第三章多维随机变量及其概率分布.docx

第三章多维随机变量及其概率分布第01讲多维随机变量的概念(一)第一节多维随机变量的概念1.1二维随机变量及其分布函数n维随机变量定义(定义1)：由n个随机变量X,X2,.,X“构成的整体X;(X1,X2,.,Xn),称为一个n维随机变量或n维随机向量；Xk称为X的第k个分量，k=l,2,.n.n=l时，X称为一维随机变量；n=2时，X称为二维随机变量.二维随机变量(X,Y)的分布函数、边缘分布函数(定义2):二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=PXx,Yy,-oo<x,y<+o二维随机变量关于X和Y的边缘分布函数，记作FX(X)和Fv(y)Ec(x)=P(Xx=PXx,Y<-h>o=F(x,÷三o)=IimF(x,y)yF(y)=PYy=PX<gYWy=F(gy)=IimF(x,y).二维随机变量的分布函数的性质：性质1(单调性)分布函数分别对X和y单调不减当、时,有F(xpy)<F(x2,y)当力<力时,有F(X,ylSF(x,y2)性质2(有界性)对任意的X和y,有0F(x,y)UFSy)=IilnF(Sy)=F(X8)=Hlrf(Xy)=*-rrf(-®,-®)=1111F(,y)=q,f(-hx>,÷)=IimF(Sy)=1性质3(右连续性)即F(x÷O,y)=F(x,vF(y÷O)=F(x,y)性质4(非负性)对任意的x<X2,yl<y2,有P<X<x2,yt<Y<ya=F(x3,y2)-F(x3,y1)-F(x1,y2)÷F(xt,yl)>O性质4为二维随机变量特有的性质.1.2二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律二维离散型随机变量（定义3）：如果二维随机变量（X,Y）的取值只是有限对或可列无限多对,则称（X,Y）为二维离散型随机变量,其概率或分布律（联合分布律）P(X=xpY=yj=,iJ=U(I)非负性，Py>0,Lj=LZ;OB（2）规范性，EZp,=La户则a+b=正确答案0.5答案解析根据二维离散型随机变量的性质（2）-规范性，知：a+b=l-0.1-0.4=0.5.参见教材P91o【例题计算题】设二维随机变量（X,Y）的分布律为XY123113a6工4224a30求a的值.正确答案J由分布律的性质(规范性)可知与+/+/+彳+/+。=1可得a-1=(2o÷l3-1)=O33644解得a=-l2,a=l3.根据分布律的非负性，舍去负值，所以a=l3.答案解析参见教材P91。*例题计算题】现有3个整数1,2,3,X表示从这3个数字中随机抽取的1个整数，Y表示从1至X中随机抽取一个整数，试求(X,Y)的分布律.正确答案X与Y的取值均为1,2,3,利用概率乘法公式，可得(X,Y)取各对数值的概率分别是pjr=tr=i=px=ipr=ix=>=ji=.PX=2.r=2)=PAT=2PF=2X=2)=5×=.326P(X=3Y=1=PX=3FT=1*=3=；x；=g.WX=3*=2)=尸X=3尸y=ax=3=gx；=g.PX=3P=3=PX=3尸y=5X=3=：x：=JJQ由于x=lr=2,x=v=3,x=Zr=3XY123113002161603191919答案解析参见教材P92。边缘分布律定义(定义4)：对于二维离散型随机变量(X,Y),其分量X与Y各自的分布律分别称为(X,Y)关于X与关于Y的边缘分布律，记为Pi,i=l,2,.与p.j,j=l,2.己知二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为Pij=PX=xi,Y=yj,i,j=L2,则(X,Y)关于X的边缘分布律为Pi-=尸*=玉=£尸*=工广=%=12JT户(X,Y)关于Y的边缘分布律为p7=Pr=yf=P(-V=xf,F=tyJ=p,J=1,2,-.11f-1(X,Y)的边缘分布律的性质：.MP0,=12,A=tPj=1Eg=1【例题计算题】求前述带有星号的例题中，(X,)的边缘分布律.正确答案J(X,Y)关于X的边缘分布律为pjr=p=,r=÷p=,r三2÷p=,r=3三o÷o=-tpx=p=2>r=i÷px=¾r=g+Pjr=2,r=3=i÷i+o=-,663尸X=3=PX=3Jr=l+FX=3Jr=2+>X=3Jr=3=1+J+1=L9993pr=px=tr=)÷p(x=2,r=i+p(x=3,=i)=A三Hpr=2=p<=rr=2+Px=r=2+P(x=3,r=2=o+1=APY=3=FX=LF=3+尸X=2Jr=3+尸X=3J=3=O+O+L=199(X,Y)的边缘分布律可以通过表格形式表示为XYJ123113001321616013319191913P”1118518191答案解析J参见教材P93。