南邮复变函数综合练习期末复习题.docx

复变函数综合练习注：此版本的综合练习册对应教材是复变函数，西安交通大学高等数学教研室主编，高等教育出版社，第四版，ISBN978-7-04-005553-8第一章复数与复变函数一、填空题1.若x+l+心T=+j,则尤=:T=.5+3/'2.若(3+4r2f),则Re(Z)=:iarg(z)=。3.若z=y，则Re(Z)=：Im(z)=：arg(z)=4,若Z=一4产+i,则Re(Z)=?tn(z)=；a(z)=。5.设Z=22i,则argZ=,Inz=.6.设=ln(l+2i),则Re(<y)=；Im(<)=7.z=C,则Z=；2.点Z(J的去心邻域是()A.单连通区域B.多连通区域C.无界区域D.以上都不对3复数z=-2(cosg-ism;)的幅角主值为()汗C乃c5万C5乃A.-B.C.-D.33334.设z=2-2i,则argz=()开Cb笈C灯A.-B.C.D.22445.设z=2-2则InZ=()3、r我CTTe3、冗A.ln2+-B.In2C.ln2÷-D.In222222424第二章解析函数一、填空题1.设函数/(z)=y,则F(Z)=。2.设函数/(z)=z则/'(Z)=。3.设函数0)=L则r(z)=。4.设函数/(z)=z+z则r(z)=.5.设函数/(z)="(x,y)+iv(x,y)在点Z=X+»可导，则“(x,y),V(X,y)在点z=x+iy可微，且满足：；(2).6.设函数/(Z)=ZSinz,则由/(Z)所确定的二元函数"(x,y)=,y(x»y)=。二、选择题1.下列复变函数中，在Z=O处可导的是()A.f(z)=x+2yiB./(z)=z2C./(z)=-D./(z)=；2.如果函数/(Z)在ZO处可导，则/(Z)在Zo处()A.解析B.不解析C.不一定解析D.以上都不对3.函数/(Z)=三在点z=i处()A.解析B.可导C.连续且可导D.连续但不可导4.下列复变函数中，在全复平面上解析的是()A.(z)=x2-y2+i2xyB.(z)=x2+iyC.(z)=z2DJ(Z)=y'+沃三、计算题1.判断函数/(Z)=(X+y)+g在何处可导，并求出它在可导处的导数。2.试讨论定义在复平面上的函数/(z)=|zI2的可导性及解析性。3.设函数/(Z)=吗户+加/y+(+不解析，求：()常数/皿"；(2)广(z)。4.设u(x,y)=3/-3y2,求解析函数/(Z)=U(x,y)+zv(x,y)使其满足/()=?。5.求常数女，使V(X,y)=2x-Y+*刈2为调和函数。第三章复变函数的积分一、填空题CoSZj廿ddI1.I-dz=,其中C为IZl=K1.(N1)6*22.Jdz=,其中C为z=l.3.fJz=,其中C为IZl=L4.f!dz=,其中c为z=1.JUCOS25.fl-dz-,其中C为因=t.JC26.jzedz=其中C为IZl=L二、选择题丸为囱小叫含"，)D.2iC.2ircoslD.sinl3.COS ZdZ OA.2B.1C.iD.0三、计算下列积分1.zdz,其中C是IZl=I的左半部分取逆时针方向。2.lm(z)dz,其中。是由0到1+i的直线段。0Sin庇J'(z+2X2-l)28.j一dz,其中C为k-l=Ljc-l第四章级数一、填空题1.嘉级数的收敛半径为.2.事级数之C-的收敛半径为,1»3.幕级数Z（CoS山）z"的收敛半径为JI=O4.帛级数反（l+i"z"的收敛半径为H=O5.幕级数的收敛半径为乃=1"6.设*=NGz",则CT=二、选择题1.级数（）A.发散B.收敛但不绝对收敛C.收敛D.无法判断2.级数之一（）,=2InnA.发散B.收敛但不绝对收敛C.收敛D.无法判断A.发散B.收敛但不绝对收敛C.收敛D.无法判断4.皱数七噌CA.发散B.收敛但不绝对收敛D.无法判断C.收敛5.复数项级数的收敛范围是(A.z 1d.o<z<三、计算题1.将函数/(z)=一分别在：z<l,O<z-l<l,(3)z>l内展开为洛朗2.