南工程线性代数复习题期末复习题及参考答案.docx

专升本-线性代数试题库一、填空题I.设45均为3阶矩阵，A=2,B=-3,贝"乂=4.设A是三阶方阵，A"是A的伴随矩阵，A=;,则4尸-10£=5-设A=Q(；LW=QlC224'则A-ZB=6.已知斜，且，&=2,贝(IM,4-延，a)=7.向量a=(1,2,3)7与B=(3,2,1)的内积为.8.已知向量组氢=(1,2,-1尸，a2=(2,4,m)r,aj=(l,m,1/,则数m=时，能由a|,%线性表示.(12-2：9.设A=4。3,且4的行向量线性相关，则=.j(2-33)110.设4元齐次线性方程组AX=0,R（八）=2,a12,a,为其解向量，且A=(2,0,1,5)二a2+a3=(2,0,6)r,则方程组的通解为.11.已知A?-2A-3E=。，贝(I(A-2E)T=.12.若向量组a=(n+1)电=(,I2),tr一似0厂)线性相关，则常数，=(12-2)13.设A=4r3,3为三阶非零矩阵，旦AB=O,则I=.1(3-11)114.设a|=(l,l,0)和=(1,0,Iy都是矩阵A对应特征值入=2的特征向量，且=a1-2a2,则向量AB=.15.向量a=(1,2,3)7与B=(3,2,1尸的夹角的余弦值为.16.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,T,求*TA2+7A=17.若方程组A黑4x=0的一个基础解系中向量的个数为1,则R(A喉,)=18.设3阶矩阵A的3个特征三分别为1、-1、2,则2A=二、WgXy2341.设三阶行列式123=3,则XyZ1111I1依3-3;(C)6;-6.2.下列说法正确的是()（八）若A丰。，目.45=0,则5=0;(B)(A+B)(A-B)=A2-B2;(O若AB=AC,则B=C;(D)(A+E)(A-3E)=A2-2A-3E.1233.已知1 - 1 X是关于X的一次多项式，1 O 0()(A)-J;(B) -2;© I；(1 1 )4.设矩阵A = I ,则矩阵A的逆矩阵AT = (3 4)(4 -(-4 1)(1 -1(A) t1 ；(B); (Q-)'3 -1-3该式中X的系数为(。)2.()l(1-l I).I ；(例4(3 -4)5.设A、8均为同阶方阵，则必有()（八）卜+By=i+2AB+B'(B)()'=A1B1；(C)(A+B)(A-B)=A2-B2；(D)WM=kW.6.向量组Cl=(1,1,，1),C2=(2,2；-,2),Cm=(m,m,m)的秩为(（八）1；(B)2；(C)0；(D)*7.下列关于矩阵的秩的性质中，错误的是()(A) R(AB) = R(A);(B) R(Ar) =及(闺；(C) R(A* 5) = R(A+5);(D) A(A+8) = R(A)+ R(B).8.设A,8为满足Aii 的两个非零矩阵则必有H) A的行向量组线性相关, (B) A的行向量组线性相关, (C) A的列向量组线性相关, (O) A的列向量组线性相关,区的行向量组线性相关;B的列向量组线性相关;5的列向量组线性相关;B的行向量组线性相关.9.下面的变换哪个不是初等变换(A)以数仔0乘某行元素；(C)对调矩阵的两行；()(B)把矩阵进行转置；(O)某行元素的左倍加到另一行上去.10齐次线性方程组A,oo,X=0只有零解的充分必要条件是(A) A的列向量组线性相关;(B) A的列向量组线性无关;11.已知维向量组G2，,Cm(m>n),则()（八）GC,Q必线性相关；(B)CI,q,&必线性无关；(C)G,G,CB可能线性相关也可能线性无关；)以上均不对.12.设"以"矩阵A的秩为R（八）="-1,且6、<2是非齐次方程AX=的两个不同的解，则AX=O的通解为()（八）Z&,keR；(B)A2,keR；C)A(El-E?),AeR；D)左(&+、),AeR.13.设匕EK是齐次线性方程组Affi(J=O的三个线性无关的解向量，且R（八）=-3,则M-EEYE-E是方程组的（八）解向量；(8)基础解系；(O全部解;(O)行向量.()S-方阵A的属于同一个特征值的特征向量必定线性相关; 方阵A的属于不同特征值的特征向量必定线性无关；两个不同方阵的特征值必定不同； 两个不同方阵的特征向量必定不同.1个； 5) 2个； © 3个:(0A的行向量组线性相关；(" 4 个.