弹性力学.docx

习题解答第二章2. 1计算：(1)bpibiqbqjbjk,Cp(liijkAfkt6ijpUpBkiBlj°解：(1)piiqqijk=Bpjbjk=BPk；(2) CMeijkAjk=(bpj5qkpk5)Ajk=Apq-AIP；(3) jjpeupBkiBj=(btkbjLbiIbjk)BkiBq=BiiBo-BjiBij。1.2 证明：若/=Ciji,则eijkdjk=O0证：1ijkdjk=efkCi)k÷Cikjdkj=CijkCijk-CijkCikf=e泳由一e泳4吊二O。1.3 设。、b和C是三个矢量，试证明：aaabacbabbbe=a,b,cfcacbccaaabacIaMaib,aic,aia2eHal仇Cl证：babbZ>c=bl1hihihic,=Z?ih2b3a2h2c2=,¼cocacbC'Cciaicibicicicic2e363bye31.4 设。、b、C和d是四个矢量，证明：(b)(cd)=(c)(bd)-(d)Sc)证：(08)(cd)=%e*ejtcdnemne,l=aihjcldneijkenik=aibjctdm(ujm-imji)=(alc)(t>jdi)-(ald)(bici)=(c)Sd)(d)Sc)。77-1.5 设有矢量=%e,。原坐标系绕Z轴转动6角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量在新坐标系中的分量。解：=cos,Qrz=SinG,为3二0，=-sin,>2=COSe,侬=0,y=0，c=0，侬=1。图2.4U=iUi=uCoSe+“2sin。，u2,=2iUi=-«iSine+如CoSe,uy=iiUl=u31.6 设有二阶张量T=EeEe八当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T在新坐标系中的分量分r、Ti2、7和冕与。解：变换系数同上题。TN=GjK=ZL±+Zicos2÷Msin26>,2. .2.=Zkz+l2÷cos2+ZaiHsin2,2227=KacosO+Tsin6，看=。3. 7设有3"个数,对任意机阶张量用“逅源，定义Cli1-i.jlj2-jn=A让BhhTlU若C如MKjIa为+机阶张量，试证明Az是阶张量。证：为书写简单起见，取=2,m=2,则CijH=AijBki»(a)在新坐标系中，有CkT=AikT因为C和®/是张量，所以有Cfik=,ijjtkCum=i'ijAijkkrBk=ii,jBkr比较上式和式(a),得(AiL阳jj%)BkT=O由于5是任意张量，故上式成立的充要条件是AifiriAii即4是张量。2.8 设4为二阶张量，试证明:A=trA。证：.A=eie,：AAe；e=Ajk(e,e,)(e,ex.)=Ajkijik=Aii=trA。2.9 设。为矢量，A为二阶张量，试证明：(1) a×A=-(A×a),(2)A×a=-(a×A)证：-(Ar×a)r=-(Ajiei®e；×akek)r=-(Ajiel0aiejblen)r=-(Ajiakejh,eieJr=-Ajnakejkitie=a×Aj,ejert=a×Ao(2) -(a×Ay=-(alei×Ai-,ej0e)r=-(Aaielj,le,l0et)r=一(Ayae泳e“ex)=A,ye,aiejikek=Ai,ee7×aiei=A×a2.10 已知张量T具有矩阵123-T=456_789求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解：T的对称部分具有矩阵135-(÷Tr)=357,|_579_T的反对称部分具有矩阵-1-2-TF)=IO-Ic|_20_和反对称部分对应的轴向矢量为co=e-2e2+e302.11 已知二阶张量T的矩阵为-3-1O-T=-130001求丁的特征值和特征矢量。3-10解：-13-0=(l-)(3-)2-l=0001-由上式解得三个特征值为4=4,=2,=l.将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45),可以求出三个特征矢量为0=%(e-e2)，=-y=(e1+e2),ay=e302 .12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：A=al+fim®m,B=m0n+n0rn其中，。和夕是实数，血和是两个相互垂直的单位矢量。解：因为A-m=(al+mm)m=(a+)m,所以6是A的特征矢量，a+是和其对应的特征值。设。