研究生数理统计第三章习题集答案解析.doc

习 题 三1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量.现在测试了炉铁水，其含碳量分别为.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化？解 由题意知，.当已知时，设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以拒绝，接受，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.当已知时，设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以拒绝，接受，即均值没有改变时，总体方差有显著变化. 2.一种电子元件，要求其寿命不得低于.现抽取件，得其均值.已知该种元件寿命，问这批元件是否合格？解 由题意知，.设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以拒绝，接受，即认为这批元件不合格.3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为，现从某天生产的罐头中随机抽测罐，其质量分别为（单位：），假定罐头质量服从正态分布.问机器工作是否正常？能否认为这批罐头质量的方差为？解 设表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：）.由题意知，方差未知.， ，设统计假设.，临界值，拒绝域为.，所以接受，拒绝，即认为机器工作正常.当已知时，设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以接受，拒绝，即为这批罐头质量的方差为.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市个集市上鸡蛋的平均售价为，标准差为.已知往年的平均售价一直稳定左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年？解 由题意知，.设统计假设.当时，临界值，拒绝域为，所以拒绝，接受，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.5.已知某厂生产的维尼纶纤度，某日抽测根纤维，其纤度分别为，问这天生产的维尼纶纤度的方差是否明显变大了？解 由题意知，.设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以拒绝，接受，即这天生产的维尼纶纤度的方差明显变大了.6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于，标准差不得超过.现从一批该种元件中抽取个，测得寿命均值为，标准差.设元件寿命服从正态分布。试在显著性水平下，确定这批元件是否合格.解 设表示这批元件的寿命，由题意知，.设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以接受，拒绝，即认为这批元件平均寿命不得低于.设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以接受，拒绝，即认为这批元件标准差不超过.所以这批元件合格.7.设为来自总体的样本，已知对统计假设的拒绝域为.当时，求犯两类错误的概率与；证明：当时，.解 ，.，.，.，8.设需要对某一正态总体的均值进行假设检验取检验水平，试写出检验的统计量和拒绝域.若要求当中的时犯第类错误的概率不超过，估计所需的样本容量.解 .拒绝域为，统计量为.， .所需的样本容量.9.设来自总体的样本，为已知，对假设，其中，试证明.解 由题意知，且为已知，故，拒绝域为.，所以 ，即.10.设为来自总体样本，对假设的拒绝域.求犯第类错误的概率和犯第错误的.解 由题意知，查表得；，查表得.11.设总体的密度函数为，统计假设，.现从总体中抽取样本，拒绝域，求：犯两类错误的概率.解 当成立时，；当成立时，.12.设总体，根据假设检验的基本原理，对统计假设：；，试分析其拒绝域.解 因为，所以，即，当时，即，所以拒绝域为.因为，所以，即，当时,用作为的近似，则，即，所以拒绝域为.13.设总体根据假设检验的基本原理，对统计假设：；，试分析其拒绝域.解因为，当时，即，所以拒绝域为.因为，当时，即，所以拒绝域为.14.从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率为甲：， 乙：假定含灰率均服从正态分布且.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异？解 设分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知：.，.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异，因此，可进行以下假设检验。 统计假设， 当时，临界值为拒绝域为由于所以，接受，即认为甲、乙两煤矿的含灰率无显著差异.15.设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低。通过试验获得他们的抗拉强度分别为：甲： 乙：假定两种零件的抗拉强度均服从正态分布且.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高？解设分别表示甲乙两种零件的抗拉强度.由题意知：，.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高，因此，可进行以下假设检验。 统计假设， 当时，临界值为拒绝域为由于所以，接受，即认为甲种零件的抗拉强度比乙种的高.16.甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取个和个，测得其外径为：甲：乙：假设其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高？解 设分别表示乙甲两种车床加工零件的外径.由题意知：，.问乙车床的加工精度是否比甲车床的高，因此，可进行以下假设检验。 统计假设， 当时 拒绝域为由于所以，接受，即认为乙车床的加工精度是比甲车床的高.17.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取个，各取一个组成一对，现再随机地选取架飞机，将对轮胎磨损量数据列表如下：4900522055006020634076608650487049304900514057006110688079305010试问对这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足，且两个样本相互独立.解设甲乙两种轮胎的磨损量分别为，.由题意知：，.此题假设检验问题是比较两总体的均值与方差.首先对两总体的方差进行检验：统计假设 ，由于未知总体的均值，所以当时，拒绝域为，落在接受域内，所以接受原假设，即无明显差异.再对两种体的均值进行检验 设立统计假设， 由于，所以当时，临界值，拒绝域为.由于，所以接受，可以接受这两种轮胎磨损量无显著差异的结论.18.设总体，总体，由两总体分别抽取样本； 能否认为？ 能否认为？解 由题意知，设立统计假设，当时，临界值，拒绝域为，由于，所以接受，可以接受.统计假设 ，由于未知总体的均值，所以当时，拒绝域为，落在接受域内，所以接受原假设，即.19.从过去收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有的治愈率.