圆锥曲线的相关结论192条.docx

结论1：过圆/+y2=2/上任意点P作圆元2+y2=/的两条切线，则两条切线垂直.22结论2：过圆/+/=/+从上任意点尸作椭圆0+与=1（">人>0）的两条切线，则两ab条切线垂直.22结论3：过圆一+/二。2一/（>b>0）上任意点P作双曲线与一与二1的两条切线，则crb两条切线垂直.结论4：过网，+y2=/卜任意不同两点A,8作圆的切线，如果切线垂直且相交于P,则动点P的轨迹为圆：x2-vy2=Ia2,/y2结论5：过桶I员I7+=l（。>方>0）上任意不同两点A,5作椭圆的切线，如果切线垂m:ab且相交于尸，则动点尸的轨迹为圆Y+/22结论6：过双曲线与-4=1（a>6>0）上任意不同两点A,5作双曲线的切线，如果切线ab垂直且相交于P,则动点尸的轨迹为圆/+/=。2一22结论7：点M（x0,九）在椭圆0+5=1（>b>O）上，过点M作椭圆的切线方程为ab理+誓=L2b222结论8：点M（x0,方）在椭圆0+5=1（>b>O）外，过点M作椭圆的两条切线，ab切点分别为A,3,则切点弦48的直线方程为警+誓=1.ab-22结论8：（补充）点M（X0,为）在椭圆j+2=l（a>b>0）内，过点M作椭圆的弦A3ab（不过椭圆中心），分别过4、3作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线:÷=1.ab22结论9：点M(x0,九)在双曲线=一与二1(a>0>0)上，过点M作双曲线的切线ab"方程为苦-爷=LX2y2结论10：点M(X0，汽)在双曲线F-=l(>0,b>0)外，过点M作双曲线的两条ab切线，切点分别为A,B,则切点弦A3的直线方程为警一誓=1.a2b2结论10(补充)点、M(X0,y0)在双曲线=一工=1(>O,b>O)内，过点M作双曲ab线的弦AB(不过双曲线中心)，分别过A、8作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：写一写=1.a2b2结论Ih点M(x0,y0)在抛物线V=2px(p>0)±,过点M作抛物线的切线方程为y0y=p(+)结论12：点M(x0,方)在抛物线V=2px(>0)外，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB的直线方程为y°y=Mx+Xo).结论12：(补充)点M(x0,M)在抛物线V=2px(p>0)内，过点M作抛物线的弦A8,分别过A、B作抛物线的切线，则两条切线的交点尸的轨迹方程为直线：yQy=p(x+xQ).(-m)2(-n2结论13：点M(x0,九)在椭圆j+2=1-h>过点”作椭圆的切线方程为ab(-m)(x一哈(九一)(y)_1结论14：点M(x0,y0)在双曲线(“_丁)-SP-=I上,过点M作双曲线的切线方程abCro一力)(工一4)(y()Cy)=1结论15:点、M(X0,方)在抛物线(V一F=2P(X-加)上，过点M作抛物线的切线方程为（y0-n）=P（X+-2机）.结论16：点M（x0,y0）在椭圆&-丁）+（"=1外，过点M作椭圆的两条切线，切Crb点分别为儿b,则切点弦相的直线方程为（岫一+。）（）,一）=1.2b2结论17：点”（x0,方）在双曲线匕叱-9H=I外，过点M作双曲线的两条切线,ab切点分别为A,8,则切点弦AB的直线方程为（-M）（Jo-力X）'-_1T>一1ab-结论1&点M（X0,方）在抛物线（,一）2=2p（x-加）夕卜，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为4,8,则切点弦AB的直线方程为（y0_-）=P（X+-2m）.结论16：（补充）点M（x0,打）在椭圆止£+HP-=I内，过点“作椭圆的弦A3ab（不过椭圆中心），分别过A、B作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：（-加）（了一用）上（打一）（y-«）-1/b2结论17：（补充）点M（x0,孔）在双曲线（”一,）-（1_:）-=内,过点M作双曲线的弦abAB（不过双曲线中心），分别过4、3作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线（与-7如-m）（%一-叽a2b2结论18;（补充）点M（X°,）"）在抛物线G-）2=2P（X-机）内，过点M作抛物线的弦AB,分别过A、8作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：（y0_-）=P（X+-2m）.