对于二维离散型随机变机(X,Y),分布律与边缘分布律的关系：通过分布律可以确定其边其分布律，但一般不能通过边缘分布律确定分布律.第02讲多维随机变量的概念(二)1.3二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度二维连续型随机变量及其概率密度(定义5)：设二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在非负可积的二元函数f(x,y),使得对任意的X,y,有产(x,y)=W则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称f(x,y)为(X,Y)的概率密度或X与Y的联合密度函数.二维连续型随机变量的概率密度的四个性质：(I)非负性：JaJ)N)(2)规初:匚匚/(a>kdj=(3)若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有江(Xj)xy=/(Xj)(4)设D是XOy平面上的一个区域，则二维随机变量(X,Y)落在D内的概率为P(x,y)D=/(x,j)drdyD【例题计算题】设二维随机变量(X,Y)的概率密度为/(XJ) =112e .由x>0,y >0求(X,Y)的分布函数F(x,y).正确答案当XWO或F0时，有F(x,y)=O当x0,y>0时，有F(x9y)=12xr«"<SrMr)dM(h-=(1-c)(l-eMz)所以，(X,Y)的分布函数F(x,y)为"3)八 70,x>O,4y >0 其他答案解析参见教材P95。根据二维随机变量(X,Y)的分布函数，可计算其概率密度.两个重要的二维连续型随机变量的分布均匀分布(定义6)：设D是平面上的有界区域，其面积S0,如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为/(,y)=s'°，(x,y)D, 其他，则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布，记作(X,Y)U(D).如果(X,Y)U(D),D1D,其面积为Si,则有p(x,ne¾两个特殊情形：d)D是矩形区域，<x,c<yrf，(x,y)u(d),则(x,y)的概率密度为(&L<x¼c<yd,(b-×d-c)0,其他.(2)D是圆形区域，24r*，(X,Y)U(D),则(X,Y)的概率密度为-U'x2+y'2,1.1 其他【例题计算题】设二维连续型随机变量(X,Y)服从区域D=(,j'Xy,4Ly")上的均匀分布，求p*+y正确答案如图所示，D的面积为1/2,(X,Y)的概率密度为Z(叩)皿八3)一(0,其他，÷rl=/(x,>)dx=2dx蒜1O其中P=(a)O0x,x+内,由于Dl的面积为1/4,所以，PX+F1=(x,j)dxdF=2i=,JMJKl'/答案解析参见教材P96。二维正态分布(定义7)：若二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为一2qQF*一对.55其中U,2,OI2,O2%P都是常数，且。>0,O2>0IP<b-<X,yV+8,则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(Kr)n<a",兄汨M即(X,Y)N(O,O, 1,1, p),则称(X,Y)为服从参数为P的标准二维正特例：标准二维正态分布如果UI=U2=0，。1=。2=1,态分布，概率密度为/(y)=/2e20">>-oo<X,y<+o.2笈apI二维连续型随机变量的边缘概率密度(定义8)：对于二维连续型随机变量(X,Y),其分量X与Y各自的概率密度分别称为(X,Y)关于X与关于Y的边缘概率密度,记为f()与f(y).已知二维连续型随机受医(X,Y)的概率密度为f(x,y),则()=/二7(工)砂,-QO<X<+<30,力S)=J二/(XJ)A,2<y<+<J.推导过程参见教材P97。【例题计算题】设二维正态随机变量(X,Y)N(d,2,12,22,P),求(X,Y)关于X与关于Y的边缘概率密度.正确答案Jx-n(H)Y-N5,W)答案解析J本题的具体推导过程参见教材P98。注意在推导中使用到了J二意CY也=1与匚e÷d=石.特例：如果(X,Y)N(O,O,1,1,P),则XN(O,1),Y-N(0,1).启示：若(X,Y)服从二维正态分布，则X和Y服从不含参数P的一维正态分布，说明二维正态分布的边缘分布是相同的，但具有相同边缘分布的二维正态分布可以是不同的.