数值分析知识点总结.docx

数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。一、第1章数值分析与科学计算引论1.什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？答设了为准确值,n.为工的一个近似值,称e=x-Z为近似值Z的绝对误差，简称误差.近似值的误差e-与准确值N的比值U=亡三称为近似值工.的相对误差，记作e:.通常我们无法知道误差的准确值.只能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界£、6叫做近似值的误差限.相对误差限：£；=k；1的一个上界。有效数字：如果近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到X*的第一位非零数字共有"位，就说X*共有"位有效数字。即x*=±/OmX(M+2xa+"XW"T),其中/0,并且k-£上；Xl(T-"+二其中m位该数字在科学计数法时的次方数。例如9.80的m值为O,n值为3,绝对误差限£：=Jxl(T，2.一个比较好用的公式：/(R的误差限：£(fX)'(-*)£(/)例题：5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解球体体积公式为V=等KRL体积计算的条件数G一一3,所以.e,(V)%C,c.(R)=3e,(R').又因为e,(V)=1%.所以度境半径R时允许的相对误差限e,(R)=*(V)=§X1%内0.0033.二、第2章插值法1.什么是拉格朗日插值疑函数。它们是如何构造的？有何重要性质？答若"次多项式Z,（三）G=O,1,，n)在rt-H个节点x0<x1<<x.上满足条件卜=J-10,kj,0,1,，打则称这n+1个n次多项式。Q)4（三）,4（三）为节点x0,xl,x.上的"次拉格朗日插值基函数.以4(工)为例，由4(工)所满足的条件知4（三）以工。，aI,xt÷1.jr,为零点，再考虑到4（三）为*次多项式,故可设Z(x)=A(N-X0)(x*-1)(xXh1)*(X.)»其中A为常数.利用L（八）=I得I=A(*Xfl)5ZI)(JrANI)(X*/),故即2(%)_(JrHo)(n)(工NHI)(工)TT工一J7(X*x3)(xlX<-)<*-Z1)(aX,)M彳*-NjJ*对于Zi(x)(t=0,l.,n),WZKA（三）=x*(=0,1,，”)，特别当R=O时，有z"(工)=1.例题：2.给出/(工)=InN的数值表:Z64Q*50,60.70.8Injr0.916291-0.6931470.5108260«3566750.223144用线性插值及一次播值计算In0.54的近似值.解线性插值.由于H=O.54,介于0.5和0.6之间，故取入=0.5,H1=0.6,这时插值余项中的w（三）=(h-)(h-f)的绝对值最小.于是yo-O.693147,»=0.510826.代人拉格朗日线性插值多项式,得1.1¢0.54)=二三M+L-.j1XoNINlXq=再X<-0693147)+2X(-0.510826)一_0.620219,所以In0.54Z三L(0.54)-0.620219.当然还可以按其他方式取吃,，但近似程度可能差些.二次插值.由于N=0.54与0.5,0.6及0.4的距离较近，故取A=O.4,Zl=；5,左=0.6,这时播值余项中的mJ)=(Z-Z)Q-右)(n一巧)的绝对值最小.于是3=-0.916291,V=-O.693147,>j=-0.510826.代入拉格朗日二次插值多项式，得L1 (O. 54)=(工一al)(HJ),工一Htl)工一J),(T0-Xi)(i0-X1)"(工1-了0)(#1一工？)"X (- 0. 916 291>(0,54-0.5)<0,5-O,6)(0.4-0.5)(0.4-0.6)X (- 0, 693 147)X (-0.510 826)I0.540.4)(0,540.6)(0.5-0.4)0；5-0.6).(O.5-0.4)(0,54-0.5)(0.6-0.4X0.6-0.5)%-0.615320祈以InO.54%LZ（0.54）=-0,615320.2.什么是牛顿基函数？它与单项式基1,h,，2有何不同？答称1,一天，工一2）（z一Ni），"工一工3）（M-Hi.1）为节点JC,X1,X上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点工。,5,，N'上函数“力的n次牛顿插值多项式PJz）可以表示为PJl（N）c>+a1（a0）-+,（xr0）（x¾-）,其中t=/Lx0.4,hJG6=0,1le）.