结论19：过椭圆准线上一点M作椭圆的两条切线，切点分别为4,8,则切点弦AB的直线必过相应的焦点尸，且M尸垂宜切点弦AB.结论20：过双曲线准线上一点用作双曲线的两条切线，切点分别为4,8,则切点弦AB的直线必过相应的焦点尸，且M尸垂直切点弦AB.结论21：过抛物线准线上一点M作抛物线的两条切线，切点分别为A,8,则切点弦AB的直线必过焦点/，且垂直切点弦AB.结论22:AB为椭圆的焦点弦，则过A,8的切线的交点M必在相应的准线上.结论23:48为双曲线的焦点弦，则过A,8的切线的交点M必在相应的准线上.结论24:48为抛物线的焦点弦，则过4,8的切线的交点M必在准线上.结论25:点M是椭圆准线与长轴的交点，过点M作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB就是通径.结论26:点例是双曲线准线与实轴的交点，过点M作双曲线的两条切线，切点分别为4,B,则切点弦AB就是通径.结论27:M为抛物线的准线与其对称轴的交点,过点M作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB就是其通径.结论28：过抛物线V=2px(p>0)的对称轴上任意一点M(rw,O)(>0)作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB所在的直线必过点N(m,O).结论29：过椭圆j+=l(a>b>O)的对称轴上任意一点M(W,)作椭圆的两条切线，ab切点分别为4,B.2(1)当=0,|“>。时，则切点弦48所在的直线必过点尸(,0)；m.2(2)当机=0,|>b时，则切点弦AB所在的直线必过点。(0,乙).niv2结论30：过双曲线-2=l(0>O,b>O)的实轴上任意一点M(M,0)(”<4)作双曲ab1线(单支)的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB所在的直线必过点P(C,0).m结论31：过抛物线V=2px(p>0)外任意一点M作抛物线的两条切线，切点分别为4,B,弦48的中点为N,则直线MN必与其对称轴平行.2222结论32:若椭圆一7+T=l(6f>Z?>0)与双曲线-z-7=1(AT?>0,7?>0)共焦点，abtnn则在它们交点处的切线相互垂直.结论33,过椭圆外一定点尸作其一条割线，交点为A,B,则满足IA年忸q=AQ忸H的动点Q的轨迹就是过P作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论34,过双曲线外一定点P作其一条割线，交点为A,B,则湎足IAFl忸q=AQ忸目的动点。的轨迹就是过P作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论35,过抛物线外一定点P作其一条割线，交点为A,B,则满足IAH忸q=AQ忸目的动点Q的轨迹就是过P作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论36：过双曲线外一点尸作其一条割线，交点为A,8,过A,8分别作双曲线的切线相交于点Q,则动点Q的轨迹就是过P作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论37：过椭圆外一点P作其一条割线，交点为A,8,过A,8分别作椭圆的切线相交于点Q,则动点Q的轨迹就是过P作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论38：过抛物线外一点P作其一条割线，交点为4,8,过A,3分别作抛物线的切线相交于点Q,则动点Q的轨迹就是过P作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.22结论39：从椭圆+=1（>人>0）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为ab圆：X2+y2=a2.2y2结论40：从F-IT=I（a>Q方>0）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为ab圆：X2+y2=a2.x'+-1结论41：尸是椭圆/7（。