是和次垂直的任意单位矢量，则有Aa=(al+3m0m)a=aa所以和小垂直的任意单位矢量都是A的特征矢量，相应的特征值为,显然。是特征方程的重根。令e2=-j=(m-n),.=Q+)，e=e2×e322则有m=2y-(e2+e3)»=-(-e2+e3)上面定义的匕是相互垂直的单位矢量。张量“可以表示成3=0eej-e2e2+e3e3所以，三个特征值是1、0和-1,对应的特征矢量是e.、eie202.13设。和。是矢量，证明：(1) V×(V×)=V(Va)-V2(2) V×(×)=(V)-(VZ>)+(V7>)-Z>(Va)证：(1)这一等式的证明过程和书中证明式(2.M)的过程相同，在此略。3 a(2) Vx(axZ>)=e,-x(fl/e；xbAeA)=e,-x(6fAAweOT)xiOXi=Sjjbk+ajbj)ejbneimM=(ajjbii+ajbk,t)3jnbki-心aJe”=a)ibej+ajbi,ij。川灰心一也.心=bVa)-a(yb)+a(y'b)-b(7a)2.14 设=2yze-2xz3e2+xz2e3,求W=Sa及其轴向矢量。解：w=(V-Va)=(x2z+2z3)e0e2+(x2y-z2)ee3-(2z3+x2z)e2e-6x2e2®e3+(z2-x2y)e3e+6xz2e30e2由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量=yV×a=-6xz2e1+(x2y-z2)e2-(2z3+x2z)e302.15 设S是一闭曲面，r是从原点O到任意一点的矢径，试证明：(D若原点。在S的外面，积分HmS=。；S(2)若原点。在S的内部，积分J乎5=4%。S'证：(1)当厂WO时，有因为原点在S的外面，上式在S所围的区域V中处处成立，所以由高斯公式得S=J(£)小=0。SV(2)因为原点在S的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为的球面S'完全在S的内部。用V表示由S和S'所围的区域，在V中式(b)成立，所以詈S=詈dS+管dS=JV(f)dV=0S+S'S's,V即-dS-dSJ尸J尸SS'在5'上，r=a,n=ia,于是dS=-!LLdS=dS=dS=0Jr3I尸Jrt2aJSS'Ss,2.16 设f=>«i+(x-2xz)e2,试计算积分(V×fy)ndS式中S是球面2+y2+z2=q2在冲平面的上面部分解：用C表示圆2+y2=°2,即球面X2+y2+z2=a2和冲平面的交线。由StokeS公式得(V×)W6Z5=fr=ydx+xdy=O。第三章3.1设/是矢径、是位移，r=r+u0求，,并证明：当M<<l时，是一个可逆的二阶张量。*=f=三÷t=-，=1+的行列式就是书中的式(3.2),当WJ<<1时，这一行列式大于零，所以当可逆。ar3.2设位移场为=4，这里的A是二阶常张量，即A和r无关。求应变张量£、反对称张量q=(一V")2及其轴向矢量”o解：W=A,=A+Ar),=(A-A9,1 r71.Q=-V×w=-ej-×Ajkejeixlel2 2xi=Ajkeijmemeiile=-Ajkeijnemd=-Ay7e,7wew3 .3设位移场为=41，这里的A是二阶常张量，且Mjl请证明：(1)变形前的直线在变形后仍为直线；(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。证：(1)方向和矢量Q相同且过矢径为用的点的直线方程可以写成r=ta+ru(1)其中7是可变的参数。变形后的矢径为r=r+w=r+Ar=(Z÷A)r(2)用/+A点积式(1)的两边，并利用式(2),得r=t(I+A)a+(I+A)rij上式也是直线方程，所表示的直线和矢量(/+A)平行，过矢径为(1+4>用的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。(2)因为1,所以1+A可逆。记5=(+A),则r=(I+A)ir=Br(3)变形前任意一个平面的方程可以表示成ar=c(4)其中公是和平面垂直的一个常矢量，C是常数。将式(3)代入式(4),得(aBr=c(5)上式表示的是和矢量b垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。(3)变形前两个平行的平面可以表示成r=c.Qr=C2变形后变成(B)r=C,(a-B)-r=c2仍是两个平行的平面。1.1 4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化：反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。