与拉格朗日插值多项式不同,牛顿插值慕函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如PHI（三）=P，（三）十<1（工一我）"，（了-X1）,其中a.r是节点用，%+1上的及+1阶差商,这一点要比使用单项式基1，工,，/方（得多.3.什么是函数的"阶均差？它有何重要性质？答称兀士，工门=冬二=9为函数八H）关于点,心的一阶均差，称ftxa,Xty/'工"-"/Fl为穴工）关于点如，H-H,的二阶均差，一般地，称上.一工】"了=fQc”,工I,工Ij/，工1'，工1为/Xh）关于点JT0H，H11的n阶均差.均差具有如下基本性质工（1）阶均差可以表示为函数值/（现）,八/），/（二）的线性组合，即fj*0,Hi,才一（3_工0）.（工丁_JrjTj（4_#）.（吃_*,，该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性./L网+h1，*z.若户工）在%，切上存在n阶导数，且节点Xe»X,三。,方,则n阶均差与n阶数的关系为/o,吃，=E”,E,b4.写出"+1个点的拉格朗日插值多项式与半顿均差插值多项式,它们有何异同？答给定区间a,切上”+1个点Ho<Hi<<x#上的函数值v=f5)(i=0,l,，n),则这n+1个节点上的拉格朗日插值多项式为ra-Cx)=yJ*Q)其中这n+1个节点上的牛顿插值多项式为P,<)=6÷dCxxc)+。,工一j)"(hHl),其中d1fx0,X.,ji(-0,l,*tn)/（三）在点Xe.Ht,工上的/阶均差.由插值多项式的唯一性,L<G与心(工)是相同的冬项式，其差别只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比较方便计算，而拉格朗日插值没有这个优点，5.给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？答设r*>Q)在,&上连续,f""(士)在Q,b)内存在，节点axo<x1<-<fr,LXH)是满足条件L.5)=XG=0，")的插值多项式，则对任何工S叫封，捕值余项r"(工)=/(x)-L,=广:¥二一工),这里6£(口，6)且与工有关，Olll-ICN)=(上一%)(X-JTi)(X-).若有黑Ir"+"("I=M÷1,则l<n)逼近N)的截断误差!Rg7vIJG)I.6.二次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？答三次样条插值要求插值函数Scr)在整个区间上是二次连续可微的，即ScZ)WCa,瓦),且在每个小区间工,，与+门上是三次多项式，插值条件为Sd)=Iy,j=0,1,.n.三次分段埃尔米特插值多项式IMH)是播值区间4»上的分段三次多项式，且人(工)在整个区间上是一次连续可微的，即L（三）ECDI,口,插值条件为1.(H>)=X<r*).K(H*)=IyJ(H*),=0,1,n.分段二次埃尔米特插值多项式不仅要使用被播函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且捕值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的函数值，但播值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微,所以相比之下，三次样条插值更优越一些(注意要添加边界条件).7.确定"+个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？答由于三次样条函数S（三）在每个小区间上是三次多项式，其形式为a+bx+cxt+d",所以在每个小区间O,巧+门上要确定4个待定参数，"+1个节点共有M个小区间，故应确定4"个参数，而根据插值条件，Sb"="(j=0,1,，n)和一次连续可微所隐含的条件S'(/-O)=S'(h,+0)G=1,2,"-1),共有4"-2个条件，因此还需要加上2个条件，通常可在区间a,打的端点=z。,6=Z"上各加一个边界条件，常用的边界条件有3种：(1)已知两端的一阶导数值，即S,(xo)=,S,(x.)=/：.(2)已知两端的二阶导数值，即SW(J)=,Sd=£,特殊情况为自然边界条件S*(xo)=O,S*(x,)=0.(3)当/（三）是以工.一工。为周期的周期函数时，要求S（三）也是周期函数，这时边界条件就满足S(x0+0)=S(x.-O),S,(o+O)=S,<x.-O),S,(xo+0)=S*(x.-0).