将函数/(z)=f分别在：(I)IZl<1,(2)l<z<2,(3)z>2内展开为洛朗级z2(2) 0<IZ-IlV 1 °第五章留数一、填空题1.函数f(Z)=*的孤立奇点为4=；玉类型是。2.函数/(Z)=曲"主"的孤立奇点为Zo=:其类型足3.设Z=Zo为了(Z)的5级极点，为g(z)的"级极点(m>"),则Z=Zo为/(z)g(z)的级极点；为的级极点。4.函数/(z)=#W的孤立奇点为ZO=:其类型是RCs(z),Z0=。5.函数/(z)=二的孤立奇点为ZO=:其类型为Zrcj(4=二、选择题1.Z=O是f(z)=吐的()A.可去奇点B.一阶极点C.二阶极点D.三阶极点2.Z=O是/(z)=*的()A.一阶极点B.二阶极点C.三阶极点D.四阶极点3.z=0(z)=一的()A.可去奇点B.-阶极点C.二阶极点D.本性奇点4.函数/(Z)=工二的孤立奇点为ZO=()A.0B.1C.2D.35.函数/(Z)=工二的孤立奇点的类型为()A.-阶极点B.二阶极点C.三阶极点D.四阶极点6.设(z)=,则ReS(T'(z),0)=(>A.0B.1C.sin1D.cosl7.设/(Z)=Sin“，则RCS(/(z),l)=()A.0B.1C.sin1D.cosl8.设/(z)=,朕，则ReSCn*7)=()A.sinlB.coslC.-sinlD.cosl22A.OB.JC,-2D.210.ril,2+cos284欢22B.11,A.产汽dx=(5-4cO4Hc21-B.23C.D.虚开三、求下列函数在指定点处的留数1./(z)=sin,Z=LZ-12.上)=7"。3.f(-,Z=Oe'z%+D4.z = 1 o/、 SUlZ 止E6. /(z)= z2 sin » z = 0。复变函数综合练习参考答案第一章复数与复变函数一、填空题1. 1, 11J -326arctan731322,-arctan 1334.1, -3, -arctan 34-ln2-26. In5 , arctan2÷2k.kZ2,火Z二、选择题1.C2.B3.B4.D5.D第二章解析函数一、填空题1.2z2.3z?4.1+3z2uSvd“执5.-=；=&yyx6.xsinxchyycosxshy,ysinxchy÷xcosxshy二、选择题1.B2.C3D4*A三、计算题1.解：因为/(Z)=(X+y)+ixy所以"(x,) = x + y ,兰I ,On 1 1 由/5vvm)w瓦/可=*要使函数/(Z)=(X+y)+hy可导，必须满足duv包_一包dx一办'冲-汝所以X=Ly=1,即z=l-j,所以函数/(Z)=(X+y)+g在z=l-i处可导，且它在Z=I-i处的导数为(=+)LI=口+M)LT=I/。xOX2.解：因为/(Z)WZl*=Y+/,所以(x,y)=x'+炉，=2x所以，这四个偏导数处处连续，但只在r=0,y=0处，才满足C-R条件,所以函数/(Z)=IZl2仅在Z=O处可导，但在复平面上每一点都不解析。3.解：(1)因为/(Z)=冲a+y+i(3+优y?),所以班(My)=InyJt+nxyf>=2ty,=3m+,1/,v(x,y)=x3+Zxy2,=3/+(/,=Ilxy,因为函数/(Z)=Sy3+n2y+,卜3+由2)解析，所以满足C-R条件,所以2nxy=2lxy,3冲？÷nx2=-(3x2+仅?)，所以，/=3,"7=1,=3.f,z)=+i-=-6xy+<(3-3y2)xx=3Z(2xyz+x2-j2)=3i(x+iy)2=3z2/4.解：因为U(X,y)=3/-3/,所以匆=6x,=-6yxy又因为/(z)="(x,y)+iv(x,y)为解析函数，所以"(x,y)与V(X,y)是一对共$6调和函数,所以"(x,y)与V(x,y)满足C-R条件，有/=，=6X,所以v(x,y)=J6x=6xy+e(x),所以史=6y+d(x),而一=,所以6y+(x)=6y,从而e'(x)=O,故奴X)=Coyox所以v(x,y)=6xy+c所以，/(z)=3x2-3y2+j(6xy+c)=3(/+2xy<-y2)+ic=3z2+ci又因为/(0)=i,所以i=ci,.c=1,所以f(*)=3+L5.