>6>0）的一个焦点，M是椭圆上任意一点，则焦半径l""1-c,+cW-乙=1结论42,尸是双曲线尸r（°>°力>°）的右焦点，M是双曲线上任意一点.（1）当点M在双曲线右支上，则焦半径围科NC-%（2）当点“在双曲线左支上，则焦半径IA仔结论43：尸是抛物线y'=2p（>>0）的焦点，M是抛物线上任意一点，则焦半径""1=°22.结论44：椭圆上任一点M处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质.结论45：双曲线上任一点M处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质.结论46：抛物线上任一点M处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，亦即抛物线的光学性质.结论47：椭圆的准线上任一点M处的切点弦尸Q过其相应的焦点尸，且MF结论48：双曲线的准线上任一点M处的切点弦尸Q过其相应的焦点尸，且必'_1_尸°.结论49：抛物线的准线上任一点M处的切点弦尸Q过其焦点尸，且MFl.尸°.结论50：椭圆上任一点尸处的切线交准线于M,尸与相应的焦点户的连线交椭圆于Q,则M2必与该椭圆相切，且MF上FQ.结论51：双曲线上任一点尸处的切线交准线于M,尸与相应的焦点尸的连线交双曲线于Q,则AfQ必与该双曲线相切，且MF结论52:抛物线上任一点尸处的切线交准线于M,尸与焦点尸的连线交抛物线于0,则MQ必与该抛物线相切，且比F上PQ.结论53：焦点在X轴上的椭圆（或焦点在沙轴）上三点尸，Q,M的焦半径成等差数列的充要条件为F,0,M的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论54：焦点在X轴上的双曲线（或焦点在y轴）上三点尸，0,31的焦半径成等差数列的充要条件为尸，Q、M的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论55：焦点在X轴上的抛物线（或焦点在y轴）上三点尸，Q,财的焦半径成等差数列的充要条件为尸，Q,M的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论56：椭圆上一个焦点玛关于椭圆上任一点尸处的切线的对称点为0,则直线尸。必过该椭圆的另一个焦点耳.结论57,双曲线上一个焦点角关于双曲线上任一点尸处的切线的对称点为Q,则直线PQ必过该双曲线的另一个焦点玛.结论58：椭圆上任一点尸（非顶点），过P的切线和法线分别与短轴相交于Q,s,则有尸，Q,S及两个焦点共于一圆上.结论59：双曲线上任一点尸（非顶点），过尸的切线和法线分别与短轴相交于0,S,则有尸，Q,S及两个焦点共于一圆上.结论60：椭圆上任点P（非顶点）处的切线与过长轴两个顶点达，/的切线相交于M,M,则必得到以M为直径的圆经过该椭圆的两个焦点.结论6h双曲线上任一点尸（非顶点）处的切线与过实轴两个顶点N的切线相交于M,M',则必得到以MM'为直径的圆经过该双曲线的两个焦点.结论62：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆.结论63：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆.结论64：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切.结论65*焦点在X轴上的椭圆（或焦点在y轴上）上任一点M（非短轴顶点）与短轴的两个顶点B,6的连线分别交五轴（或y轴）于尸，°,则x"0=（或y=“）.结论66：焦点在X轴上的双曲线（或焦点在尸轴上）上任一点M（非顶点）与实轴的两个顶点3,6的连线分别交y轴（或X轴）于尸，Q,则尸户0=-*（或2="）.结论67：尸为焦点在X轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则A尸玛玛与边P玛（或PFI）相切的旁切圆与X轴相切于右顶点工（或左顶点为'）.结论68：尸为焦点在X轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则Ap4的内切圆与X轴相切于右顶点总（或左顶点为）.结论69：是过椭圆。2b2（4>b>0）的焦点F的一条弦（非通径），弦/8的中垂国2线交X轴于"，贝UIN产I=。.±_乙=1结论70,43是过双曲线乒F-（°>°»>°）的焦点尸的一条弦（非通径，且为单支幽2弦），弦幺8的中垂线交友轴于M,则IM7Le.