(D) A的行向量组线性无关.14.下列一说法中正确的个数为(x1+2¾-2x3=0,15.三阶矩阵5士0,且B的每个列向量是方程组2r1-x2+Ar3=0,的解，则人=lM+天"3=0(1；5)2;(C)3;£)4.16.设P是可逆阵A的对应于特征值4(人士0)的特征向量，则P不一定是)的特征向量-（八）(A+E)2;(B)-2A:(QAr;17.下列关于正交矩阵说法错误的是()（八）正交矩阵的列向量必为单位向量且两两正交:(B)正交矩阵必为可逆矩阵；(C)正交矩阵的行向量必为单位向量且两两正交:(D)正交矩阵的行列式必为1.18.如果A-E可逆，贝|()(A) A的特征值不为0；(C)数1必定是A的特征值;(B)数1必定不是4的特征值;(D)以上说法都不正确.三、计算题1.计算4阶行列m理a -b理QaQ-2-2-3122.计算4阶行列式D=130-602-I-23.计算4阶行列式力=2 6 2 1(2IT(14)4.解矩阵方程AX-8=O,其中A=21O,5=卜13.I(ITl)|(32)1(O33)5.设4=11O,AB=A+28,求B.1(-123)1(210)6.设A=120,矩阵B满足AB4*=2R4*+E,求矩阵5.1(001)17.已知矩阵4满足(4-2砂(24+3e)=0，验证：A+E可逆，并求(A+E尸.8.设2=(2,-2,1)a=(0,1,-1),试求常数左,右，使B=%a1+k包是与a,正交的单位向量，并求62-10)9.求矩阵A=-120的所有特征值与特征向量.I(ITI)I(-211)10.求矩阵A=020的所有特征值与特征向量.I(Y13)320)11.求矩阵A=230的所有特征值与特征向量.0212.求矩阵A =0217)13.已知向量组a| =f % =/ OLr =-58 39-12(1)向量组的秩；(2)求Y极大无关组,并把#余向量用该极大无关辘性表14.己知向量组=；%=；固=:产=；4=；,求：(D向量组的税。4)(4)(2)(0)(6)一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.15.设向量组a=(,o,o)',a?=(-1,-I,o,)r,a,=(2,0,1,1)r,a4=(0,-2,-1,-1)r；求(1)秩/?9|323,白4)；(2)向量组aa,a,a的一个极大无关组；(3)将其余向量用(2)中所得的极大无关组线性表示.依+(A-IKZ+x3三116.设线性方程组t+也+/=2,则当取何值时该方程组：(1)2rl+2(火-l)x2+能=2无解？(2)有惟一解？(3)有无穷多解？并求出通解.产+¾-X3-I,17.方程组2,+(+2h,+(-b-2),=3,当常数点取何值时(1)无解?(2)3,+(÷2A1=-3,有惟一解？(3)有无穷多解？并求出通解.18.设有线性方程组问当我满足什么条件时，方程组(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.四、证明题1.设向量A可由向量组a1,a-aj线性表示，但不能由向量组a1a线性表示.求证：（1）a、不能由a1,生线性表示，（2）a；可由a,a2f线性表示.2.已知f-2A+E=0,求证：A+E可逆，并求其逆矩阵.3.设屋-34+2e=。，证明4的特征值只能是1或2.4.设向量组A:a”a?,a,线性无关,求证：向量组8g,3a+2a,2a,+7a,线性无关.专升本-线性代数试题库答案一、填空题2 ; 9. -3;10. ci(2,0,1,5)t+c2(2,0,1,6) ； U. g; 12. _1_; 13. -3：17. 3;18. 16.14.(-22-4)'工亍；16-78:二、选择题1.8；2.D;3.D;4M;5.D;6A;7.CD;9.B;10.B;LA;12.C;13.4;14.A;15.A;16.17.D;18.B.三、计算题1.解:q+6aaabQnF?b0CLa0-D=二=I=2,3,4一方OCoT?°-Zj00-C一方0aQbaa00C0=(-b)(T尸bC。