数列题型与解题方法归纳总结.docx

知识框架数列的概念、"数列的分类数列的通项公式-函数角度理解数列的递推关系等差数列等差数列的定义r,-fl=d("N2)等差数列的通项公式"=g+5-l)d等差数列的求和公式Sjt="|+a")=m。j+"与1)d等差数列的性质a”+a,”=ap+aq(m+n-p+q)数列4两个基，本数列"等比数列，等比数列的定义乌-=g("N2)a"-1等比数列的通项公式a"=qg"T%-""9。1(1-9")等比数列的求和公式S”1*fi(g=D等比数列的性质"“,“=apaq(m+«=p+g)公式法分组求和数列V求和"错位相减求和，裂项求和倒序相加求和累加累积.归纳猜想证明数列的应用分期付款 其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题a一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为>+=+d及an=q1(d,q为常数)例1、已知%满足vi=a11+2,而且a=l<>求a1,<,例1、解.a"L=2为常数.an是首项为1,公差为2的等差数列a,=l+2(11-1)即a11=2nT例2、已知j满足,+=；“，而=2,求=?解：是常数%2UJ是以2为首项，公比为T的等比数列也，2,出X击(2)递推式为an÷=+f(n)例3、已知SJ中=n+i=«+-,求.令n=l,2,，(nl),代入得(nT)个等式累加即(&-&)+(a3-a2)+(a11-an)三()*(-7)+；*23352n-32nT-%时22n-Ja«=i+-(l-)=-22一14一2说明只要和f(1)+f(2)+f(n-l)是可求的，就可以由a*a11+f(n)以n=L2,，(n-l)代入，可得nT个等式累加而求改。(3)递推式为an÷=pan+q(p,q为常数)例4、J中，4=1,对于n>l(nN)有41=3_+2,求.解法:由已知递推式得nu3a112,小二3“+2°两式相减：a11-c-3(ci11-a111)因此数列瓜"f是公比为3的等比数列,其首项为a厂a产(3X1+2)-1=4六也市二43川Vaflq=3afl+23a+2-a11=431即=23n4-l解法二：上法得an*-cul是公比为3的等比数列，于是有：a2-a=4,a11-a2=4，3,a-as=4。3",a-an=43把nT个等式累加得：&-a=4(l÷3+3÷*'÷Jft<)='"'a=23n-l-l*】-3递推式为a.1=pao+qn(p,q为常数)Kfffcl己知(/)中/=KnW+(3)"L求"63W略解在az=；+(白f的两边乘以L得2*3=?Q”+1,令工=仁1=+<于是可得7bn-bn=hn-bnA)由上题的解法，得：",=3-2(/".说明对于递推式%.1=pa.+q*,可两边除以ql3得*=:TT引辅助数列-g喑>得人尸后用递推式为a"2=Mw+qa"思路：设61+2=产7"1+44"，可以变形为：anaa=aan>+B=P就是ap= (a + B) an,1 - a an，则可从L解得a，B，la*B=-q显于是aaan是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。例6】己知数列仇冲，-1,"2,%.广?j+弓*求小Q分析Q+ B=p =-2 G ÷ =1 3解在a".215%1+尹两边减去f得(%-a+)=-(Wf)(a*"-aj是公比为-,首项为a?-a=1的等比数列.%7L(g)°+(-；)»+"+(；)2，l+才I-(T)Z(6)递推式为SII与l的关系式此类型可利用a.1(0=1):SIk-SAl(n>2)【例7】设Iaij前n项的和S11=4-a*-/.(1)求%与、的关系；(2)试用n表示a11<>解(1)由Sn =4 -'-击得Sl=4 一%1 -尹 二 5"+ -E, =S"-qQ + (1I%+1 =&“ -a“+i +7721 I 2，2> I0" +裘上式两边同乘以2m得2."小"=2%.+2则2"aJ是公差为2的等差数列。.2A= 2+ (t-l) 2=2* _ na-三数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2,错项相减法：适用于差比数列(如果/等差，我等比，那么叫做差比数列)即把每一项都乘以的公比q,向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列?-和:'LI(其中al,等差)Ia"%+Jw"+""+J可裂项为：-=(-),LL=而&。用"44用¾+dYY等差数列前项和的最值问题：1,若等差数列/的首项6>0,公差d<0,则前"项和S"有最大值。(i )若已知通项a”，则SiI最大u> <:*0 A÷°,(ii)若已知S.