考研数学线性代数讲义.doc

word1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E.2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。4.若要证明一组向量a1，a2，as线性无关，先考虑用定义再说。5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。7.若已知A的特征向量0，则先用定义A0=00处理一下再说。8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。2010考研基础班线性代数主讲：尤承业第一讲 基本概念线性代数的主要的基本容：线性方程组 矩阵 向量 行列式等 一线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数, 构成,它满足:当每个方程中的未知数都用替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个: (1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组: 的线性方程组.0,0,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).二.矩阵和向量1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m行n列的表格称为m´n矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i行j列的元素称为(i,j)位元素.是一个2´3矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵和为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为,常数列为,则方程组为由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.零矩阵:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.2. 矩阵和向量的关系书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.问题:(3,-2,1)和是不是一样? 作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1´3矩阵,右边是3´1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量. 一个m´n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.3. n阶矩阵与几个特殊矩阵n´n的矩阵叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵:对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵:满足矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i) 位的元素总是相等的n阶矩阵.问题:下列矩阵都是什么矩阵?对角矩阵: 、上三角矩阵: 、下三角矩阵: 、对称矩阵: 、三. 线性运算和转置1.线性运算是矩阵和向量所共有的. 加(减)法:两个m´n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m´n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).两个同维数的向量可以相加(减),规则为对应分量相加(减). 数乘: 一个数c与一个m´n的矩阵A可以相乘,乘积仍为m´n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.一个数c与一个n维向量可以相乘,乘积仍为n维向量,记作.法则为的每个元素乘c. 向量组的线性组合:设，是一组n维向量, ,是一组数,则称为，的(以,为系数的线性组合. 例:求矩阵的列向量组的系数为1,1,1的线性组合. 解: 2.转置把一个m´n的矩阵A行和列互换,得到的n´m的矩阵称为A的转置,记作.四. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换: 交换两行的位置. 用一个非0的常数乘某一行的各元素. 把某一行的倍数加到另一行上. A®B.2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足: 如果它有零行, 非零行,则都零行在下,非零行在上. 如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.问题:对角矩阵,上三角矩阵,数量矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵? 一个n阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵.