pa,%)，直线PAi:y-=-X,令y=0,得XN=；%一1直线P4=y+l=x,令y=0,得XM=-;%+1则IOMlONl=二-*-=,No-1%+1%-12而子+%2=1,即石=4(1-y；),.OMON|=4取线段MN的中点Q,连接G。,GM,GO,r=GMIOT2=OG2-GM2=(OQ2+QG2)-(MQ2+QG2)=OQ2-MQ2=(IOQ+MQ1)(1OQI-IMQl)=OMON=4.OT=2.即线段OT的长为定值2.14分37.(14分)解：(1)因为=J«=正，所以c=l,则b=l,2所以椭圆C的标准方程为互+y2=i5分(11).P(1,D,即尸=g,%o0=-2,直线OQ的方程为y:2x,'点Q(-2,4)7分：kpQ=-1,又=1,.kop±kpQ=一1,即OP_LPQ,故直线PQ与圆0相切10分(III)当点P在圆0上运动时，直线PQ与圆0保持相切11分证明:设P(XO,%)(七工土&),则必=2-片，所以=2_,R=一旦%。+1No所以直线OQ的方程为y=冬山X所以点Q(-2,2)+2)U分Noy0y_2%+2所以A_0%_y；一(2Xo+2)_X。.又k°p=迎13：x0+2(XO+2)%(XO+2)Noyo所以k°p_LkpQ=T,即OP_LPQ,故直线PQ始终与圆0相切.14分49解：(1)2b=2b=l,e=3='0J2=旦na=2w=m椭圆的方程为aa2匕+=l.(2分)4（2）设AB的方程为y=Ax+石fy=x+3_j由屋2=>(Z:2+4)x2+2y3kx-1=Ox1+X2=-z,x1x2=2(4分)2_+x2=1A+4K+4、4由已知0 = ÷b' a3 - 4+JZ+TLLk2-J3k=x,x+(kx,+3)(v,+3)=(1+一)x.x2+(x.444k2÷4z、Ek-23Z:32帕,/八、=(一73)+=7"+了，解得归=±2(7分)4k+44/+44(3)当A为顶点时，B必为顶点.Saob=I(8分)当A,8不为顶点时，设AB的方程为y=L+bY=kx+b<v2=/2+4»2+2版+人2-4=0得至卜1+=2-+x2=l公+44XlX2=2X1X2=功=OOX1X2+包+")"+")=O代入整理得:&+4442b1+k2=4(11分)S = -g I。Il $一次2 I= g g I J(Xl+)2 -4丁, I=74Z:2 -4Z?2 +16k2 +42闻所以三角形的面积为定值（12分）Q76,解：（1）依题意c=2,彳-4=1且C?=/+/,解得：/=2,/=2,ab22所以双曲线方程为】一与=14分22（2）依题意可知，直线/的斜率存在设直线/的方程为y=kx+2,E(xl,yl)fF(x2,y2),22由y=kx+2及土一上二1得（I-公）/一4"一6二0,22有两个交点，一人20,又4=16+24(1-22)>o,.F<3,r4攵6/.-3<k<弋3,又不+/=-Six2=P，VlEFI=iTF7(x1+x2)2-4xlx2=F7FJ(-t)2-瑞8分VI-10点到直线的距离为d=-f2又S=LEd=2j5,1+F2.僖三号2四,k=÷2,，直线/的方程为y=岳+2或y=-JL:+212分411÷=hab7 .解：(1)由题意得!a2=b2+c29解得。=#,b=邪.c2a'22故椭圆。的方程为与+V=L63(2)由题意显然直线/的斜率存在，设直线/方程为y=-x-3),y=k(x-3v.2v2得(1+2F)X2-i22+18k2-6=0.+2-=l,63因为直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,所以A=144/-4(l+2Jt2)(182-6)=24(1-F)>0,解得一IVRVL设M,N的坐标分别为(,y),U2,y2),Ml12k218F-6,zfz八则F+/=:OA'xx2=jp->y=Z(芭-3),y2=k(x2-3).9分1十乙KiI乙Kw÷=2l÷410分X1-ZX2-Z(Av3kl)(X-2)÷(Alx73kl)(x-2)(XI-2)(x2-2)lkxxx2-(5k+l)(x1+x2)+12Ar+4x,x2-2(x1+x2)+42kQ8/一6)(5&+1)12k?+(12女+4)(1+2&)_4公+4_214分W-6-24/+4(1+2/)Ik2-I所以fcAM÷kN为定值一2.