结论71：48是过抛物线y'=2p（P>°）的焦点尸的一条弦（非通径），弦X8的中垂线交网X轴于f,则Mjl=2.结论72：43为抛物线的焦点弦，分别过总，5作抛物线的切线，则两条切线的交点尸在其准线上.结论73：48为椭圆的焦点弦，分别过工，8作椭圆的切线，则两条切线的交点尸在其相应的准线上.结论74：58为双曲线的焦点弦，分别过8作双曲线的切线，则两条切线的交点尸在其相应的准线上.结论75：为过抛物线焦点尸的焦点弦，以为直径的圆必与其准线相切.结论76：48为过椭圆焦点尸的焦点弦，以43为直径的圆必与其相应的准线相离（当然与另一条准线更相离）.结论77：48为过双曲线焦点尸的焦点弦，以48为直径的圆必与其相应的准线相交，截得的圆C12arccos-弧度数为定值，且为e.结论78：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线.结论79：以圆锥曲线的焦点弦，8为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆.结论80：以圆锥曲线的焦点弦48为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必为双曲C12arccos-线，此时截得的圆弧度数为定值，且为。.结论81:为过抛物线>'=2p彳（P>°）焦点尸的焦点弦，A（占，J1）,B（叼，>2）,则网=八+勺+P.2J-I结论82：48为过椭圆。2b2（>b>0）焦点尸的焦点弦，A（占，Ji）,B（勺，X）,则陷=2C-枢+xjW-±=1结论83:48为过双曲线7一声一（°>%>0）焦点下的焦点弦，5（KL%）,B（,X）.若58为单支弦，则网a+j-2:若H?为双支弦,则P=w%+x+2结论84:5为抛物线的焦点，Af8是抛物线上不同的两点，直线交其准线/于则FM平分或的外角.结论85：尸为椭圆的一个焦点，A18是椭圆上不同的两点，直线43交其相应的准线,于M,则尸材平分N金尸3的外角.结论86：5为双曲线的一个焦点，A,8是双曲线上不同的两点（同一支上），直线58交其相应的准线,于M,则尸AT平分N4尸B的外角.结论87：尸为双曲线的一个焦点，Af8是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线48交其相应的准线,于材，则尸M平分/月5B.-bT结论88：48是椭圆/b2>3>0）过焦点尸的弦，点尸是椭圆上异于4,8的任一点，直线R4、尸8分别交相应于焦点尸的准线,于M、N,则点M与点”的纵坐标之积为定值，且为c7.工_乙=结论89:48是双曲线厂6r（>6>0）过焦点户的弦，点P是双曲线上异于为，B的任一点，直线24、尸8分别交相应于焦点尸的准线,于M、N,则点M与点曾的纵坐标之积为定值，且为e,结论90：幺3是抛物线尸？=2p彳（P>°）过焦点尸的弦，点?是抛物线上异于/，B的任一点，直线H4、尸8分别交准线/于MN,则点Mr与点N的纵坐标之积为定值，且为-Pi，丁-1三"+三三=I结论9hA,B为椭圆1b2（>8>0）的长轴顶点，尸为椭圆任一点（非长轴顶N卫点），若直线4P,即分别交直线m（O（加（。）于N,则加）勿为定值，且有b2(m2-a2)Ym办5结论92：4B为椭圆厂,庐一（。50）的长轴顶点，80,尸3°）,（0掰“）,户为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP,3尸分别交直线'一£于朋Ni则瓦/FN(3-m3)(a2+w2-Aa)为定值，且有瓦MFN=mi工+±=1结论93：4,6为椭圆二r（。60）的长轴顶点，口（一内°）,尸（阳，°）,（。加0）,Xj产为椭圆任点（非长轴顶点），若直线4尸，B尸分别交直线-£于河，"，则而遍(2-M2)(a3+w2-3)为定值，且有及VFM=ml二+二=1结论9a6为椭圆a?b2（a占0）的长轴顶点，8（一加，°）,尸（附°）,（0ma）,户为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线42，BP分别交直线X一荔于“，N,则而FN(a2-m2)(a2-m2-a)为定值，且有PN=miWH=I结论95；力，8为椭圆/7-（40）的长轴顶点，8（一用.°）,月（掰°）,（0掰。）,A=*P为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线遇尸，3尸分别交直线m于N,则瓦M(a2+w2)2-Aa(ai-W2)为定值，且有EMEN=结论96,2,5为椭圆/+庐-1（。