解：因为V(X,y)=2x-j+kvy2为调和函数，史=2-3Y+,史=25,fixy2vS2白=-6x,=2xoy所以6x+2x=0,.Z=3.第三章复变函数的积分一、填空题1.O2.O3.O4.O5.2加6.O二、选择题1.A2.C3.D三、计算下列积分5(X=COSf乃3刀1解：因为CY,f：>-y=sinf223*= (COS/ + isin/) |； =-2i。所以JlZldZ=jd(cos%+isin)2.解:因为C的方程为z=(l+i)f,h0tl,所以Im(Z)dz=jf(l+,Mf=产=L%O223解：因为函数/(z)=zcosz在全平面内解析，所以fZCOSZJZ=zsinz+coszo=zsini÷cosf-14.解：因为函数/(Z)=ZeZ在全平面内解析，所以广1+j"r1+加.,1+加Iz/dz=J1Zdez=ZEIr-J1炉必=(1÷7ri)e71ee"'+e=*ie""'=-erLZ= 生LiZ -JM=2 N-I=2(2z-l)Li-2g'(2z-1)以=4欣.6.解:SU1ZH (z + 2X2z-l)2z+ 2sin z .-az1 C .,sinJTz×2(4 z + 27解:2fI=4z + 1 十 z-3此今+,ITz、八1C.(z+2)cosz-snz,)II=-x2-I1H=彳4(z+2)"EG2.=.252i×+2i×2=6m.占T18.解:?+1dz=2加-1,产市.y1E+1一第四章级数-V填空题1.2.3.1114.15.6.011.飞二、选择题1.2.3.4.5.BBCAA三、计算题1.解：(1)z<l时，F(Z)=z-1I-Z=-zz"M=O=£"(z<l)=O(2)O<z-<1时，/(z)=-(3)12|>1时，11<1,所以71*10>w±月=OZ用=一2.解：/(Z)=,=(''z2-z-23Z-IZKI时，典)=,I,32I+/2UR%-"口Nfl=0Ft=O=-.2尹+(7)"2"INKJM=Q二(2)l<z<2时，1上1<1,|三IV32XL2z-3122"匕Zn1BDEDZl=O4“=8(3)z>2时，2<1,所以/-/z2-3”2+ZJZD/"=O/刃=0/1Z-IZ-I11:z(z>l)2z+1)!3”2z+11：1,所以I)I<z<2I)=!e2"+(一1)h12f前>23fr=o3解：(1)O<ZVl时，77='=z"l'=>-ZJI二汽三O"三1所以F(Z)=1z"T=Ez"-20<2<l现Nw=n=l(2)O<z-l<l时，/=Z(T=("1)1+("1)=EfJLOVlZT<1"=0第五章留数一、填空题1.0,二级极点2.0.可去奇点3.m+njn-n4.-1,三级极点，-sinl245.0,三级极点，-3二、选择题1.A2.C3.D4.A5.C6.A7.D8.CISA11.B三、求下列函数在指定点处的留数I.解：因为/(Z)=Sin=Sin(Id)=sin1cosFcos1sin”1z1zlz-l=sin11r+cosl-5r+12!(z-l)2z-l3!(Z-I)3.,Coslsinl=sin1+丁-z-l2!(z-l)2所以，Rc5(z),l)=C1=cosl2.解：因为lim二一=Iim-!-=1,所以Z=O是F(Z)=一一的本性奇点,E夕X夕-1所以，Re式/,0)=03.解：因为Z=O是一L=z2(e?+1)的二级零点，所以Z=O是/(z)=的二级极点z(+1)所以，Res(z),0)=!limz2-r-,1!ZfU1(夕+1)工44.解：因为2=-1是函数/(z)=T的三级极点(z+l)所以，Re5(z),-1)-lim(l+z/SmZJ"，2!5(l+z)=lim(sinz)"=sinl»2X25.解：/(2)=-(l+2z+-4z2+8z3+16z4+)z4z42!3!4!_2_2_11_2_z3Z23z3所以,6.解:=z所以,4Rc5(z),0)=c,1=-.11+r5!户11)3!5l77+7!/Res(z),0)=j=J.O7!z7+)