这时SGr)称为周期样条函数.8.三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：5（三）=M,"%；"+Mf工纪'+(M-噌产Ozi7O/hf=O.1,，一1.这里M,(j=0.1,E)是未知的.为了确定M,(j=O,l.,n),JS（三）求导得M,"尸产+M,÷=-"OJ,由此可求得S(r,+O)=-Mj小+»；».类似地可求出S（三）在区间:>,-1,上的表达式.进而得Syj,-O)=1+yi1,b3hii利用S'(j,+O)=S'(%-O)可得/Mji2M,+LM汁=4，j=12»,w1,其中外*+E''hjl+h,'弘=6叁''.'i,丁口小"J=6/Q-T，小Jj=1.2,切-1,对于第一神边界条件，可导出两个方程：2MuMl=-(/0,xi-),MI+2M=-(/-/x,i,工).如果令福=1,&=忌(/工0，了1/；)，“=1，d“=/(ff,/x,I,x,)阵形式：幺 12 A)公式1对于第二种边界条件，直接得端点方程：M0=/：,M”=/：.如果令猫=""=0,4=2/：,丸=2/二则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。对于第三种边界条件，可得：UiI = B也可以写成如卜矩阵形式：'2 为df-2M.M”M>=Mi),M+,Mr-i+2M“=d公式2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解.（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换1.设/ECa同,写出三种常用范数11/13,Hfh及N川答若/Cr)GC,发，则Il/Il1=JI/(N)Idj,.口川2=(JIr（三）Idr)Il/Il=maxI/(m)Ljr62./,gWCa,切,它们的内积是什么?如何判断函数族"。呼,jeCa,g在a.幻上线性无关？答若fGr）,g（x）eCa,b,P（三）是a,口上给定的权函数,定义了与g的内积为fH）,H（三）=p（三）f（三）g（三）±t,特别常用的是小工）三1的情形，即5H)>g() = J/(x)g(x)dx,设/5，*JWCagj,定义其格拉姆矩阵为G = G(0 ,*,，外)-（您.件） , （他,中B）（抄，界1） .， （o,外）,®）（外，0）伊3，中I,评.在a.瓦!上线性无关的充要条件是detGs,界L,仍1）03.什么是以句上带权Pa）的正交多项式？什么是“J上的勒让德多项式？它有什么重要性质？答设P（三）是0,切上首项系数%/0的"次多项式,认工)为".以上的权函数，如果多项式序列科(工"r满足P(0,；t(*)=Jj9小S)d"艮,0,)=行,则称多项式序列(伙（三）X在"，切上带杈mH)正交，称仰(公为4，&上带枚P(Z)的"次正交多项式.当区间a,b为一1,匕,权函数P(Jr)=I时，由1,工，工"，正交化得到的多项式称为勒让德多项式,通常用PCCZ),RU),PJh),表示，其性质如下：(D正交性Q,m11jPII（三）PE（三）CLr=Y2(2)奇偶性P.(-h)=(-l)'Px).(3)递推关系(舞+l)Pw+(M)=(2n+1NPn(N)TJPI（三）,*=1,2,*(4)巳Cr)在区间一1,1内有月个不同的实零点.4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？答当权函数Pa)=>=f,区间为-1,h时，由序列i,n,1:正交化得到的正交多项式称为切比雪夫多项式，可表示为T#(j7)=ccm(Marccos工)，h1,其重要性质如下:(1)递推关系JTU(N)=I»TI(Ir)=工，l1(x)=2hT,z)-TiGr),n=1,2,.(2)正交性0*nm;二Ux=<丁,n=用工0,mTlNm=0.(3)T"(外只含工的偶次帮，T"+di)只含N的奇次器.(4)T<r)在区间-1,1上有九个零点21工占三cos一靠,无=l2<ln.（5）T<h）的首项系数为23=1,2,）(6)设了"（三）是首项系数为1的切比雪夫多项式，行.为首项系数为1的次数不超过M次多项式构成的集合，则maxIfr(x)ImaxP（三）,VP(N)HnixlTGjF且嘿巾(M)I=S5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？答切比雪夫多项式零点（切比雪夫点）是单位圆周上等距分布点的横坐标，这些点的横坐标在接近区间-1.1的端点处是密集的，利用切比雪夫点做插值，可使插值区间最大误差最小化，同时还可以避免高次拉格朗日插值所出现的龙格现象.