-b0-C0-C04，广山1q2解：D=飞020-504-3-6=1X(-1+i2-1-2540-2504133.解：原式=00-5-30-40-6-254-30=1根(一1广12-2-545解I为22(因125TOl!OhT30O10(O(喻OOOO1O417!/2T-1432)所以X=-113-1-(-2-1)5.解：由题，e4-2E)B=4,产33因为(A-2E,A)=1-1°(-J2IF-IOllO)(1喻013253喻1。(011033)11(0033)所以5JIT23.I(IIO)033)(tIIOl喻2-123)I(-1-10IJ13250-2-2-2-oto)3303321.I23)10)U0003喻|010-10)1(o01323)356.解：因为A*A=AE=3E,由题可知A5A*A=2BA*A+A,所以3AB=68+A,即(3A6E)B=A,从而B=(3A-6E)"A,(030!21又(3A-6EA)=300；12(00-3；000)/300!10喻030；2blI(OO-31020：1001)!O311OO3O130-U302OlIo%喻I1/32/3O)所以B=2/31/30.(00-1/3)17.证明：由(4-2E)(2A+3E)=。得2f-A-6E=O,所以(A+E)(2A-3E)=3E,即(A+E)(A-E)=E,从而A+召可逆，且(A+E)T=：A-E.5 - / = 1 ,I 2)'h3力=(l-)P 入 1 =-(入-】)2(入-3)= 0,-1 2 -由正交性得4f1+(4/-2/)+E一g)=O,即G=3/，由单位向量得(25尸+(-2r+F)2+代入得r=土；，所以=土1，(22)'(2且B=IGF二卜或B=Ik'2-109.解：由Al-入EI=-12-01-1I-入得A的特征值为A=A=1,%=3.(1)当儿=%(14-E=-IK1解E=OOU喻MrsbBOOI，得基础解系:）Chl(1(0)P1T10=1。1，IwId)1属于人I=A2=1的全部特征向量为r1P+rm（0,2不全为0）.当4=3时,解(A-3E)=0.-1-1O)(I0-1)(1)4-3£=-1-10瞳0111,得基础解系：P,=-Ii,I(I-I-2)11(000)1|1)1属于人=3的特征向量为*6(&丰0).10.解：由 Al一入£| =-2-0-412 -I10 = -(+ l)(- 2)2 = 0,3 X得A的特征值为入=-1,2=入3=2.(1)当A=-I时，解(a+e)x=o.11、I-1)A + E =I O人430-qio10L4)(00得基础解系：Pl=Ib|，对应入1=-1的全部特征向量为APl(K丰0)(1)(2)当入2=入3=2时，解(A-2E)X=0.A-2E=OOO'OO141JOO对应入2=入3=2的特征向量为抬2+*中式网,自不全为011.解：由AllM=d-)(2-)(5-)=O,特征值为A=L2=2,A=5.(1)肖A=1时，求(A-E)X=O的非零解.(I10)(1)A-E，喻OO1,得Pl:-1,®意：此处基础解系不惟一！)I(Ood1(°)1属于A=1的全部特征向量为APl(尢丰0).(2)当人=2时，求(A-2E)X=O的非零解.(1OO)A-2E，喻OI0,得P?=|(00(J*,属于人=2的特征向量为j式月产0."1)(3)当人=5时，求(A-5E)x=0的非零解.1。；01OJ1UC11112.解：A喻0011-1X-2l0°10-1X-1.V002-24)(0002-y)(1-10)(1)A-5E，喻)001,御,=1,属于人=5的特征向量为叱(公产0).(1)当尤产1且y产2时，R=4：当ml且)，产2,或X产1且y=2时，R（八）=3；(3)当户1且y=2时，R（八）=2；13.解:4=®且，4饱总)：I2253)_I23-526-43-48-9I-41-3-122)253)-916-IOl-4692-4616-3216:【I0(00005-1)102101-210000)：1225喻001091-16-210100000)(1)向量组的秩为3：(2)一个极大线性无关组为a|,a2.a.；Ra4=5a1+2a2-2a,a5=-a1+a2+a,.(I3OJ2)-IO3-1I27125(442O6)14.