答案：能；能。3.5 设位移场为U=Ar,其中A是二阶常张量，和加是两个单位矢量，它们之间的夹角为9。求变形后。的减小量。解：和加方向的正应变分别为£“二£，m=m-m用£”和&H代替式(3.11)中的&和£2,经整理，得。的减小量。为2=-nm-ctQ,0(nn+mn)sn又£=(4+AT)/2,所以=-n(A+A)m-ctg(nA-n+mAm)03.6 设和m是两个单位矢量，dr=ndr和r=mr是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为A=dr×r,试用应变张量把变形时它的面积变化率AA表示出来，其中AA是面积变形前后的改变量。解：变形后，力和力变成df=dr+dr+×dr，f=r+r-×r对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得dr×r=dr×r+dr×r-dr×r对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得dr×r)dr×r)=dr×r)dr×r)2dr-×ry(clr×r)+2(dr×-ryclr×r)(a)注意到(Jr×r)(ir×r)=(A+)2A2+2(A)A(dr×r)(dr×r)=A2所以，从式(a)可得A_(dr2br)(d"br)+(dr2Br)(drbr)T=dr×r)dr×r)(n×n)n×m)+(n×m)(n×m)(w×w)(n×m)利用习题2.4中的等式，上式也可写成A_nn-2(nn)(nm)+mmA1-(m)23. 7设在个确定的坐标系中的应变分量为87,让坐标系绕Z轴转动。角，得个新的坐标系，求在新坐标系中的应变分量。解：=cos,2=sin,夕门=0,r=-sin,2,2=COSe,2y=0,x=0，x=0，侬=Io£1=8羡,-+&jCoS2，+%sin26,H,一£os28fsin2e,xy=一£'2,'sin28+%cos26,=xzcos，+£y：Sine,yy=-xzSine+&COSe,.=z3.8 在Oxy平面上，Oa、Ob、OC和X轴正方向之间的夹角分别为O、60、120,如图3.9所示，这三个方向的正应变分别为o、h和£一求平面上任意方向的相对伸长度£“0解：在。町平面中，和4方向成。角的方向，其方向余弦为ni=COSe，n2=Sine,ni=0这一方向的相劝伸长度为n=iininj=xCQS2e+2%,sin6cos0+CrSin2。=J+2*cos2g+oSin2。=A+Bcos26>+Csin26>(a)利用上式，可得su=A+B,£(,AB+-(JAB-C解之，得将求出的A、3和C代回式(a),得£=&+,+仇+2为：Fcos20+&彳FSin203.9 试说明卜.列应变分量是否可能发生：x=axy2,y=ax2y，z=axy，/«=ay2+hz2,x2=ax2+by2,xy=0其中和人为常数。解：如果列出的应变分量是可能的，则必须满足协调方程。将题中的应变分量代入协调方程(3.34c),可以发现，必须有=b=0"所以当和b不为零时，上述应变分量是不可能发生的。3.10 确定常数4，A，Bo,8，Co,C,C?之间的关系，使下列应变分量满足协调方程fx=Al+A(2+y2)+vi+y4，y=+Bl(x2+y2)+x4-by4,xy=C0+Clxy(x2+y2+C2),M=%J=O»解：将所给应变分量代入协调方程，可以得到常数之间的关系如下：C=4,A+5=202。其它三个常数4)、Bq、CO可以是任意的。3.11 若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的般表达式。=M0+,×(r-)+解：由于应变张量£和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成r=i0÷b×(r-)+£(r-r1)其中W是任意的刚体平移，。是任意的角位移矢量。3.12 设x-Cix,£、,=byt.cz,£XT=£丫：=£=丫=0>其中ci>b»c是常量，求位移的一般表达式。解：所给的应变张量是，f=are10e,+hye20e2+cze®e3很容易验证£XV=O,且有dr=axedx+bye2dy+czeidz=d(ax2e+by2e2+cz2e3)所以从式(3.36a),得z=+o×(r-o)÷Jdr=u+u×(r-)+Jd(ax2ei+by2e2+cz2e3)=uv+u×(r-n)+a(x2-xi)ei+h(y2-yS)e2+c(z2-zs)e3第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为：x=50。