在一定条件下可以保证插值多项式在整个区间上收敛于被插值函数.6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？答在最小二乘拟合中.利用求多元函数极值的必要条件并记tri仍，秒）=Zitl（Hd）勃（Hf）抄（Hd）,</>*）=2似Hj八利）8（若）三成，=o,n,则称关于4G=o,l,n）的线性方程组2（抄,昭1修n4,-0lf»n为法方程,也可以写成矩阵形式Gfl=d其中l-（a9*,a11）,d=Cdq.由，,dIl）L（抻，PC）（依,p）（/,勺.）（尹，野）（中1，抄）（例，$?"）G=：.（p*,50）（阴呼L）（沙，侬）.当拟合多项式的次数n较大时，法方程的系数矩阵G一般是病态的.数值求解法方程不稳定，因此不直接求解法方程*例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题，四、第4章数值积分与数值微分1.给出计算积分的梯形公式及中矩形公式.说明它们的几何意又.答梯形公式/："幻必弋宁/（a）+/3），其几何意义是用上底为八）,下底为f"）,高为b-a的梯形面积近似曲边梯形的面积（积分值）.中矩阵公式J"h）"%-a）/（）,其几何意义是用长为&一a,宽为/（审）的矩形面积近似的边梯形面积（积分值）.2.什么是求积公式的代数精确度？梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少？答若某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确成立,但对于m+1次多项式不准确成立,则称该求积公式具有m次代数精度，梯形公式的代数精度为1,中矩形公式的代数精度也为1.3.对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法.答给定求积公式的节点5+1个），可取代数精度m=n,令求积公式对义工）=1,工,，X-都精确成立,然后求解关于m+1个求积系数的线性方程组，确定求积系数.也可以利用求积节点构造关于被积函数的插值多项式，用插值多项式的积分作为积分的近似值,从而构造出插值型求积公式,事实上这种方法中的求积系数就是插值基函数的积分4.什么是牛顿一柯特斯求积？它的求积节点如何分布？它的代数精确度是多少？答将积分区间作等分，由等距节点构造出的插值型求积公式称为牛顿一柯特斯公式，由于是插值型的,所以"阶牛顿柯特斯公式至少具有H次代数精度.但实际上，当n为偶数时，牛顿一柯特斯公式至少具有n+1次代数精度.5.什么是辛普森求积公式？它的余项是什么？它的代数精确度是多少？答m=2时的牛顿一柯特斯公式为辛普森公式，即S=号/+"（审）+了3），其余项R"=-喘（宁）7”5），7U,b）,辛普森求积公式的代数精度为3.6.什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式.答为了提高精度，通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），在每个子区间上用低阶求积公式，这种方法称为复合求积法.若将积分区间三*打分成M个小区间，在每个小区间上使用梯形公式,则为复合梯形公式，即=表小+2歌三）+/3汀，余项R.S=-、/*")'(a.*).7.给出复合辛普森公式及其余项表达式如何估计它的截断误差？答复合辛普森公式s=r÷42/<J¾+Il)+22/Cxt»/«>.0*=0*=1余项表达式=-""S3广3皿若/G)eca,口,则复合辛普森公式的截断误差7(x)dr-S.()'m«I尸>(工)I.8.什么是龙贝格求积？它有什么优点？答龙贝格求积是从梯形公式出发，将区间逐次二分,通过外推算法，逐步提高求积公式的精度，其优点在于通过一次次的加工，用阶数较低的求积公式得到高精度的结果，便于编程计算.9.什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精确度是多少？为何称它是具有最高代数精确度的求积公式？答高斯型求积公式是适当选取求积节点和求积系数z,A,8=0,1,，n),使求积公式具有2n+l次代数精度，高斯求积公式的求积节点称为高斯点.节点x0,x,x,是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式(X)=(XX0)(Jf-Ii)''(X-X.)与任何次数不超过n的多项式P（三）带权P（三）正交，即Jp(x),-(z)p(x)dr=0,所以通常将求积节点取为"+1次带权正交多项式的零点.10.什么叫高斯-勒让德求积公式？什么叫做高斯-切比雪夫求积公式？