解：A=(a,a2,a3Aa5)喻003 03 31 18 2I0042-/喻I JI IlllO 02) (OO()I50I 2) 0 E -2 3 0 0)(10 0 -1/50 1 0 "5喻OOl -2/5(0 0 00(1)向量组的秩为3；4-5)2；53/510 )（2）一个极大线性无关组为a-a, a,；122 一且a, a + a。a， a$55 " 515.解：4-a523+ a, + a?.55lL1因为电1也同也）=-1-1I20I10I;喻-1)(O O 0-1-2OI2211-2K(0-1 2 O)-2 2 -2 11-1, O 1 -i；(I-12。）yH2I002)017I喻。1-1II喻I01Q002-2sj.001001-1(0O1-1)(0000)(0000)喻所以<al,a2,ava4)=3；（2）a1,a,.a,为一个极大线性无关组（不惟一）；=2a-a.上-1-1116.解：由4=女k=O10=网R-2)=0,得A=0或2.2k2(k-l)/I。°左-2(1)当女士0且女士2时，R（八）=R(A,b)=3,此时方程组有唯一解.(01-1-J)(2)当左=0时，(AR)喻)012I，R（八）=2<R(A力)=3,此时方程组无解.(0004)1P0I0)当女=2时，(A,力喻0101，R（八）=R(B)=)(0000)1解.(一|通解方程组为(x2=1,所以原方程组的通解为X=C17.解：对增广矩阵施行初等行变换11-II),1(A,b)=23+2)(电-2)3J'喻01(0-3a+2h-3)11(0-3=2<3,此时方程组有无穷多_L)%信0+IG=R)IiO)I)-b1l历a+2b-3y(11=1"J0abI(00a-b当=0时，R（八）士R(B),(2)当4士0且"士人时，r（八）：(3)当0士0且=b时，R（八）:rI-11)(AD输0口F1FJ)QOeJ1)1I-B故方程组无解：=R(B)=3,方程组有惟解：=R(B)=2<3,方程组有无穷多解，(11-1I)I1。T)匚40I-IJFToI-IIIoOCn000)11(1!)二)LP)I:(C为任意实得到同解方程组为('故通解为+I=Cll-+1M.=+；，(M（三）I01I)l数).18.解法一：因为1 + 入)I入 一入 37- -(2 + )-为1 + "：I1(A,b)=11+(l+111l+喻IO-I(00-(3+)(1)当人产0且人产-3吐R（八）=R(B)=3,方程组有惟一解;当A=O时，(Ab)喻Ib003I，R4)=LR（三）=2,方程组无解;(0000)1当A=-3时11-2(4”)喻0-33(000-3)6喻°)1001(00-10T)-2°)R=R(4,b)=2,方程组有无穷多解,W，数).Iy)I1(，13解法二：由题H=-(+3),(1)当jst0目Ar-3时，A产0,此时方例且有告解:IP110)(I110)当入=0时，(/U)=卜113UOOO3I,R（八）=I,R(AQ)=2方量目)(1110)1(0OO()1?;：1I-2(1O-I-1)当入=-3时，A力)=I1-23喻01-1-2卜(-211O)l(0OO0)1R（八）=R(A,b)=2,方程组有无穷多解，且通解为IL-2ILCliJ(C为任意实数)Ia)Ii(，(i)四'证明题1.证明：(1)假设a:能由乱,生线性表示，而由条件6可由向量组、a,a,线性表示，从而A可由a电线性表示，与条件矛盾，故劣不能由4.&线性表示:由S可由aaa线性表示得B=Kal+&a?+&包，则%干0,否则与条件“0不能由2,a,线性表示"矛盾，所以a=IB-?a:a,即a,可由aa串线3性表示.2证明：由题得(A+E)(A2-A-E)=-2E.即(A+E)(二)=E,所以A+E可逆，且(A+E)T=/->.3.由于设4是A的特征值，即满足AX=x,X干0,从而(A?-3A+2E)x=(入-3+2)x=0,X干0,故入2-3入+2=0,所以入=1或入=2.4.证明设qa+Jt2(3a1+2a2)+,(2a,+7a,)=o,从而(K+32)a+2(%2+3电+7aj=0,因为a"4,a,线性无关，/I+3期=0所以&+%=o,即=&=抬=o,Ik=o因此向量组B：a|,3a1+2a2,2a2+7a3也线性无关.