问题:如果A是阶梯形矩阵.(1) A去掉一行还是阶梯形矩阵吗?(2) A去掉一列还是阶梯形矩阵吗?3. 简单阶梯形矩阵把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:台角位置的元素为1.并且其正上方的元素都为0.4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵请注意: 从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变. 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.线性方程组的同解变换有三种: 交换两个方程的上下位置. 用一个非0的常数乘某个方程. 把某个方程的倍数加到另一个方程上.反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.例:矩阵消元法步骤如下: (1)写出方程组的增广矩阵（），用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(). (2)用()判别解的情况:如果最下面的非零行为(),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉()的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(),则h就是解. 就是解.,h就是解.解为(1,0,2,-2).对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B. (2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲).推论:当方程的个数m<n时,有非零解.第二讲 行列式1.形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: (简记为)意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作.行列式的的核心问题是值的计算.一. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:一般地,一个n阶行列式= 这里 1是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1或-1.) 2. 每一项,都是n个元素的乘积,它们取自不同行,不同列.即列标构成1,2,n的一个全排列(称为一个n元排列),共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!个项. 表示对所有n元排列求和.3. 规定为全排列的逆序数.称12n为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,一对大小的数构成一个逆序.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如下三角行列式对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积 例 求的和的系数.解析：的系数是1；的系数是-10二. 化零降阶法1.余子式和代数余子式 元素的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作.的代数余子式为.2.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和. n=4, 例如 求3阶行列式 =(-3)A11+4A12+6A13=(-3)M11-4M12+6m3=(-3)´(-5)-4´(-18)+6´(-10)=27.例 解析： 原式=1 A11+t A1n =1+ =1+例 求行列式 的第四行各元素的余子式的和.解析：所求为原式=将原行列式换为即他的值就是原题的余子式之和答案为-28（对第三行展开 )3.命题 第三类初等变换不改变行列式的值. 08题 . 证明|A|=(n+1)an.分析：证明：初等变换4. 化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.三.其它性质行列式还有以下性质: 3把行列式转置值不变,即 .4作第一类初等变换, 行列式的值变号. 5作第二类初等变换, 行列式的值乘c.问题： ；6对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如问题：例如：例 设4阶矩阵解：7.如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.8.某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.例 已知行列式 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z. 解析：思路：利用性质8拉普拉斯公式的一个特殊情形：如果A与B都是方阵(不必同阶),则德蒙行列式：形如的行列式(或其转置).它由所决定,它的值等于因此德蒙行列式不等于两两不同. 对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算.