50）的长轴顶点，8（一用，°）,尸（物°）,（0Wa）,户为椭圆任-点（非长轴顶点），若直线曾，外分别交直线Xe于匕M则丽而(a2-m2)(a2+aw-A2)为定值，且有创，WH=I结论97：4B为椭圆a2b2（a>b>O）的长轴顶点，BQm,0）,尸（肛0）,（O<冽F为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线4P,BP分别交直线'=£于材，N,则市,丽（a2-用"（o'-aw-a）为定值，且有4FN=m2.结论98：4,B为椭圆F,k-0>占>0）的长轴顶点，8（-内°）,尸（阳，°）,（。<加<。）,彳卫产为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线4尸，8尸分别交直线用于M,N,则乂亚BN为定值，且有乂MBN=k2/y2结论99：力，8为双曲线下一p-=>o,>）的顶点，m,mQ）,（三>>,X卫尸为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线4尸，的分别交直线w于M,N,则加Vna（a-ma）为定值，且有W22结论100：A,B为双曲线萨-（>*>O）的顶点,BGEE（MO）,（三>）,X=Q尸为双曲线上任一点（非实轴顶点）,若直线/尸，B尸分别交直线m于M,",则团MFN为定值，且有EM FN=/y2_结论101：A,B为双曲线M/-I（°>%>°）的顶点，Rdmff）,尸（阳，0）,（别产为双曲线上任一点（非实轴顶点）,若直线4P,8尸分别交直线X"£于，"，则丽丽（'-第2）（/+2+m3）为定值，且有BNFM22=_乙=1结论102：4B为双曲线b2(°>°力>°)的顶点，8(-E0),尸(Mo),(冽>),x=4P为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线AP,BP分别交直线X-£于M,N,则前FN_(a2-m2)(a2+A2-wa)为定值，且有尸AfFN=w3.22Z=1结论103：AtB为双曲线/b2(。>%>°)的顶点，E(-°),尸(凡°),(例>),产为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线p,B尸分别交直线X一£于川，"，则由EN_(02+.2尸+.2.22)为定值，且有EN=W2二一乙=1结论1048AB为双曲线。2b2(>°5>°)的顶点，E(Fo)"(g),(掰>。)，尸为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线4尸，8户分别交直线'一二于"，"，则市FN_(a2-m2)(a2+2+am)为定值，且有BMFN=m2.221结论105：A,B为双曲线/萨一(>O.i>O)的顶点，8(-*0),F(m)W),XjF为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线/尸，3尸分别交直线-m于M,N,则而FN_(a2-w2)(a3+A2-am)为定值，且有力FN=w2.2 2/_/=结论106,A,8为双曲线户-F-(4>%>°)的顶点，8(-K0),0),<m>),户为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线4尸，BP分别交直线m于，"，则幺必BN_(炉-温+阴为定值，且有BN=w2/A，"结论107：Ay8为椭圆，b2（>>0）的长轴顶点，尸为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线/P,3尸分别交直线X=£于，"，贝I"必为定值，且有上上上M=*皿上-1=a'x'+/_1结论108：A,B为椭圆2a（。>占>0）的长轴顶点，P为椭圆任一点（非长轴顶_a点），若直线5尸，"分别交直线于M,",则句WG为定值，且有工+Jl结论io/Ay8为椭圆b2（>>0）的长轴顶点，尸为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线4尸，B尸分别交直线'一£于“，N,贝Awtm为定值，且有x'+三三三=I结论110：A,B为椭圆，b2（>b>O）的长轴顶点，尸为椭圆任一点（非长轴顶_a点），若直线5尸，3尸分别交直线'-掰于M,Nt贝破Mm为定值，且有=+d=1结论111:43为椭圆/7（。