,y=0，z=-30。,yz=-75a,2x=80。,TIy=50。试求法线方向余弦为两弓，n1=,为=子的微分面上的总应力T、正应力6和剪应力n.解：应力矢量丁的三个分量为Tj=b=106.57,T2=-28.033a,7J=T8.71总应力T=yj2+T2+T=111.840正应力n=Tini=26.04«。剪应力n=T2-i=108.7。04. 2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为/1和m,在这两个面上的应力矢量分别为7；和2,试证重利二4"。证：利用应力张量的对称性，可得Tn=(n)m=ijnimj=jinimj=(m)n=T2n证毕。4. 3某点的应力张量为下部受均匀压力作用，斜面自由,且已知经过该点的某平面上的应力矢量为零，求。,及该平面的单位法向矢量。解：设要求的单位法向矢量为小,则按题意有,jnj=O即n2+2m=0，w1+yn2+小=0,2+n2=0(a)上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得(2y-2)n2=0上式有两个解：2=0或6=1。若2=0,则代入式(a)中的三个式子，可得W=773=0»这是不可能的。所以必有by=1。将by=1代入式(a),利用典=1,可求得ez22+ei一HL。4. 4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8,试验证应力分量-r=A(-arctg-+C)Xx2+y26=AJarctg上+丹，+8)Xx2+y2V2dyzxz=。»TXy二一八.,十俨满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A、B和C。解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。在y=0的边界上，有边界条件(by)=0=q'(Qv)y=0=所给的应力分量心丁自动满足上面的第二个条件。将的表达式代入上面的第一个条件，得AB=-q(1)在上斜面上，有)，=-tg,所以斜面上的应力分量可以简化成x=A(+sincos+C),v=(-sin/?cos/3+B),TXy=-Asin2,z=yz=x2=0斜面上的外法向方向余弦为wl=-sin7,小=-cos夕，3=0将式和代入边界条件”丐=0,得6+C=OA(sn-cos)-ABcos=金联立求解和(4),得B=tg-,C=-4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为x=axjr-by,y=cx+dy,z=0,yz=x2=0,xy=-dx-ay-x/和分别是坝身和水的比重。求常数。、b、c使上述应力分量满足边界条件。解：在X=O的边界上，有边界条件(4L=-%),，()x=O=O将题中的应力分量代入上面两式，可解得：a=0,匕=一人。在左侧的斜面上，X=Kg6，外法向方向余弦为4=cosp,%=in?,n3=0把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件b/=。，可解得:d=xc2-，C=Ctg"/一2%Ctg26)。1.6 物体的表面由/(x,y,z)=0确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷P(,y,z),试写出其边界条件。解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为n=或ni=Vv按题意，边界条件为n=pn因此JVJ=产即ONf=Nfvvvv上式的指标形式为ijfj-Pfj°1.7 如图4.10所示，半径为。的球体，一半沉浸在密度为夕的液体内，试写出该球的全部边界条件。图4.10解：球面的外法向单位矢量为rXeixi=-L或ni=-aaa当z0时，有边界条件=0即r=0或ijxj=00当z0时，球面上的压力为夕gz,其中g为重力加速度，边界条件为n=-pgzn即r=-pgzr或ijxj=-pgzxja1.8 物体的应力状态为巧7=。为，其中b为矢径/*的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数-，使(2)写出物体表面上的面力表达式。解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以f=V=Vl=-jeiI=-iei=Vcr所以，只要令=b,就有/=一”。