四.克莱姆法则克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵A为n阶矩阵)时. 方程组有唯一解.此解为 是把的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式.1.是方程组有唯一解的充分必要条件.问题:于是只用说明是方程组有唯一解的充分必要条件.2. 实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵作初等行变换,使得A变为单位矩阵:；就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是.例 设有方程组(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.(2)在此情况求解.分析：证明：（1）由克莱姆法则法则可知故a,b,c两两不相等（2）五. 典型例题例1 对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n阶行列式.分析：解：分析：与同理分析：类型一致分析：把下面三行分别加到第一行例2解： 所以值=15×125=1875例3 解：例4 证明分析：证明：归纳法：展开递推再用归纳法证明之也可以：第三讲 矩阵二. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)1 两种基本矩阵方程在等式AB=C中,如果已知C及A,B中的一个,求另一个. 就提出下面两种基本形式的矩阵方程:(I) .(II) . 这里要求A是行列式不为0的n阶矩阵,这样可使得这两个方程的解都是存在并且唯一的.先讨论(I) .设 是 矩阵，则 也是 矩阵.如果 ,即只有一列,则(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.此接可以用初等变换法求出: .如果，设 则 .即这是个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而 有唯一解.这些方程组系数矩阵都是,可同时求解: 即得(I)的解法:将 和 并列作矩阵 ,对它作初等行变换,使得 变为单位矩阵,此时变为解 . 例 ,.求 的解(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:.再用解(I)的方法求出,转置得.2007年的一个题中,求3阶矩阵 , 满足,.解:建立矩阵方程2. 可逆矩阵 (1) 定义用 乘等式两边. 如果有 ,使得 如果有 ,使得 定义 设是阶矩阵,如果存在阶矩阵,使得则称为可逆矩阵.此时是唯一的,称为的逆矩阵,通常记作.如果 可逆,则在乘法中有消去律:(左消去律)；.(右消去律)如果 可逆,则在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边): . .由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) 的解 .(II)的解.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(2) 矩阵可逆性的判别,逆矩阵的计算定理 阶矩阵 可逆 .证明 “”对 两边取行列式,得 |,从而 . (并且) “”定义中的 是矩阵方程 和 的公共解.因为 ,矩阵方程 和 都有唯一解.设分别是它们的解,即. 于是: ,从定义得到可逆.是唯一的,因为它是解.计算 的初等变换法: 解矩阵方程 ,.应用: 对角矩阵可逆 对角线上元素都不为0.其逆矩阵也是对角矩阵,只用把每个对角线元素变为倒数.初等矩阵都是可逆矩阵,并且， 推论如果 和 都是 阶矩阵,则 .即只要 (或 )中的一个式子成立,则 和 都可逆并且互为逆矩阵.2008年的考题: ,时 可逆.例 4个阶矩阵 和满足,求和.,于是例31设都是阶矩阵,满足,则 为(A) .(B). (C). (D). (2005年数学四)化为 即 与 互为逆矩阵 化为 , 用 右乘得 如果和是两个可逆阶矩,则分块矩阵 和 都可逆，并且 (3)可逆矩阵的性质:如果 可逆,则, 和 都可逆,并且已经规定的矩阵的右肩膀有3种:T,k,-1,它们两两可交换先后次序. 对于两个 阶矩 和 ,和都可逆 可逆,并且 .3.伴随矩阵若 是 阶矩阵,记 是 的 位元素 的代数余子式,规定的伴随矩阵为 lr 例如对2阶矩阵基本公式: . 于是对于可逆矩阵 ,有. 因此可通过求来计算.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.即意义:用逆矩阵来求伴随矩阵.可逆时还有 .伴随矩阵的其它性质: 如果 是可逆矩阵，则 也可逆，并且. ;的证明:对两边求行列式,得的证明: 例21 设是阶可逆矩阵, 交换的行得到.(1) 证明可逆.(1)(2) 求.例22 设是3阶矩阵,将的第2行加到第1行上得,将的第1列的-1倍加到第2列上得 .记 例20 设是3阶可逆矩阵,交换的1,2行得,则(A) 交换的1,2行得到. (B) 交换的1,2列得到.(C) 交换的1,2行得到.(D) 交换的1,2列得到.(2005年)例18 设和都是n阶矩阵, ,则不妨设都可逆 2009题设和都是2阶矩阵, .