【例题计算题】设二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D为X轴、y轴与y=L2x围成的三角形区域，求(X,Y)的边缘概率密度fx的)、fr(y).正确答案根据题意，画出区域D的图像，如图所示可知区域D的面积为1/4,所以(X,Y)的概率密度为/(y)=4, (Ry)W D, 0,其他.(X,Y)关于X的边缘概率密度为Zr(K)=厂My=L,0x,Io,其他4(l-2x0xiH20»其他.(X,Y)关于丫的边缘概率密度为0JL=J2(17 0)其他第03讲随机变量的独立性、两个随机变量的函数的分布第二节随机变量的独立性1.2 两个随机变量的独立性两个随机变量的相互独立(定义9)：设二维随机变机(X,Y)的分布函数为F(x,y),边缘分布函数分别为F(x)、F(y),若对任意x,y,有P=PXrPy即F(x,y)=FX(X)F(y),则称随机变量X与Y相互独立.证明题中注意：与r(x)=F(x,-h三o),4(y)=F(+o,y)可参考教材P102中的例14.1.3 二维离散型随机变量的独立性对于二维离散型随机变量(X,Y),如果其(联合)分布律Plj与边缘分布律Pi.,P-满足Pij=Pi-pj则称随机变量(X,Y)相互独立.【例题计算题】设二维随机变量(X,Y)的分布律如下，且X与Y相互独立，求常数a与b的值.XY12119a21633118b正确答案由独立性，知PX=1,Y=1)=PX=1PY=1由PX=l=,P=1=1+1+1=1l,9lj96183可得由于Py=2=+=l-Pr=l=l-=综合以上信息，解得a=29,b=l9(X,Y)的分布律与边缘分布律为XYPi-1O12119a=9321132311.3b=g16P,i1313显然，满足独立性条件.答案解析J参见教材PlO3。1.4 二维连续型随机变量的独立性概念：二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(,y),关于X与关于Y的边缘概率密度分别为f()与f(y).若对于(X,Y)的所有取值(x,y),有f(x,y)=f()f(y)成立，则称随机变量X与Y是相互独立的.【例题计算题】设二维随机变量(X,Y)的分布函数为FSy)=°b+arctanx)(c+arctany),-<x9y<2证明：随机变量X与Y相互独立.正确答案由二维随机变量(X,Y)的分布函数与密度函数的关系，可知二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为Zr(X)=匚r2(l+x2)(l+),=7ardanyfc1=L,-<X<+o.(l÷x2)关于Y的边缘概率密度为/=匕叫J)O"产谷-P3因而，对任意的X与y,有f(x,y)=fx(x)f(y)说明随机变量X与Y相互独立.答案解析J参见教材PIO4。重要结论：设二维机变量服从二维正态分布，即(x,Y)n5,%WM,p)则，X与Y相互独立的充分必要条件为Q=O.证明过程参见教材PIO5。联合分布与边缘分布的关系：1.联合分布可以确定边缘分布；2 .一般情况下，边缘分布不能确定联合分布；3 .当X与Y相互独立的情况下，边缘分布可以完全确定联合分布.【例题计算题】设二维随机变量(X,Y)的概率密度为/(") =8盯,0,Oxl,Oyx其他.求关于X与Y的边缘概率密度，判断X与Y是否相互独立?正确答案二维随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度为二W；寸靠0,其他I0，其他当0xL0<yl时f(x,y)fx(x)f(y)此结果说明，X与Y是不相互独立的随机变量.答案解析参见教材PIO6。注意：在实际问题中，研究两个随机变量是否相互独立的时候，往往从实际意义出发去考虑，而不是通过数学定义验证.2.4n个随机变量的相互独立n维连续型随机变量的边缘分布函数和边缘概率密度(定义10)：设n维连续型随机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数为F(xpx2,xJ=PX1xpX2x2,Xwx1i概率密度函数为f(x,X2.xJ,则(X1,X2,Xn)关于Xk,k=l,2,.,n的边缘分布函数和边缘概率密度分别为%(m)=PM<",X<+oo,Xtx4,Arl<+oo,G(X*)=Jy:Q>/(/，4)t而卜由*”而01)n个随机变量相互独立(定义11)：若对一切XbX2,.,Xn有PX1%X2x2,.,ZxJ=11PXixi,即F(,xj=FSi0)&&,&(X)则称n个随机变量xl,X2,Xn是相互独立的.重要结论：如果随机变量XhX2Xn相互独立，则(I)其中任意k个随机变量也相互独立，2WkWm(2)它们各自的函数g(X),g2(X2),.,g(Xn)也相互独立.