(2)表面上的面力为T=n=nl=或Ti=nj01.9 已知六个应力分量5j中的Qw=O，求应力张量的不变量并导出主应力公式。解：应力张量的三个不变量为：/,=j+v,2=vv-,I3=O.特征方程是3-12+/,=(21+2)=0上式的三个根即三个主应力为=0和1.10 已知三个主应力为6、4和。3,在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为求八面体各个面上的正应力0和剪应力00解：0=,y=(1+2+3),T=ijnjei,T2=TT=;悟=,r0=JT2_代=(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2。4. 11某点的应力分量为b=。22=5=O，2=23=3)'求：(1)过此点法向为=木(齿÷e2+e3)的面上的正应力和剪应力：(2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。解：T=产产产关(e+G+e3),r=T=42o正应力为。“二T=2<。剪应力为n=JT2一寸=Oo由此可知，2cr是主应力，=义(0+©2+©3)是和其对应的主方向。(2)用4衣示主应力，则- C -=-(+)2(-2)=0所以，三个主应力是Crl=2。，2=3=-.由上面的结论可知，和(对应的主方向是，又因为b2=%=-b是重根，所以和垂直的任何方向都是主方向。第五章4.1 把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为q=C冏i7,试写出柔度系数张量CW的具体表达式。解：ij=卑4为4ij=-(¾¾÷¾)¾lcr匕匕ZjDJD所以=(¾¾÷¾)-¾¾。5. 2橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力q作用，如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。铁盖铁盒图5.2解：取压力4的方向为Z的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为K、y的方向。按题意有J=_q，W°，%=%=一由胡克定律得J=亳5-v(y+j)=-(v-l)p+v=O所以盒内侧面的压力为体积应变为+ 1 (2v-l)(v÷l) E(-v) q £(l-v)最大剪应力为l-2v=许"5. 3证明：时线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是致的。非各向同性体是否具有这样的性质？试举例说明。解：对各向同性材料，设E是应力的主方向，。是相应的主应力，则ijnj=ni(1)各向同性的胡克定律是ij=ij+2ij将上式代入式(1),得46",+24%=E71,即ijnj=-(-)ni2由此可知，力也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此，应力主方向和应变主方向i致。下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性质关于OAy平面对称。因为/刈=。，所以从式(5.14)得TXy=C41£x+C42Cv+C43J若应变主坐标系也是应力主坐标系，则5y=0,即Ciix÷C42y÷。43也=。上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变主方向不一定相同。5.4对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。解：由式(5.17)可得主应力和主应变之间的关系i=+2i(1)从上式得Ii=<y,=(3+2)=(3+2)J(2)I2=O"O"2+O'Cj+"3"1=Q"6+6)Qs+)+(21v)(2y-)-(2y)(2x+46)=(3÷4)712+42J2(3)Iy=23=+2)(+22)(+23)=2(+2)13÷422+8V3(4)式(2)、(3)、(4)就是用应变不变量表示应力不变量的关系。也容易得到用应力不变量表示应变不变量的关系。第六章6.1为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的？解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。6.2设u=Nf-age?÷yV+2V×(Ae1+Be2)其中/、g、A、8为调和函数，问常数。为何值时，上述的为无体力弹性力学的位移场。