则 (2009年的考题)解:先求例16 设是n阶非零实矩阵,满足 . 证明:如果则解：条件,即即（1）又因为 , 即有非零元素，则(2) 得 因为是正整数，得例17设矩阵 满足 ,为3个相等的正数,则它们为(2005年数学三)设则又得例8 3维向量满足,已知,求. 解：例9设 是3阶矩阵,是3维列向量,使得可逆,并且.又3阶矩阵满足A=PBP-1. (1)求.(2)求.(01一)解：即则例10 3阶矩阵满足,其中 ,求.(04一) 解：例11 设3阶矩阵,求.解： 得例12 设3阶矩阵,求. 解： 例13 4阶矩阵满足,已知求. (00一) 解： 得例14 已知,求.解：用解矩阵方程求例26 设3阶矩阵满足.(1) 证明可逆.(2) 设,求. (91)解：令即可逆例27 设是3阶矩阵,可逆,它们满足.(1) 证明可逆.(2) 设 ,求. (2002)可逆解：即由可逆得可逆例28 设n阶矩阵满足.其中,证明(1)和都可逆.(2)可逆可逆.(3)解：(1)令都可逆或者直接把和相乘(2)(3)例29 设都是n阶对称矩阵,可逆,证明也是对称矩阵.证：验证即要证明例30设都是n阶矩阵使得可逆,证明(1) 如果,则.(2) 如果都可逆,则.(3) 等式总成立.(1)思路：两侧是的不同顺序的，且有证明(2) 两边求逆左边求逆右边求逆例32 设都是n阶矩阵,并且是可逆矩阵.证明:矩阵方程和的解相同.的解为的解为同解即第四讲 向量组的线性关系与秩全课程的理论基础 线性表示线性相关性极大无关组和秩矩阵的秩 一. 线性表示设a1,a2,as是一个n维向量组.1. n维向量b可用a1,a2,as线性表示，即b是a1,a2,as的一个线性组合，也就是说存在数组c1,c2,cs使得c1a1+c2a2+csas=b .例如，.则 b=aa1+b a2+ca3. 又如，.看c,c¹0,则不能表示, c=0, 则 b=aa1+ba2, 或b=(a-b)a1+ba3,问题是:判断b可否用a1,a2,as线性表示? 表示方式是否唯一？”这也就是问：向量方程x1a1+ x2a2+xsas=b是否有解？解是否唯一？设A=(a1, a2,as),则此向量方程就是AX=b.反过来,判别“以(A|b)为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“b是否可以用A的列向量组线性表示?表示方式是否唯一？”的问题.记号: 可以表示® 不可以表示® 唯一表示无穷多表示例 下列各选项中哪个成立,哪个不成立?(A) 如果b®a1,a2,as,则对任意数c, cb®a1,a2,as.(B) 如果存在c,使得 cb®a1,a2,as,则b®a1,a2,as.(C) 如果b®a1,a2,as, g®a1,a2,as,则b+g®a1,a2,as.(D) 如果b®a1,a2,as, g®a1,a2,as, 则b+g®a1,a2,as.如果b®a1,a2,as, g®a1,a2,as,问题：b+g a1,a2,as.答: b+g®a1,a2,as.例14已知b可用a1,a2,as线性表示，但不可用a1,a2,as-1线性表示证明as不可用a1,a2,as-1线性表示；as可用a1,a2,as-1,b线性表示(看题解) （2） 解：设（1）用反证法 如果则2.如果n维向量组b1, b2,bt 中的每一个都可以可以用a1,a2,as线性表示,就说向量组b1,b2,bt可以用a1,a2,as线性表示. 向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合,从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示.反过来,如果向量组b1,b2,bt可以用a1,a2,as线性表示,则矩阵(b1,b2,bt)可分解为矩阵(a1,a2,as)和一个矩阵C的乘积.例如b1=a1+2a2，b2=2a2+3a3，b3=3a3+a1；,则(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3) 一般地C可以这样构造: 它的第i个列向量就是bi对a1,a2,as的分解系数.称C为b1,b2,bt对a1,a2,as的一个表示矩阵. (C不是唯一的)3.当向量组a1,a2,as 和b1,b2,bt互相都可以表示时,就说它们等价,并记作a1,a2,as b1,b2,bt.例如,如果矩阵A用一次初等行变换化为B,则A的行向量组和B的行向量组等价.如果矩阵A用一次初等列变换化为B,则A的列向量组和B的列向量组等价.a1,a2,a3®a2,a1, a3；a1,a2,a3®a1,4a2, a3；a1,a2,a3®a1, a2,6a1+a3；向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组b1,b2,bt可以用a1,a2,as线性表示,而a1,a2,as 可以用g1,g2,gr线性表示,则b1,b2,bt可以用g1,g2,gr线性表示.等价关系也有传递性.二. 向量组的线性相关性讨论向量组的在关系的性质.1 意义和定义-从三个方面看线性相关性（1） 意义:线性相关性是描述向量组在关系的概念.如果向量组a1, a2,as 中有向量可以用其它的s-1个向量线性表示,就说a1, a2,as 线性相关. 如果向量组a1, a2,as 中每个向量都不可以用其它的s-1个向量线性表示,就说a1, a2,as 线性无关.