【例题计算题】设随机变量X与Y相互独立，都服从区间1,3上的均匀分布，设1<水3,若事件jr4.->a)vBP(J)-求常数a的值.rz、-a3,zz、-ay3A()=p0r)三2Q其他；o,其他.在ka<3的条件下，有P(Z)=,R切=T由X与Y相互独立,知P(AB)=P（八）P(B)=(a-D(3-a)47而尸(NUB)=P(4)+尸(5)-尸(NB)=-l3-0(-l)(3-)7所以+-八=-,也就是(3a-5)(3a-7):02249所以a=53或a=73.答案解析参见教材P108。第三节两个随机变量的函数的分布本部分以具体例题的形式展开分析3.1两个离散型随机变量的函数的分布以教材PlIl例26为例，介绍两个离散型随机变量的函数的分布分析方法.教材P109-Pl11的例24、例25较为简单，请自行阅读.【例题计算题】设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为人”入2的泊松分布.证明：Z=X+Y服从参数为=1+2的泊松分布.正确答案因为X与Y都服从泊松分布，所以p=k=L,尸y=±=l,±=0,LZ.kk事件z=jt=*=y=ku=Ly=biuu=2F=%且互不相容，所以Pz=上=px=o,y=jt+px=Ly=Jt-+p(x=2y=o,=E尸X=LY=I由于X与Y相互独立，所以PX=i,Y=k-i=PX=iPY=k-i,i=l,2,.,k,从而有P(Z=PXiPrk-iA.0不小一若TeTkl=4刊(kT)!M<tSrl(<-)!UO=-<=U.L4.J说明Z=x+服从参数为入=1+2的泊松分布，证毕.答案解析参见教材PllL3.2两个独立连续型随机变量之和的概率分布本部分首先通过例题介绍卷积公式其次给出一个重要结论，即：如果两个随机变量相互独立且均服从正态分布，则这两个随机变量的和依然服从正态分布；同时，也将给出该结论的推广.【例题计算题】设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),关于X,Y的边缘概率密度分别为fx(x)和f(y),X与Y相互独立,求Z=X+Y的概率密度.正确答案由两个随机变量的独立性，可得f(x,y)=fx(x)f(y).Z=X+Y的分布函数为(z)=pz金=产(x+yz=JJy岫，*÷JC=匚(匚卬刈*y="xf(匚/(戈所x)djd=U匚曲时X)d¼根据分布函数与密度函数的关系，可得Z=X+Y的密度函数为力(Z)=L/(",Z-x)d为(Z)=Lf(z-y9y)dy.在X与Y相互独立的情况下，前述两式可分别表示为1.(Z)=C7(x,z)*=匚r(x)4(z)<K(33.1)1.(Z)=U/(Z-HV)'=匚Zr(Z-y%G)学(332)(3.3.1)与(3.3.2)式称为独立随机变量之和的卷积公式.答案解析参见教材PlI2。重要结论简述：如果两个随机变量相互独立且均服从正态分布，则这两个随机变量的和依然服从正态分布；该结论也可推广到有限个独立正态随机变量的情形.重要结论：如果且X与Y相互独立，则Z=X+Y仍然服从正态分布，并且zn(a+w+L).推广：如果XiN3,E)'i=1>2n,并且X,X2,.,Xn相互独立，则W«X+5+KN(/Z姆)1-1T任意有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即XN3"；)，i=l,2.,n,并且Xl,i.tXn相互独立,则平2平】+a9X.应小,力？(3.3.3)UlUlaba2,.,a0为任意实数.【例题单选题】设XN(-1,2),YN(1,3),随机变量X与Y相互独立，则X+2Y().A.N(1,8)B.N(1,14)C.N(1,22)D.N(1,40)正确答案Br答案解析根据结论的推广qJt+f+qrX1-N(2)A,:ZbW)知X+2Y仍然服从正ZUl态分布，并且X+2YN(1,14),因而应选择B.参见教材PII3。本章小结一、正确理解二维随机变量及其分布函数的概念和性质.理解二维离散型随机变量的分布律的概念和二维连续型随机变量的概率密度的概念，并掌握它们的性质及有关计算.掌握二维均匀分布和二维正态分布.二、掌握二维随机变量的分布函数与边缘分布函数的关系，对二维离散型随机变量会由联合分布律求边缘分布律；对二维连续型随机变量，会由联合概率密度求边缘概率密度.知道二维正态分布的两个边缘分布均为一维正态分布.三、知道两个或多个随机变量相互独立的定义，知道两个离散型随机变量及两个连续型随机变量相互独立的充分必要条件，会用它们来判断两个随机变量的独立性.知道二维正态分布中两个分量相互独立的充分必要条件是P=0.知道多个独立正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量.