>2>>0）的长轴顶点，或一用,0）,尸（物.0）,（0<掰<八户为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线4尸，8尸分别交直线X=£于从r,N,则上ia瓯为b2定值，且有JtW上皿=3+w2.W+乙=1结论112,4,3为椭圆/7（4>b>0）的长轴顶点，8（一包°）,尸（冽9）,（0<冽<4）,P为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线4尸，BP分别交直线'=£于，N,贝卢JMbW为b2定值，且有左呼/加=a2+wj.-b-1"三三+三三三三=结论113，A,6为椭圆/b2（。>占>0）的任一直径（中心弦），尸为椭圆上任一点（不与4S点重合），则,）”为定值，且有上以”=/“21.""三三=I结论114,Ay3为椭圆b2（乙6>0）的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），M为弦月6的中点，若A½w与上心均存在，则尢awi成为定值，且有上OW上心=a2=g2-LI+!=I结论”5,48为椭圆公a（>b>O）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于43的_Q弦的中点的轨迹为直线尸Q,则有M闻=-了=&'-1.I*=1结论116：过椭圆a?b2（a>b>O）上任意一点尸（不是其顶点）作椭圆的切线尸4,则有上t%=a2=。'-1.二+±=1结论117,椭圆"b2-（4>A>0）及定点尸（冽°）,（-<m<ayf过尸的弦的端点=X=为4,B,过点A,B分别作直线m的垂线，垂足分别为O,Cf直线m与N轴相交于E,则直线/C与助恒过用的中点，且有t+1M=0.±+±=1结论118：椭圆/b2（>b>0）及定点尸（附°）,（W=÷C）,过户任作一条弦48,E为椭圆上任一点，连接力后，BE,且分别与准线用相交于尸，Q,则有二十±=结论119：椭圆/b2(>>0)及定点？(附°),(-<m<afwO),过F任作一条弦,8,E为椭圆上任一点，连接力£,BE,且分别与直线，=£相交于尸，Q,则有上"¼=ma-=一=结论120,A1B为双曲线尸一庐一U>%>°)的顶点，P为双曲线上任一点(非实N卫轴顶点)，若直线彳尸，5尸分别交直线-m(w>)于M,Ni则为为定值，且有*M，AWt-1=/二一士=1结论12h4,B为双曲线/P""(0>%>°)的顶点，尸为双曲线上任一点(非实轴顶点)，若直线5PB.分别交直线'=£(w>a)于M,N,则句WaW为定值，且二一乙=I结论122iX,B为双曲线Zr-庐一(。>°力>°)的顶点，P为双曲线上任一点(非实轴顶点)，若直线5PB.分别交直线'=£(W>a)于M,N,则U/jw为定值，且1.L"八D有上皿'W=O-6W_2=尸为双曲线上任一点(非实结论123:4,8为双曲线乒r(°>°»>°)的顶点,轴顶点)，若直线4P,BF分别交直线'=£(W>)于M,",则0为定值，且(J-D22二-2=1结论124：A,B为双曲线萨.（>4>0）的顶点，A（FQ）,Pg机（.>”尸为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线4户，即分别交直线X-£于材，N,则原am乂为定值，且有上松段"*=/+冽2./尸2结论125：A,6为双曲线a1（°>°力>°）的顶点，RG斡0）,尸（掰，0）,（掰>）,产为双曲线上任一点（非长轴顶点），若直线4尸，8尸分别交直线"7于M,",则尢询乂为定值，且有左W=L+加2.22结论126：AB为双曲线"b2（°>%>0）的任一直径，尸为双曲线上任一点（不与QA,B点重合），则，上”为定值，且有a?=M-LW-己=1结论127:力8为双曲线。2b2（°>°力>°）的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），M为弦为8的中点，若上处与尢”均存在，则上鼐左&为定值，且有上GM%LB=户.