，两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.如a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)相关,不妨设b=ca,即b1=ca1, b2=ca12, b3=ca3.（2）定义 设a1,a2,as 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,则说a1,a2,as 线性相关,否则就说它们线性无关.说明: 意义和定义是一致的.比如设cs不为0,则as= -(c1a1+c2a2+cs-1as1)/cs. 当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量.a1,a2,as 线性无关即要使得c1a1+c2a2+csas=0,必须c1,c2,cs全为0.(3)a1,a2,as “线性相关还是无关”就是向量方程x1a1+ x2a2+xsas=0“有没有非零解”.如果令A=(a1,a2,as ), 则 a1,a2,as 线性相关(无关)Û 齐次方程组 AX=0有非零解(无非零解).2. 性质(1)若向量的个数s等于维数n,则 a1, a2,an线性相关Û| a1, a2,an|=0.当向量的个数s大于维数n时, a1, a2,as 一定线性相关.用齐次方程组, 注意:n是AX=0的方程数, s是AX=0的未知数个数. s=n时用克莱姆法则.s>n即方程数n少于是AX=0的未知数个数s,一定有非零解.(2) 线性无关向量组的每个部分组都无关(于是每个向量都不是零向量).a1, a2, a3, a4, a5无关Þa1, a3, a 5无关逆否命题:如果向量组有线性相关的部分组,则它本身也线性相关.(3) 如果a1,a2,as 线性无关,则a1,a2,as ,b线性相关Ûb®a1,a2,as .(a1,a2,as ,b线性无关Ûb®a1,a2,as .)Ü 明显. Þ 设c1,c2,cs, c不全为0,使得 c1a1+c2a2+csas+cb=0,则c不为0(否则a1,a2,as 线性相关),因此b®a1,a2,as .例 b1=(1,2, a+3)，b2=( 2,1 ,a+6)，b3=(2,1,a+4) 线性无关例15 a1,a2,a3,b线性无关,而a1,a2,a3,g线性相关,则(A) a1,a2,a3,cb+g线性相关.(B) a1,a2,a3,cb+g线性无关.(C) a1,a2,a3,b+cg线性相关.(D) a1,a2,a3,b+cg线性无关.2008年的一个题中:已知 a1,a2都是3阶矩阵A的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量 a3满足Aa3= a2+a3.证明a1,a2, a3线性无关.(看题解)设（1）A（1） 得 （2）（1）-（2）： （3）A（3） （4）（3）-（4） 4，得 ； 代人（3），-，得 ， 代人（1），得 方法二：，线性无关，只用证 若 ，（1） 得（2） （2）-（1）： 与线性无关矛盾。2009年的一个题中: a1¹0, Aa1=0, Aa2=a1, A2a2=a1, 证明a1,a2, a3线性无关. (看题解) 证明：A 是3阶矩阵，是3维非零列向量，使得，又 满足， ，证明线性无关。证：方法一（用定义法）设 （1），即，得 （1）化为A（1）：，得 （1）化为 ，得方法二：，无关（否则 ，）所以 线性无关又 （否则， (4) 如果b®a1,a2,as ,则Ûa1,a2,as 线性无关.Ûa1,a2,as 线性相关.(5) 如果b1,b2,bt®a1,a2,as ，并且t>s,则b1,b2,bt线性相关.逆否命题: 如果b1,b2,bt®a1,a2,as ,并且b1,b2,bt线性无关. 则t£s, 推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.三.向量组的极大无关组和秩向量组的在性质的定量的讨论. 向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组.，1. 定义与简单性质定义 设a1,a2,as 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果 (I) 线性无关. (I) 再扩大就线性相关. 就称(I)为a1,a2,as 的一个极大无关组.称(I) 中所包含向量的个数为a1,a2,as 的秩。记作r(a1,a2,as).说明i) a1,a2,as 的不同的极大无关组包含向量的个数会不会不同？任何aI都可用极大无关组(I) 线性表示,从而(I) 与a1,a2,as 等价.于是任意两个极大无关组 等价，因此包含向量的个数相同。说明ii) 如果a1,a2,as 全是零向量,则规定r(a1,a2,as)=0.如果r(a1,a2,as)=3,则i) a1,a2,as 有包含3个向量的无关部分组。ii) 一个部分组如果含有多于3个向量,则它一定的相关.iii） a1,a2,as 的每个含有3个向量的线性无关部分组一定是极大无关组. 0£r(a1,a2,as)£ Mins。n2. 