解：VV×Ae1)=ee/eJ=exAnye,=A71=OxkxiOXk同理V(Vx8e2)=00由上面两式及/和g是调和函数可得=Vu=(-a)g2V，=(l-a)Vg,2(1)因/、g、A、8为调和函数，所以V2m=2V2(2)将式(1)、(2)代入无体力的Lam6-Navier方程，得(，+M(I-a)+2Vgt2=O上式成立的条件是(+)(1-6Z)+2=O即+3za=o6.3已知弹性体的应力场为x=2x,y=2y+x,xy,=-2x-2y,2x=zy=O,z=-2z(1)求此弹性力学问题的体力场：(2)本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。解：将所给的应力分量代入平衡方程，就可以得到体力场为=2e3.(2)所给的应力分量和已求出的体积力满足BeItrami-MiCheIl应力协调方程，所以给出的应力分量是弹性力学问题的应力场。6. 4证明下述Betti互易公式7dS+J加W=JS+J笳V,SVSV其中工、工、和、£、也分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。证：利用平衡方程、几何方程和弹性模量张量的对称性，可得Tiu,dS+wV=j%dS+JfiuidVSVSV=j(ijjui+ijuij)+fiuidV=(ijj+fi)uidVijijdVV VVV=Jbg&jdV=EijukiiidV=JEHij&声IJdV=Ibki£»JdVVVVV=,yw,.7V=(,).;-ijjuidV=liiniuidS+fiuidVV VSV=TiuidSfiuidV.证毕。SV6. 5如果体积力为零，试验证下述(PaPkOVich-Neuber)位移满足平衡方程=PV(<+pr)4(If)其中P=0,V2=0o证：无体力的LamC-NaVier方程为(+)V(Vm)+V2z=0又人士幺=二二，所以Lam-Navier方程可以写成l-2vV2w+V(Vw)=0l-2v将所给的位移代入上式的左边，并利用V2(r")=2V"+r72p,可得V%+lWVM=V2p-f9+r/P)因为和PI)是调和的，所以上式为零，即所给位移满足平衡方程。6. 6设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为X轴，弯矩所在的主平面为。孙平面。试证下述位移分量是该问题的解M-，u=-xy+yz-zy+uiiv=-(x2+vy2-vz2)+zx-xz+v02E1,w=-yz+xy-vx+wfi1.l提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为xdA=0.Jxz<A=O,AA其中A是杆的横截面。证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的LamdNavier方程。用所给的位移可以求出应变，然后用胡克定律可以求出应力：(a)出二华，其它应力分量为零。1上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为Q=Ty三=0,tc¼=0»JvztA=O.式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。6.7图6.6表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。三y三彷三OX三彳图6.6解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量b=%,y=-q2t2=xy=zx=0满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为£=(4+"鸠瓯-!(+陷把2一卷-%)q软3利用题3.11的结果，可求得位移为w=w0+0×(r-)+-+v2)(x-0)el一(%+)(>-%)0一(®-%)(Z-Zo)©36.8弹性半空间z0,比重为7,边界Z=O上作用有均布压力g,设在Z="处卬=0,求位移和应力。解：由问题的对称性，可以假设M=V=O,w=vz)把上述位移分量代入Lanl-NaVier方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成小卬二ydz2+2解之得W=z2+Az+B2(+2)其中的A、8是待定常数。由已知条件得必)=Jh2+Ah+B=02(4+2)所以B=y2(+2)h2-AhW=-Z(z2-h)2+A(z-h)2(4+2)应力分量为。=b、=-=-z+A,dz+2。