解：(I)八",./=£=2 Cra- 2直线/ ： X - y + 2 = O与圆Y + y2 =从相切. a2 = 2b222 F= b,.b = 2,b? =4,. a2 =8,椭圆Cl的方程是1+上=1.84(II)MP=MF2,动点M到定直线4:x=2的距离等于它到定点F2(2,0)的距离,动点M的轨迹C是以为准线，Fz为焦点的抛物线点M的轨迹C2的方程为=8x6分(III)当直线Ae的斜率存在且不为零时，设直线Ae的斜率为匕A(x1,M),C(x2,为)，则直线AC的方程为y=k(x-2).联立三+汇=1及y=攵(X-2)得(1+2k2)x2-k2x+8/-8=0.84所以 +x28公 _8£-8T+2F,x,2-T+2F'IACI=J(I+如)*一)2=>/(1+/)(3+/)243%2=呼D9分1I乙K由于直线BD的斜率为-,用一5代换上式中的k可得IBDl=RIkkk2+2AC.LBD,四边形ABCD的面积为S=-ACBD=-62+“二12分2U2+2)(1+22)由(1+2公)"+2)-2/)+(-2)=tl)22264所以St,当1+2左2=k2+2时,即Z=±1时取等号.13分9易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=89解：VV=8a=4又.WI=2IMFI得a-2(a-c)即2ey = x +m1JO又 K.=-,所以/的方程为：y = x + "z 由<，.=> X* + 2mx + 2m2 -4 = 0CW C， C22-3e+l=0ne=!"或e=1(舍去)32.c=2b2=a2-c2=12椭圆的标准方程为+二=11612(2)当48的斜率为O时，显然NAbM=NBQV=O.满足题意当4?的斜率不为O时，设Aa,凹),8区,%)，力8方程为工二为一8,代入椭圆方程整理得(3帆2+4万2-48阳+144=°则=(48。2-4×144(3/+4),yl+y2=C坐;yl-y2=C中3m+43m+4.,M-=+=2吵。-6(M+%)=°X1+2x2+2myl-6my1-6(myl-6)(y2-6)'+bf=0,从而ZlAFM=NBFN.综上可知：恒有ZA尸M=NBEVSMw=S”肝-SHAF=卓P卜卜I%_MI=T23m+4a = 2b41 解得，/+*1设 A(Xpy ), B(x2ty2)则料Z t72h3(34) + 16 3尸716- 2正yjm2 -4当日仅当网户7_6 一日收2_?8 (此时适合>()的条件)取得等号.yn2 -43.三角形ABF面积的最大值是33X2 y210【解析】：(1)设椭圆方程为r + 2 = l(>b>0) a- b-a2 =SX2 y2所以椭圆方程一 + = = 1b2=282(2)因为直线/平行于OM,且在y轴上的截距为加12 X y i+ = 182因为直线/与椭圆交于A、B两个不同点， = (Itri)1 -4(2加-4) > 0,所以机的取值范围是/%I2 V /% < 2,机工0。(3)设直线MA、的斜率分别为匕,网,只要证明K+e=()即可-472,72.田由X2+2mx+2n1-4=0可得玉+x2=-2m,xlx2=Im2-4(XI - 2)(w - 2)而k+k=切一I%一Jy7)(_2)+(乃-1)5-2)12x1-2x2-2弓王+m1）（七2）+q+初1）（百2）中2+（加+2）（*+/）-4（m一1）(N - 2)(/ - 2)(XI-2)(x2-2)_2m2-4+(w+2)(-2w)-4(/n-1)(石一2)(x2-2)kxrk1=O故直线MA、MB与X轴始终围成一个等腰三角形。a=2c11解：(I)解：由题设得4+2c=62分a2=b1+c2, =32y解得：Cl=Zb=2故C的方程为二+4(2)直线KA的方程为y=J5(x+1)，7分设点。关于直线KA对称的点为M（XO,光），则-l3=-1x0=-<%=>（联立方程正确，可得分至8分）=÷Dy.=4、乙乙/所以点M的坐标为（-,-）9分尸OI=IPMp闻+1PoI=IPK+PMlM闻,io分PF2+P°的最小值为IMF21=，(一3一1-+(?-0)2=711分正一O直线MK的方程为y=W(X-I)即y=-日(X-I)12分123X=-/由Iy=一7'-=>1所以此时点尸的坐标为14分b=+DT33rW/林卬*幻而出牌和犷火望Z*邮¥需m/见时酎【申劈）"+gyZlZll=r÷rYWeJV9)3号合*"才神典NQV少川菖裤挈甲三W'UW麻跖6iA+#2-rjvi卜学Z>I也州TvWI+Sz-IUjm+【vjvI0（“【'科某，判学不？国W音:T僵*咎器军第4虎;,%T）甲建）U9*7-l<<Z）+,.：TZ-J+产80号4"£二X步«H"'r懒劫皆甲：。平雪唯班JTad（'£'9）哥方帝邹</,（*有/赤烟；V草不，I）Iil