应用 a1,a2,as 线性无关Û r(a1,a2,as)=s. b可用a1,a2,as 线性表示Ûr(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as).命题： r(a1,a2,as,b)= 证明思路:看a1,a2,as 的一个极大无关组(I)是否也是a1,a2,as ,b的极大无关组?b®a1,a2,as Ûb®(I)Û (I), b 线性相关Û(I)也是a1,a2,as ,b的极大无关组，则r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as).b®a1,a2,as Û b®(I)Û (I), b 线性无关Û(I), b 是a1,a2,as ,b的极大无关组.则r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)+1.例14已知b可用a1,a2,as线性表示，但不可用a1,a2,as-1线性表示证明as不可用a1,a2,as-1线性表示；as可用a1,a2,as-1,b线性表示Û r(a1,a2,as-1,as,b)=r(a1,a2,as-1,as).Û r(a1,a2,as-1,b)=r(a1,a2,as-1)+1.b可用a1,a2,as 唯一线性表示Ûr(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)=s.b1,b2,bt可以用a1,a2,as 线性表示Û r(a1,a2,as,b1,b2,bt)=r(a1,a2,as).推论: 如果b1,b2,bt可以用a1,a2,as线性表示,则 r(b1,b2,bt)£r(a1, a2,¼ ,as ). a1,a2,as和b1,b2,bt等价Û r(a1,a2,as)= r(a1,a2,as, b1,b2,bt)= r(b1,b2,bt).r(a1,a2,as)的计算: 用初等行变换把矩阵(a1,a2,as)化为阶梯形矩阵,其非零行数= r(a1,a2,as).例11中的向量组的秩:®®r(a1,a2, a3,a4,a5)=3.例2 已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,并且a¹1,求a. (05)秩<4 得 1-2a=0 a=例3设a1=(1+a,1,1)，a2=(1,1+b,1)，a3=(1,1,1-b)，问a,b满足什么条件时r(a1,a2,a3)=2?1) 若 b=0 时秩）时秩为例4设a1=(1+，1，1)，a2=(1，1+，1)，a3=(1，1，1+)，b=(0，,2)为何值时，b可用a1，a2，a3线性表示，并且表示方式唯一？为何值时，b可用a1，a2，a3线性表示，并且表示方式不唯一？为何值时，b不可用a1，a2，a3线性表示？ (看题解)当时，,当时，当，例7 设a1=(1,2,-3)，a2=(3,0,1)，a3=(9,6,-7)，b1=(0,1,-1)，b2=(a,2,1)，b3=(b，1，0)已知r(a1,a2,a3)=r(b1,b2,b3),并且b3可用a1,a2,a3线性表示，求a,b.(00二)(看题解)思路：先用这个条件求出b则例9 给定向量组() a1=(1,0,2)，a2=(1,1,3)，a3=(1,-1,a+2)和()b1=(1,2, a+3)，b2=( 2,1 ,a+6)，b3=(2,1,a+4)当a为何值时()和()等价? a为何值时()和()不等价?(03四)当时，当时，而结论：a=-1时不等价，时等价例8求常数a,使得向量组a1=(1,1,a),a2=(1,a,1),a3=(a,1,1)可由向量组b1=(1,1,a),b2=(-2,a,4),b3=(-2,a,a)线性表示,但是b1, b2, b3不可用a1,a2,a3线性表示. (2005年数学二)于是或-2a=1时， 时：， ，相关，(看题解)3. 秩的计算,有相同线性关系的向量组两个向量个数相同的向量组a1,a2,as,和 b1,b2,bs称为有相同线性关系,如果向量方程x1a1+x2a2+xsas=0和x1b1+x2b2+xsbs=0同解,即齐次线性方程组(a1,a2,as)X=0和( b1,b2,bs)X=0同解.当a1,a2,as和 b1,b2,bs有相同线性关系时,(1)它们的对应部分组有一致的线性相关性.a1,a3,a4和 b1,b3,b4相对应.如果a1,a3,a4相关,比如3a1-a3+5a4=0,则(3,0,-1,5,0,0)是x1a1+x2a2+xsas=0的解,从而也是x1b1+x2b2+xsbs=0的解,就得到3b1-b3+5b4=0, b1,b3,b4相关.(2)它们的极大无关组相对应,从而它们的秩相等.(3)它们有相同的在线性表示关系.a2=2a1+a3-a4Û b2=2b1+b3-b4.例如,当A经过初等行变换化为B时, AX=0和BX=0同解,从而A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.于是它们的极大无关组相对应,秩相等.问题:为什么阶梯形矩阵的非零行数就是它的列向量组的秩?®®a1a2a3a4a5b1b2b3b4b5g1g2g3g4g5显然g1,g2,g4无关, g3= 3g1+g2, g5=2g1+g2,g1,g2,g4是g1,g2,g3,g4, g5的一个极大无关组.这样,就产生了计算一个向量组a1,a2,as的秩和极大无关组的方法:把此向量组作为列向量组构造矩阵(a1,