在高斯求积公式中，若取权函数P(X)三1,区间为-1,1,则得公式：j/(M)dz公式3勒让德多项式的零点就是公式3的高斯点。形如公式3的高斯公式特别地称为高斯-勒让德求积公式。若取PdH)=H的零点工。=0做节点构造求积公式,()d:Ao(O),令它对/("=1准确成立，即可定出4=2.这样构造出的一点裔斯勒让德求积公式是中矩形公式.再取PZ（三）=43jz-1)的两个零点士上构造求积公式fj8d%M-%)+Aj(%),在例8中已经得到Al=A=I庙此求积公式为1.f（三）必七/(-%)+/(%).三点高斯勒让德公式的形式是JjHE改(-争)+/(0)+(弯)表4-7列出高斯勒让德求积公式(6.11)的节点和系数.表47高斯-勒让僚求积公式的节点和系数舞S.4H石4O0,00000002.00000003±0.8611363±0.339981O0.34785480.65214521±0.57735031.00000004±0.9061798士0.53846930.00000000.23692690.47862870,56888892±0.7745967O.000OOO0。55555560.88888895±0.9324695±0.6612。94±623861920.17132450.36076160.4679139若U=-IM=I.且取权函数则所建立的高斯公式L7As(6.14)2A I2 72 +称为高斯-切比雷夫求积公式.由于区间1,口上关于权函数T=r的正交多项式是切比雪夫多项式(见3.2节)，因此求积公式(6.14)的高斯点是n+1次切比雪夫多项式的零点.即为克=0,1 , ,.1通过计算(见文献2)可知(6.14)式的系数At二士，使用时将"+1个节点公式改为"个节点，于是高斯切比雪夫求积公式写成卜6.15)(2-l)=cosi-'公式余顼由(6.10)式可算得，即Rj=Fjjr'""'76(-lD(616)带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分IL什么叫做中点方法？数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值.按导数定义可以简单地用基商近似导数，这样立即得到几种数值i»分公式HaF仆+?_&>,/()七Aa+=(D,其中A为一增量,称为步长.后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算术平均,但它的误差阶却由O(A>提高到CSD.上面给出的三个公式是很实用的.尤其是中点公式更为常用.中点公式：Gh)f(a+)/(aA)212.插值型的求导公式：(1)两点公式：设已给出两个节点羽，工I上的函数值/(4)八七)，做线性插值得公式对上式两端求导，记Ni-T(J=/1,有F,(x)=：-/5+/5)，于是右下列求导公式:P,1<j-1,)-"八口)-八工。)；P；5)=:/5)-八小)而利用余项公式(8.4)知.带余项的两点公式是5"7-/()八当力一/"(】)=?5/(-T0)+ff<>(2)三点公式:设已给出三个节点。，4=n+Ax1=xo+2A上的函数值.做二次插值、(M-Jj)Cr-Jr?).,(X-X0)(X-J2)、P7(j)=7LTT/(了。)+7w17("(0-XiXx0x2>勺一(工1一口).HJto)(ZJT)、+7C网*(TjJ,0Mx：Ji/令I=EC+段.上式可丧示为凡(才.+小)=4(】)(，一2)(x0)一"<2)/(j)+-r-H1)/(Xx).两端对，求导.有K(XlI+质)=(2,-3)/(H(I)-(4，-4)/()+(2，Df(T8)I(8.5)这里撇号(')表示对变域上求导数.上式分别取，=0,1,2,得到三种三点公式：P；(Ho)=3(o)+4/(z1)<x2)Pz<X>=-/(Xq)÷<j>PNNZ)=/八工。)4(x)+3(xJ.而带余项的三点求导公式如下：Go)=3(*o)÷4(x)/(x>+/"(&);/)=京一/(工。)+4)一广():(8.6)，3=<.>-4(x)+3(x,)+w<fc).其中的公式(8.6)是我们所熟悉的中点公式.在三点公式中，它由于少用一个函数值/(Hl)而引人注目.用插值多项式P"(J)作为八力的近似函数.还可以建立高阶数值微分公式：*,(j)¾Pio(X)*=1,2,.例如，将(8.5)式再对，求导，次.有匕S+S)=(x0)-2(x1)+/(X2),于是有匕(Hl)=£f(Hl-A)2(x1)十/(工1+A.而带余项的二阶V点公式如下：尸5)=j(x1-A)-2(x1)+/(x1+-r”(s).相关例题在教材第4章作业题和课件中。五、第5章解线性方程组的直接方法1.