="/+?,则当"取最靠近-X-的非零自然数时SjI最大;2p2,若等差数列/的首项6<0,公差d>0,则前"项和S,有最小值(i)若已知通项a"，则SII最小0彳"""0；(ii)若已知S.="*+"",则当"取最靠近-X-的非零自然数时S”最小;2p数列通项的求法：S1,(0 = 1)s“ s.,52)公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。/,(D就%。已知S"(即4+出+a”=/(")求4，用作差法：an巳知a1a2."“=/(")求g,用作商法：an已知条件中既有S,还有a"，有时先求S"，再求a“；有时也可直接求a,。若a"+i-a"=/5）求4用累加法："=（4-%）+（%-4-2）+（有-4）+a（n>2）0已知一±也=/(")求%,用累乘法：a"=-u-a1(/12)e巳知递推关系求。"，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如你=打小+8、an=kan+h"（左功为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为8的等比数列后，再求a"；形如a”=h（i+&"的递推数列都可以除以Jt"得到一个等差数列后，再求a"。（2）形如a.=#Lr的递推数列都可以用倒数法求通项。（3）形如a.,=t的递推数列都可以用对数法求通项。（7）（理科）数学归纳法"（8）当遇到,用-a"I=曲NiL=4时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将"和式"中"同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前"和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前"和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可"分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：Jfhh（?i+1）n"+1"（"+火）左"+攵=-1；(7+l)(x+2)2也5+1)5+1)5+2)一5+1)!川(/?+)!=2(« - J 1)2(Jr+1-五)=-=z<-4=11+H+1H二、解题方法:求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由SZl求a”（n=l时，a=S,n2时，an=Sn-Sn.1）3,求差（商）法< 1 ><2>如：E满足ga+/a+a=2n+5解；Ii-1UJ',a.=2X1÷5,.*.at=142n2Ll寸，一a1Ha,+*Ha=2n1+5vl>-<2>得：a=22an=2n+1.r¼（n=l）（n2）练习数列包满足工+S升I=I+|,a|=4,求%（注意到a=Sz-5jV4%甘=4又S=4,.Sn是等比数列，Sn=4nT2J1 2n一4、叠乘法例如：数列aj中，a=3,=34"求a11+12nL.a1WH'='-，=a1a2an.123naInXa1三3,，=n5、等差型递推公式由编-1_=f（n）,a1=a0,求%,用迭加法什2时，a*=f心一心"、两边相加，得:a.-%二f（n）,磊a=f(2)+f(3)+f(11)an=at+f+f+f(11)练习数列a/，a=1,ar=3"+a.(nN2),求a”=如T)6,等比型递推公式an=can-1+dc>d为常数，CHO,c1,dw)可转化为等比数列,设a。+x=c(a11+x)=镰=ca十(c1)X令(C-l)x=d,二X=dC-I.h11+/一是首项为街+工-,<:为公比的等比数列C-Ic-1.L.dLNda“=a+Jc一一Xc-1/c-1练习数列all满足a=9,3an+1+a=4,求a117,倒数法例如：a=ha+1=a"-,求a”an-2由己知得：L=H=L+,a11+2an2an111.=-拆川a重2<L为等差数列，-=h公差为LaJa21+(n-1)g=J(n+l)*_2nTl2.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。