二=(1+2)警=(九+2)n£z+A，xy=rzv=0在Z=O边界上的边界条件为：7；=0,4=0,T=q,前两个条件自动满足，最后一个成为-(+2)A=即A=_=U+2/2G(1-v)所以最后得W=,v(z-h)(z+h)+2q,w=v=O;4G(l-v)i=-(z+q),x=y=-(z+q),J=%=%=°。1.vz6.9设等截面杆受轴向拉力P作用，杆的横截面积为A，求应力分量和位移分量。设Z轴和杆的轴线重合，原点取在杆长的半处：并设在原点处，u=v=w=O,且5w_5v_5v_qzzx°答案：j=,-%=°；EAVDVD-TTX»V=-v,EAEA6.10当体力为零时，应力分量为=y2+v(x2-y2),TA=0.y=Ax2+v(y2-x2),rir=0,.=Av(x1+y2),xy=-2Avxy式中，AW0。试检查它们是否可能发生。解：所给应力分量满足平衡方程，但不满足协调方程，故不可能发生。6.11图6.7所示的矩形截面长杆偏心受压,压力为P,偏心距为e,杆的横截面积为A，求应力分量。解：根据杆的受力特点，假设z=a+x,/=%=%=%=Q=O其中。、仅是待定的常数。上述应力分量满足无体力时的平衡方程和协调方程，也满足杆侧面的边界条件。按圣维南原理,杆端的边界条件可以放松为Tit=0,%=。，JqdA=O,zxdA=-PeAA前面两个条件自动满足，将应力分量代入后两个条件，可求得。=一(，6=-华，MZ=x2tMo所以，得最后的应力分量为4=一（+华X），6-工f=O。6. 12长方形板ABa>,厚度为力，两对边分别受均布的弯矩Ml和M.作用，如图6.8所示。验证应力分量12MlZ12M,z'=p, 产k3 = xy = Tyz =Tlv =0是否是该问题的弹性力学空间问题的解答。图6.8解：所给应力分量满足无体力的平衡方程和协调（BeItrami-MiChelD方程，也满足板面上无面力的边界条件。板边CD上的边界条件可以放松为%=°，Q=0，1bz=0'CrXZdZ=M容易验证应力分量满足上述条件。同样可以说明应力分量满足板边AB、BC、AD上的边界条件。所以，所给的应力分量是所提空间问题的解答。第七章7.1在常体力的情况下，为什么说平面问题中应力函数9应满足的方程V2y2e=o表示协调条件？解：在无体力的情况，不管是平面应力问题还是平面应变问题，用应力表示的协调方程都是V2（r+v）=0若把用应力函数表示的应力，即=彗、%,=契代入上式，就可以得到y2x2v2vv=o所以，上式就是用应力函数表示的协调条件。7. 3设有任意形状的等厚度博板，不计体力，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力4,求板中的应力分量。答案：巴=%=-q»c.=Txy=zx=Oo7.4图7.5所示悬壁梁受均布载荷q作用，求应力分量。提示：假定b,.和X无关。解：假定%和X无关，即%=/(>)，于是有区=誓=/()')积分两次，得=2(y)÷-i(y)+(y)其中工()')和力(),)是y的待定函数。将应力函数°代入双调和方程，得+2 乎=0dy1f(y)d"(y)d"(y)2dy4'dyidy4上式对任意x0,7成立的充要条件是dy4dy4dy4dy2解上面的前两式，得f(y)=y3+By2+Cy+D,fi(y)=fy3+Gy2+Hy£()，)中略去了不影响应力的常数项。由式(2)中的第三个方程，得于；)=-2，!一)=-12Ay-4BdyAdy-所以，有(y)=-4-fy4+3+Ky?10O在上式中略去了不影响应力的常数项和线性项。将求出的函数/、，和力代入式，得=(Ay3+By2+Cy+D)+x(Fy3+Gy2+Hy)y5-y4+Ly3+Ky22106应力分量为r=-=-(6Ay+2B)+x(6Fy+2G)-2Ayi-2By2+6Ly+2Ky-2'-v=-=Ay3+By+Cy+Dyx-xy=-*=T(3A)A+25y+C)-(3y+2Gy+H)(4)(6)本问题的边界条件是：9、)I=_q，(%),=。(bv)yM=O,(%)>JJ=O(%)l=OJ”(bA.)id)，=ojy()xdy=O由条件(5)可求得F=-Al，G=-Bl，H=-Cl由条件(3)和(4)可以求得A=-汽，5=0,C=学，D=-4标4a2将求得的常数代入应力分量表达式，得4=-碧告-如+3俨+6。+2长2a2Za''=40-+%=券J)。于)由条件(6)中的第一个条件可以求得K=O,由(6)中的第二个条件可以求得jqqL=820a最后的应力分量为>=-f0r,=(-x)(l-)其中，/=等是截面的惯性矩。7.5图7.6所示的简支梁只受重力作用，梁的密度为p,重力加速度为g,y=pg,求应力分量。提示：假定,.和X无关。1/。X一1一一