用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答因为高斯消去过程中需要用主元素a肾)*=】，2/，一1)作除数，所以如果出现alT=O,那么消去过程将无法进行，而且即使主元素*0,但其值很小，那么如果用其值作除数，也会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后导致计算解不可靠，因此用高斯消去法需要选主元.当线性方程组的系数矩阵A正定对称时.高斯消去法不需要选主元.2.高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组AX=B有何不同？A要满足什么条件？答当不需要选主元时，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角矩阵相乘的因式分解，即LU分解,A=LU,且这种分解是唯一的.当需要进行选主元(列主元)时，高斯消去法相当于先对A进行一系列行交换，然后再进行一般的高斯消去法，即存在排列阵P使PA=LU.能进行LU分解的条件是A非奇异.3.楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？答当A为对称正定矩阵时，可以进行楚列斯基分解，与LU分解相比，楚列斯基分解具有数值稳定,计算址、存储址小的优点.4.哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？答当线性方程组Ax=b的系数矩阵A为对称正定矩阵时，可以使用平方根法进行求解,由于在4的楚列斯基分解A=LLT中满足%=2&,f=1.2,n.即分解过程中元索"的数量级不会增长且对角元京匕恒为正数,所以不选主元的平方根法是-个数值稳定的方法5.什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？答当系数矩阵为对角占优的三对角矩阵时，可以用迫赶法求解.由追赶法的计算公式可以看出计算过程不会出现中间结果数量级的巨大增长和舍人误差的严重:积累.所以追赶法是数值稳定的6.何谓向量范数？给出三种常用的向最范数.答如果向量XeRF或XeC')的某个实值函数N(X)=IlXll,满足条件：(1)HXlI0,且Iljrll=OQX=0;(2)IIaXI=lIlxll.UrR(C);(3)Il*+,IlIlXIl+IlyIl,则称N(X)是RY或C")上的一个向量范数(或模).常用的向量范数有IlXllB=maxIxl1（8一范数）,】«UL-IXrI3-范数)，x,=()p,(2-范数).7.何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(%)的三种范数1|AII1.IlAll2,IlAIQIIAh与IIA人哪个更容易计算？为什么？答如果矩阵AWR'X"的某个非负值函数N（八）=IlAll满足条件，(1)IlAlIO,fi.IlAll=OUA=O;(2)IlSll=IClIlaIl,。为实数；<3)IlA+BIlIlAIl+11BIl；HABqWllAllIlBlI,则称N（八）是R"*"上的一个矩阵范数.设XeR',ACR'X",给出一种向量范数IlXll"相应地定义一个矩阵的非负函数UAIl,=max，则iAIL为R"X"上的一个矩阵范数，我们称IlA13为A的算子范数，也称从属范数.常用的矩阵范数行：HAIl1=maxXJI.I(称为A的列范数)，IlAh=jAA)(称为A的2-范数)，DA1!g=max2Ia0|(称为A的行范数).与Il4IlZ相比，IlAh和IlAII8更容易计算，因为IlAllZ需要求ATA的按模最大的特征值,比较困难,而IlAllI和IlAll.则不然.8.什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答设A为非奇异矩阵,称数8nds)"=IlATllJAll<v=l,2或8)为矩阵A的条件数.当A的条件数相对较大，即cond(A*l时，线性方程组Ax=8是病态的.当A的条件数相对较小时，线性方程组Ax=b是良态的，A的条件数越大，线性方程组的病态程度愈严重.附：1.LU矩阵的推导过程4.试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式,其中L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵.解设A的CroUt分解为4=LU,即A=由矩阵乘法，知Qn=£%i三s12j*n1Sjji=EiiNIjTj23*,*,w故1=fiaP2=1l2,¥Jl,Ulj三IJ=213犷,乩设已得到L的前4一1列和U的前上一1行，则-上山"迷=几口/=2"&淡+t=克,*-1,E,因而L的第4列A=a*-2右"淡，1=上/+1，,小又由河*-1-=X0,%=2L/三X人Uy-屐u与,j=4+1决+2.E,所以U的第出行a-1月"*Vb产j三A+1,4+2,M就此得到计算Crout分解的计算公式为Gl=,i=1,2，用，Ulf=，=2,3,，2注二口鱼一gIuUa*i=E,A+1，E0野一£/HU”f 1 lt的解.解设1T12HLNl+ % + =8, x2 + 2x3 = 8则由对应元素相等,丁 = “12，了 = 21 “12 + U22=>IZj2 =而,1 = Zji "12 + Zaz"22z2a2 = 36 ,y = MlS 可=/21n13 十 u23=>u23 =一 西，故A的杜利特尔分解为2 = Zyi "13 +/32"23 + "33="33 = T7"1A =LU = y20005Il0060450I?15_解Ly= 6 ,得V = 9， yi =4， ” =134,解UX = y,得X3 = 177. 69, x2 476. 92, Jj = 227. 08.例题:8.用直接-：角分解（杜利特尔（Doo!itUD分解）求线性方程组I1,14+2+L3=9,569.用追赶法解三对角方程组人 = b,冗中'2一 1A= OOOO O 02 -1O O0'丁OO解设A有分解由公式O - 1O O0OJ仇1仿1限仇=s，CI=Cti«仇=ai-+,£=2,3,4,5,c,=a&,i=2,3,4,其中"G=I,?,，5),c(i=l,2,，4)分别是系数矩阵的主对角元素及其下边和上边的次对角线元素.具体计算，可得殳4色同=一/,=-y.自=一1，=由得了5=豆.工4=?'4=2'*2=可*Xl=g，六、第6章解线性方程组的迭代法1.写出求解线性方程组AX=&的迭代法的一般形式,并给出它收敛的充分必要条件.答求解线性方程组4x=b的迭代法的一般形式为j<mj=x<*>+=04,2t*,迭代收敛的充分必要条件是P(B)VL2.给出迭代法*÷'>=-Bw+/收敛的充分条件、误差估计及其收敛速度.答对于迭代法F""=8/"+/,如果B的某种算子范数IlBll=g<l,则迭代法收敛，旦有误差拈计XTU*Iix-XglI,Ilx-i,H-U>-x'*,Il,I*-XwIiq8Il,迭代法的收敛速度R（三）-Tnp(B).3.什么是矩阵A的分裂？由A的分裂构造解AX=6的迭代法，给出雅可比迭代矩阵与商斯一塞德尔迭代矩阵.答称A=M-N(其中detMO)为A的-个分裂，利用A的分裂A=MN可以构造法代法*u+"=MTNMC+AT18,4=0,1,2,，.若将A分裂为A=D-L-U,其中gD=.0一&21°-Qu41,2O.-%1-电-4.I0.Ua一口H¼0一例.1R眼U=:O%E则雅可比迭代法的迭代矩阵为BJ=DyL+U),高斯塞德尔迭代法的送代矩阵为Bs-(D-L)-1Ut4.写出解线性方程组4t=b的雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法的计算公式.它们的基本区别是什么？答稚可比迭代法的计算公式为WG=(H产，工产，.工俨儿工产”=(瓦2%产产)/a»，f=1,2,nA=OJ,*仁：高斯一塞德尔迭代法的计算公Xi户=(工产，制,君>,工产"=(瓦一W以户严一Wa同")/口日，3=1,2,.71$人=0,1,.产1ji+两种迭代法的基本区别在于雅可比迭代在计算工产"时没有使用变量的最新信息，而高斯一塞德尔迭代在计算*"+"的第I个变量工尹"时，利用了巳经计算出的最新分量6*f(j=l,2,“，t一1),所以高斯一塞德尔迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进.5.何谓矩阵4严格对角占优？何谓A不用约？答设A=(%*x”，如果A的元素满足l%l>2,J'i=l,2,n,，百则称4为严格对角占优矩阵.当"2时,如果存在置换矩阵P,使-AIIA?.0A”其中AU为r阶方阵,Az：为n-r阶方阵CIr),则称A为可约矩阵.否则，如果不存在这样的置换矩阵P使上式成立，则称A为不可约知阵.6.给出解线性方程组的SOR迭代法计算公式，其松弛参数/范围一般是多少？A为对称正定三对角矩阵时最优松弛参数3喧=?答求解线性方程组AM=S的SoR方法的计算公式为尸=(R%H产，工产户，工尸"=工产+3(仇一工产"一*%工厂a*i=12.r,n:A=0,1,./-I/-il松弛因子3的范围一般为O<1V2,只有在这个范围内取松弛因子3,S0R方法才可能收敛.当A