二_±=1结论128：48为双曲线/b2（°>°”>°）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于HB的弦的中点的轨迹为直线尸Q,则有左-LW£=结论12%过双曲线02A2（°>Qb>°）上任意一点P（不是其顶点）作双曲线的切线EA,Q贝IJ有k24七"=/=02_结论130：双曲线/b2（>0,>0）及定点尸（附,0）,（附>或刑<-。），过户的X上x-弦的端点为B,过/，8分别作直线'一£的垂线，垂足分别为°,ct直线X一最与X轴相交于后，则直线为C与BQ恒过用的中点，且有5+£W=0.W-乙=1结论13h双曲线科-7一（0>%>0）及定点户（附°）,（W=±C）,过户任作条弦ABfE为双曲线上任一点，连接属，且分别与准线X=£相交于P,Q,则有上秒比相=-1.W-=I结论132：双曲线b2（。>°»>°）及定点尸（附，°）,（掰或叫<一4）,过户任X卫作一条弦48,E为双曲线上任一点，连接BE,且分别与直线、一£相交于尸，Q,则有无勿=3-w2.结论133：抛物线y'=2尸彳（P>°）及定点户（加，°）,（w>0）,过户的弦的端点为力，Bt过4,8分别作直线X=一附的垂线，垂足分别为Q,Cf直线X=-附与N轴相交于后，则直线/C与M恒过跖的中点，且有5+%=0.2掰/结论134,抛物线尸=2p（>°）及定点尸（附0）,（一2）,过户任作条弦/8,E为抛物线上任一点，连接力后，班1,分别与准线X=-用相交尸，Q,则无"无"二一1.结论135：抛物线>'=2p（P>°）及定点尸（冽0）,（冽>0）,过户任作一条弦/8,E为抛物线上任点，连4E,BEf分别与直线X=-用相交尸，Q,则上"上界?=2m.22结论136：过抛物线y=2PK（P>0）的焦点F（2,0）的弦（焦点弦）与抛物线相交于上，B,过3作直线BC与X轴平行，且交准线于C,则直线必过原点（即其准线与N轴交点E与焦点户的线段的中点）.I*I结论137：兑8为椭圆/b2（>>0）的焦点F的弦，其相应的准线与X轴交点为后，过力，8作X轴的平行线与其相应的准线分别相交于M,Nt则直线3M均过线段EF的中点.W-=I结论138:兑8为双曲线F庐一（4>Qb>O）的焦点户的弦，其相应的准线与N轴交点为£,过力，6作X轴的平行线与其相应的准线分别相交于81,N,则直线4N,BM均过线段用的中点.结论139：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.i1+=l（a>0,>0,）结论14（hAB为垂直于椭圆一3长轴上的动弦，其准线与N轴相交于Q,贝慎线AF与BQ（或直线BF与AQ）的交点M必在该椭圆上./V3,、»=l（i0）C结论14hAB为垂直于双曲线丁bi实轴的动弦，其准线与X轴相交于V,则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该双曲线上.结论142：AB为垂直于抛物线，="（或U=O=U）对称轴的动弦，其准线与X轴相交于Q,则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该抛物线上.结论143：AB为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线）的动弦,其准线与X轴相交于Q,则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该圆锥曲线上.结论144：圆锥曲线的焦点弦AM（不为通径，若双曲线则为单支弦），则在X轴上有且只有一点Q使aQF=乙MQF.结论145：过F任作圆锥曲线的一条弦AB（若是双曲线则为单支弦），分别过A、B作准线1的垂线（。是其相应准线与X轴的交点），垂足为4片，则直线与直线43都经过QF的中点K,即4工4及3、K、Al三点共线.结论146：若AM、BM是圆锥曲线过点F且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线），如图5,则四线4M1、BNtNBY乂4共点于K.三三三+结论147：AyB分别为椭圆。2b2（4>b>0）的右顶点和左顶点，尸为椭圆任一点*（非长轴顶点），若直线力尸，8P分别交直线用于材，Ni则以线段为直径的圆必过二个定点，且椭圆外定点为Q（w,0）及椭圆内定点为&（w,0）.22结论148,Ai8分别为双曲线L7（°>°力>°）的右顶点和左顶点，尸为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线力尸，的分别交直线W（W>）于"，N,则以线段卬为直径的圆必过二个定点，且双曲线内定点为Q（m,0）及双曲线外定a'-b巾'-a'点、为R（w,0）.二十Jl结论14%过直线X=加（冽。0）上但在椭圆。2b2（。