1+2+3+8 +1) +一-1+3+5+(2n-l)-n? +22 + 32 +a n(n + l)(2n +1) 十口 =Sl3+23+33+/=咤2%【例8】求数列1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),前n项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+好!k("+1)个奇数,2二最后一个奇数为：1+1n(n+l)T×2=n+nl2因此所求数列的前n项的和为1z、1÷(nan-1)"/(n+)'G+DL(2),分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例9求和S=I(n2-l)+2(n2-22)+3(n2-32)+n(n2-n2)解S=(l+2+3+n)-(l,+2s+3,+n3)=ns；n(n+1)-(M(n+l)*=-n3(n+1)(n-1)(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例10、求和：5"=3C：+6C；+-+311c;例10、解S“=0C：+3C：+6C：+3"：又 SL 3nC： + 3 (n-l) C, + -+OC1 相加，且运用Ci=Cr可得2S» = % © +C： + +C：) =3n 2. S.=3n 2r 1（4）,错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、求数列1,3x,5x1，（2n-l）x"前n项的和.解设Sn=l+3+5x?+(2nT)x"(1)当X=】时，SK=-n=nX=O时,Sn=L(3)当XWO且xl时，在式两边同乘以X得XSn=X+3x*+5x"+(2nT)x",(!>，得(l-)S=l+2x+2x3+2x5+-+2xni-(2n-l)x".由公式知SIl=(1+少(旨_)-(2n-l)x"IlXI-Xl*x-(2n+l)xa*(2n-l)*(1F裂项法：把通项公式整理成两项（式多项）差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：n(n+lc)kn(n 1X 2)2 n n + 1 n *2(2n-D+3)解%°(2n-)(2n+3)2(五二G-五二5)1111111111n4l537592n-32n÷12n-l2n+3j11,'4+32n+!2ji+31n(4n+5)一3(2n+1)<2n+3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列aj的首项a>0,前n项的和为S”，若S1=S*(lk)问n为何值时S.最大？解依题意.设f(n)=SLna】+W二-d.f(n)=<fc3+(aj-)n此函数以n为自变量的二东醪。YaAOSl=Sk(Ixk),.de0故此二次函数的图像开口向下，当x=-ytf(x)最大.f(n)中，nN.f(1)=f(k).当1+k为偶数时，n=二上时S最大。当1+k为奇数时.n=t*时Sn最大.2.方程思想【例14】设等比数列瓜前n项和为S"若S,+S.=2Ss求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解Y依题意可知q=l。.如果q=l,则S3=3a,S=6a),Ss=9a.。由此应推出a1=0与等比数列不符。Vql,有a】(-q3)+a】(l-q)2a(-q)。_q_q1-q整理得qi(2qfi-q-l)=0Vq0，2q'-q“=0q；=l舍，q：=-g此题还可以作如下思考：S=S3+q3=(l+q1)S3.S9=S3+q6=S3(l+ql+qfi),：.由Ss+S产2S,可得2+q'=2(l+q3+q),2q"+q*=03.换元思想【例15】已知a,b,C是不为1的正数，X,y,zR+,且-M】12#a=b7=C和一=zy求证：a,b,C顺次成等比数列。证明依题意令af=cJk2x=logak,y-IoghktZ=Iogrk.+一=XZy故提，需M3*.'bFc ；.a, b,C成等比数列（a, b, c均不为0）数学5（必修）第二章：数列一、选择题1.数列%的通项公式/=）*,则该数列的前（）项之和等于9.J+n+lA.98B.99C.96D.972.在等差数列j中，若S4=1$=4,则a"+/8+%9+20的值为（）A.9B.12C.16D.173.在等比数列,中，若/=6,且/-24-/+12=0,则"，为（）A.6B.6（-l）"-2c.62"-2d.6或6（-1）"'或6-2""二、摸空题1.巳知数列<,中，=T,+1an=+1-,则数列通项,=2.已知数列的S"="2+"+1,则li+,+|o+a"+/2=。3.三个不同的实数。,b,c成等差数列，且,c,h成等比数列，则a:h:c=,三、解答题1.已知数列%的前"项和Sl,=3+2",求%2.数列IglOoO,lg(100Ocos60°),lg(1000cos26O0),.lg(1000cos"T60°),的前多少项和为最大？3.已知数列a,的前n项和为$,满足S“=2a“-2n(nGN+)(1)求数列aj的通项公式a”；(2)若数列bf,满足bll=log2(a.+2),Tll为数列-Q的前n项和，求证T“L；%+22