南邮线性代数综合练习期末复习题.docx

线性代数综合练习注：此版本的综合练习册对应教材是线性代数，同济大学数学系主编，高等教育出版社，第五版，ISBN978-7-04-021218-1第一章行列式一、选择题1.设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则（A*）"=（-A det(A)B.AdcHA)C.Adet(A)DAdet(A*)2设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则AA*=（A.1B.A"C.IAliD.14n+,3.设A.B为n阶方阵,则必有（B÷lBA.AB=BAC.IA-B=A-B4.设A为n阶方阵，左为非零常数,A.IM=AIB.I左41=kI41C.抬|=A"TlAlD.U=*n5.设A是一个3阶的反对称矩阵，则1A|=().A.-lBOC.1D.无法确定二、填空题1.设矩阵A=(j则行列式IATAl=。2.设A为3阶方阵，IAl=3,贝J-2A=3.设A为3阶方阵，且-3A=9,则IAl=。4.设A、B都是n阶方阵，且IAl=-2,B=3,则IABl=.5.设矩阵A=(Ij),则IA*=.三、计算题111210121.计算4阶行列式D=121013442464273272.计算3阶行列式O=38835625652228918954443.计算4阶行列式D=44544544444512344.计算4阶行列式0=233441124123第二章矩阵及其运算一、选择题1.设A,B都是n阶方阵，且AB=0,则必有（）.A.A=O或8=0B.A+B=0C.|4=0或IEhOD. A + 8=02.设A, B, C都是n阶方阵，且ABC=E,其中E为n阶单位方阵，则必有（A. ACB=E B. BCA=E C. CBA=E D. BAC=E3.设方阵A满足A2-A-2E=0,则必有（）.A.A = -EB. A = 2EC. A可逆D. A不可逆4.设AB都是n阶可逆矩阵,则下列结论不正确的是（A. A+8一定可逆B. AB一定可逆C ATBT一定可逆D. ATBT一定可逆.5.下列矩阵中，与矩阵0 1可交换的是（6.矩阵A = （"：）为非奇异矩阵的充要条件是（）A. ad be = QB. ah cd = OC. adbeOD. ah-cd 07.下列说法正确的是（）.A.设A为n阶方阵,且A2=A,贝IJ A=E或A=O.B.设 A,B,C 为 n 阶方阵,AB=AC 且 A0,则 B=C.C.设A, B. C都是n阶方阵，且AB=E, CA=E,则B=C.D.设A为n阶方阵,且A?=0，则A=O.8.矩阵的逆矩阵是（）.59.设A为3阶方阵,A=3,则3A'I=().A11B,-IC.9D.-910.设A8,C都是n阶可逆矩阵，则（ABC）T=（）.A.A'B'C'B.B-'C'AlC.C-'A-,B'D.C'BlA'二、填空题f21.矩阵的逆矩阵为。'1O0、2.设矩阵A=0-10,则A的逆矩阵AT=.C0'371/213.设矩阵4=',B=',则2A-38=(20-J(-1-23)24.设矩阵A=1,则AY=.5.设矩阵A=A"是A的伴随矩阵，则AA=.三、计算题1.设2阶矩阵A可逆，且4一：j,对于矩阵片鸟=R令8=片4鸟,求BL-C2.设矩阵A=,矩阵B满足AB=A+2B,试求矩阵B.V2,3、B= -1 2J N/123、3.设矩阵A=O-1-2、0O-I,（1）求矩阵A的逆矩阵：（2）解矩阵方程AX=B.4.设矩阵A="-1,=31I，C=(2。矩阵X满足AXB=C,求矩阵X.四、证明题1.设n阶方阵A,B及A+B都可逆,证明：A-1+B-1也可逆.2.设"阶方阵A可逆，A*是A的伴随矩阵，证明：A*也可逆，且（4*）T=（AT）*.3.设方阵A满足A2-3A-7E=0,证明A及A+2E都是可.逆的,并求它们的逆.第三章矩阵的初等变换与线性方程组一、选择题1.若R（八）=2,则5元齐次线性方程组AX=O的基础解系中有（）个向量。A.1B.2C.3D.42.n元线性方程组AX=b,A为其增广矩阵,该方程组有唯一解的充分必要条件是（A.R（八）=R（八）B.R（八）R（八）C.R（八）=R（八）=nD.R（八）=R（八）n3.设刍,么03是齐次线性方程组AX=O的基础解系,则下列()也是该方程组的基础解系.A.与刍,与,柒等价的一个向量组B.与0,$，原等秩的一个向量组C.当+5,免+柒，备+备D.C-，%-久，与一一4.设AX=b为n元线性方程组，AX=O为其导出组,关于这两个方程组,下列说法中,正确的是()A.如果AX=O只有零解，则AX=b必有唯一解.B.如果AX=O有非零解，则AX=b必有无穷多解.C.如果AX=b无解，则AX=O也无解.D.如果AX=b有唯一解，则AX=O，定只有零解.二、填空题1.设A为3阶方阵，R（八）=1.A"是A的伴随矩阵，则R(A*)=q2.设A为4阶方阵，R（八）=3,A”是A的伴随矩阵，则R(A*)=。3.若R（八）=3,则4元齐次线性方程组AX=O的基础解系中有个向量。4.n元线性方程组A×=b有解的充分必要条件是.5.n元线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是.6.设%,a2,%是非齐次线性方程组Ax=b的解,MG自为常数,若无Ial+k2a2+k3a3也是Ax=b的解，则尤+电+自=。