>b>0）外一点M向椭圆引（,0）两条切线，切点分别为j,B,则直线兑3必过定点Nm,且有W£=结论150:过直线X=掰（w0）上但在双曲线/b2（>0<>0）外（即双曲线中心所在区域）一点M向双曲线引两条切线，切点分别为力，8,则直线达8必过定点N（K*决一从7且有Wn3乃.结论151：过直线N=附（冽WO）上但在抛物线>,=2p万（P>°）外（即抛物线准线所在区域）一点M向抛物线引两条切线，切点分别为工，B,则直线48必过定点N（一用，°）,且有kJ田=结论152,设点M是圆锥曲线的准线上一点(不在双曲线的渐近线上)，过点M向圆锥曲线引两条切线，切点分别为不，B,则直线力B必过准线对应的焦点尸，且WH=I结论153：过直线掰x+r=l上但在椭圆尸b(4>b>0)外点M向椭圆引两条切线，切点分别为力，B,则直线力8必过定点N(eJ力/).W-乙=1结论154：过直线掰x+r=l上但在双曲线Fi7(°>O”>O)外(即双曲线中心所在区域)一点M向双曲线引两条切线，切点分别为金，8,则直线ZB必过定点N(EqL"/).结论155：过直线冽x+r=l(冽Wo)上但在抛物线y'=2p彳(P>°)外(即抛物线准线所在区域)一点M向抛物线引两条切线，切点分别为力，B,则直线48必过定点及(,-丝)mm.结论156,AfB是椭圆了+庐一(>>0)的左右顶点，点P是直线N=E(W,£N0)上的一个动点(尸不在椭圆上)，直线EX及尸8分别与椭圆相交于M,N,则直线也“Q必与工轴相交于定点V1).22结论157,Af8是在双曲线/7(°>Q">°)的顶点，点尸是直线N=E(W*”,1.WO)上的一个动点(产不在双曲线上)，直线E/4及尸3分别与双曲线相交于M,N,则直树线也"必与X轴相交于定点U).结论158：A18是抛物线y'=2p(P>°)上异于顶点。的两个动点，若直线/8过定点N(2p,0),则。4,03,且8的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.结论159：Ay3是抛物线>'=2p(P>°)上异于顶点°的两个动点，若OA_l05,则直线力8必过定点及(2p,0),且，8的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.结论160：工，3是抛物线>'=2PK(P>°)上异于顶点O的两个动点，若过O作OMJ.48,则动点M的轨迹方程为r+V-2px=°(w).结论161：Ay8是抛物线=2PK(P>0)上异于顶点O的两个动点，若OA_la,则(SUa)na=4pL结论162：过抛物线>'=2Pr(P>°)上任一点M(,尢)作两条弦M4,MB,则M4_LMB的充要条件是直线49过定点N(X0÷,-7o).结论163：过抛物线/=2px(P>°)上任一点M(而，尢)作两条弦M4,MB,则上及内3女=(0)的充要条件是直线43过定点"1°4,-M>)./-1«SE结论164：过椭圆db2(>b>0)上任一点M(,为)作两条弦M4,MBf5/一"则的充要条件是直线43过定点N(不万"，Aa+2'v°).特别地，(1)当M为左、右顶点时，即/=±。，尢=O时，M_L段的充要条件是直线±a(a2-a).过定点"(a+ft2,O).(2)当M为上、下顶点时，即No=O,X)=±b时，M4j.MS的充要条件是直线过定±b0;.2)点N(o,2÷2).W-乙=1结论165：过双曲线"b2(。>0">0)上任点M(/，X)作两条弦M4,MBta2+2b2+a2则同j_AO的充要条件是直线48过定点W(a-aX°,a-a,x°).特别地，当M为左、右顶点时，即/=±。，尢二0时，M_L必的充要条件是直线43过±a(a2+2)定点N(a2-b3,0).结论166：过二次曲线：+夕+C+0=&(4BtC,D,E为常数,A+B0)上任一点M(xo,。)作两条弦M4,MB,若MAtMB,则直线43恒过定点(2A×q+C2o+。)"B"5)值得注意的是：在结论166中(I)令4=。=0,3=1,C=-Zp,X。=%=°就是结论159；(2)令/=D=O,8=1,0=一2就是结论162；(3)令4=)B=b2tC=Z)=O就得到结论164；(4)令幺=b',B=-a2tC=D=O就得到结论65./J-II*I结论167：A,8是椭圆/A3>b>0)上不同的两个动点，若。4_lOB,则X,./_1+三三三B=结论168:A,8是椭圆，b2(>b>0)上不同的两个动点，若。4_Lo5,则有J2( /) ab匕1结论16%Ay8是双