一个主X化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证实他的看法，他用他的方法治愈个癌症病人，其中有个治好了，这个医生断言这种样本中的治愈率足够证实他的看法.试用假设检验方法检验这个医生的看法；如果该医生实际得到了治愈率，问检验将证实化学法比外科方法更有效的概率是多少？解 设采用化学疗法的治愈率为.设立统计假设检验. 由于是大样本，所以当时，拒绝域为由题意知 ，落入接受域中，所以接受原假设，即在显著性水平为5%下，认为采用化学疗法比采用外科方法更有效.由于是大样本，所以，由题意知，.20.在某公路上，之间，观察每内通过的汽车辆数，得下表：通过的汽车数量（辆）01234数量9268281110问能否认为通过的汽车数量服从分布？解 设表示每次观察时通过的汽车数量，分布函数为，统计假设是 .选择检验统计量；将的取值划分为若干区间，； 在成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得； 在成立的条件下，的概率理论估计值为， ， ，； 拒绝域为； 计算的样本值，计算过程见表3.3.4.1920.44932989.86580.05068452680.35946371.89260.21076343280.14378528.770.02060824110.0383437.66861.4472296510.009081.8160.36666072001.00002002.0959由于样本值为落在接受域内，因而接受，所以通过的汽车数量服从分布.21.对某厂生产的汽缸螺栓口径进行次抽样检验，测得数据分组列表如下：组限频数582034组限频数17664试检验螺栓口径的检验值的分布是否为正态分布.解 设表示某厂生产的汽缸螺栓口径，分布函数为，统计假设是.选择检验统计量；将的取值划分为若干区间，； 在成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得，； 在成立的条件下，的概率理论估计值为 拒绝域为； 计算的样本值，计算过程见表3.3.4.1130.144614.460.14741352200.192119.210.03248823340.246524.653.54655174170.211321.130.8072361560.125912.593.44941226100.07967.960.5228141001.00001008.5059157由于样本值为落在拒绝域内，因而拒绝，所以螺栓口径的检验值的分布不为正态分布.22.检查产品质量时，每次抽取个产品检验，共抽取次，得下表：次品数012345678910频数35401851100000问次品数是否服从二项分布？解 设表示每次检查产品时的次品数，分布函数为，统计假设是 .选择检验统计量；将的取值划分为若干区间，； 在成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得； 在成立的条件下，的概率理论估计值为， ， ； 拒绝域为； 计算的样本值，计算过程见表3.3.4.1350.348678334.867830.0005012400.387420438.742040.04084613180.193710219.371020.09703649470.07019117.019110.0000521001.00001000.1384355由于样本值为落在接受域内，因而接受，所以每次检查时次品数服从.23.请人比较两种型号电视机的画面好坏，认为好的有人，认为好的有人，拿不定主意的有人，是否可以认为的画面比的好？解 设表示型号电视机的画面，表示型号电视机的画面.用符号检验法：由题意知 ，当时，拒绝域为，落入拒绝域内，故拒绝，即认为的画面比的好.24.为比较两车间（生产同一种产品）的产品某项指标的波动情况，各依次抽取件产品进行测量，得下表：甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.34乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.84问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同？解 设表示甲车间生产的产品的某项指标的波动，表示乙车间生产的产品的某项指标的波动.用符号检验法：由题意知 ，当时，拒绝域为，落入拒绝域内，故拒绝，即认为两车间所生产的产品的该项指标分布显著不同.25.观察两班组的劳动生产率（单位：件/小时），得下表：第1班组283339404142454647第2班组344041424344464849问两班组劳动生产率是否相同？解 设表示第1班组的劳动生产率，表示第2班组的劳动生产率.1)用符号检验法：由题意知，当时，落入拒绝域内，故拒绝，即认为两组劳动生产率不同.2)用秩和检验法：由题意知，数据的秩见下表.秩1245.57.59.51314.516731组数据283339404142454647秩35.57.59.5111214.51718982组数据344041424344464849，当时，落入接受域内，故接受，即认为两组劳动生产率相同.26.观察两样本值如下：2.363.147.523.482.765.436.547.414.384.256.543.287.216.54问这两样本是否来自同一总体？解 设表示第组样本值，表示第组样本值.用秩和检验法：由题意知，数据的秩见下表.秩1314528101356数据2.363.147.523.482.765.436.547.41秩76104121049数据4.384.256.543.287.216.54，当时，落入接受域内，故接受，即认为这两样本是否来自同一总体.27.某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是：按照某种遗传模型其比率之比应为：，问数据与模型是否相符？解 设表示某种动物配偶后代体格的属性，分布函数为，由题意知，统计假设是 .选择检验统计量；将的取值划分为若干区间，； 在成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得； 在成立的条件下，的概率理论估计值为， ， 拒绝域为； 计算的样本值，计算过程见表3.3.4.1100.11215912.2253310.40506862530.445483948.5577450.4063953460.44235848.2170220.10193881091.00001090.9134024由于样本值为落在接受域内，因而接受，所以数据与模型相符.28.在某地区的人口调查中发现：个男人中有个是聋哑人，个女人中有个是聋哑人.试检验“聋哑人与性别无关”的假设.解 设表示某地区人口的聋哑情况，表示某地区人口的性别情况.如下表：男女合计聋哑349730726569正常157257481679595932521707合计157292451679903132528276由题意知，当时，落入拒绝域内，不能认为“聋哑人与性别无关”.29.下表为某药治疗感冒效果的联列表：年龄疗效儿童成年老年一般583832128较差284445117显著2318145510910091300是问该疗效是否与年龄有关？解 设表示某感冒药的疗效，表示调查人口的年龄.如下表：年龄疗效儿童成年老年一般583832128较差284445117显著2318145510910091300由题意知，当时，落入拒绝域内，即认为药的疗效与年龄有关.30.某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂生产的一批产品的不合格率不超过时以高于的概率接收，当不合格率超过时，将以不低于的概率接受。试问验收者制定验收抽样方案.解 由题意知代入下式得到，解得.因此，抽样方案是：抽取件产品，如果抽得的不合格品，则接受这批产品，否则拒绝这批产品.21 / 21