7.设齐次线性方程组4有非零解,则上=.3x+Ly=08.设%,%,CZ3是非齐次线性方程组AX=b的解，占,%2,3为常数，若占%+22a2+3右&也是Ax=b的解，则女1,女2，&的关系为-三、计算题1.设线性方程组$一%+2%3一2x-x2+OX3=2-XI+2*2+x3=(1)问,6为何值时，方程组有无穷多解.(2)当方程组有无穷多解时,求出它的通解.(要求用一个特解和导出组的基础解系表示)2.己知线性方程组(1)问0,%，%，为满足什么条件时，方程组有解？(2)在有解时，这个方程组共有多少个解？3.已知线性方程组,1X2=IWr=2/3一%=3J4_M=(1)问"为何值时，方程组有解？(2)在有解时，求出它的解。(要求用一个特解和导出组的基础解系表示)4.设4元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩为3,且它的三个解向量7,%,/满足彷=2,3,4,5丁，小+%=U23,4，求Ax=b的通解.5.设,(1+2)x1÷x2+x3=0<$+(1+4)巧+石=31.X1÷x2÷(1+2)x3=讨论4为何值时，此方程组有唯一解、有无穷多解、无解？并在有无穷多解时，求出它的解四、证明题1.设阶方阵A与B,满足48=0,证明R（八）+R(B)".2.设n|,in,n.是非齐次线性方程组AX=B的s个解，k,L,k为实数，满足k计k/+k=l,证明x=(k】T)n+k2n2+.+k*是齐次线性方程组AX=O的解。第四章向组的线性相关性一、选择题1.设=上,B=回也也1，a.°，仇0"=1,2,3）,则方阵A=B的秩为（A.0B.1C.2D.32.如果向量组线性相关，那么（）.A.这个向量组中至少有一个零向量.B.这个向量组中至少有两个向量成比例.C.这个向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.D.这个向量组中所有向量都可以由其余向量线性表示.3.下列说法正确的是（）.A.等价的向量组含有相同的向量个数.B.如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有一个零向量.C.如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有两个向量成比例.D.n维单位向量组是线性无关的.4.设向量组a=l,0,0,a2=0,0JMB=（）时,它是aa2的线性组合.A.0,1,2B.1,2,0C.1,0,2D.2,1,05.向量组，02,，Om的秩不为0的充要条件是（）.A.向量组Oh,（12,（Im中至少有一个非零向量.B.向量组Oh,02,（Xm中至多有一个非零向吊：.C.向量组a,O2,，（Xm中全部是非零向量.D.向量组CU,O2,（Im线性无关.6.设向量组6,O2,，Otm的秩为r（r，"-2）,则下列说法错误的是（）.A.向量组CL1,a2,-.（Im中至少有一个含，个向量的部分组线性无关.B.向量组at02,，（Xm中含r个向量的部分组都线性无关.C.向量组6,02,，Orn中含，+1个向量的部分组都线性相关.D.向量组Oh,CL21-,Om中含r+2个向量的部分组都线性相关.7.设a,a2,a3为3阶方阵A的列向量组,则m，a2,a3线性无关的充要条件是（）.A. | A | 0B. A 的秩 R(A) <3C.方阵A不可逆D.方阵A是奇异的8.下列说法错误的是（）.A."+1个"维向量必相关.B.等价的向量组有相同的秩.C.任一"维向量一定可由维单位向量组线性表示.D.零向量不可以由维单位向量组线性表示.二.填空题1.设向量a=(1,一2,3),户=(221),则向量以力的内积3/)=.2.设向量=(1,-2,0),/=(2,-1,1),且3-27+y=O,则y=.3.若向量(1,2,-1,0)与(-2,TM,0)线性相关，则k=.4.若向量(3,-2,0)与(-3,2,A)线性相关，则k=三、计算题1设向量组1=(l,4,l,0)r,2=(2,1,-1-3)r,3=(1,0,-3-l)r,4=(0,2,-6,3)。求向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.2.设向量=(1-1,1-3),/?=(-2,0,1,3),求(1)矩阵7>(2)向量a,的内积(a,/).3.设向量组%,2，4线性无关，令尸I=%+%,2=%+3，网=a3+%，试确定向量组?1，尸2,四的线性相关性.四、证明题I.设%,a?,，"是一个"维向量组，证明它线性无关的充分必要条件是：任一"维向量可由它线性表示，2.设向量:组%,%03，4满足r(%02。3)=2，R(a2,ai,a4)=3,证明能由%，为线性表示第五章相似矩阵及二次型一、选择题1.设A,B都是n阶方阵，且A与B等价，则().A.R（八）=R(B)B.det（八）=det()C.det(2E-A)=det(2E-)D.存在可逆矩阵P,使PTAP=52.设A,B为n阶方阵，如果()，则A与B相似.A.R（八）=R(B)B.det()=det(B)C.det(%E-A)=dct(>IE8)D.A,B有相同的特征值,且这n个特征值互不相等.3.设A,B为n阶方阵，且A与B相似，则下列不一定成立的是(A.R（八）=R(B)B.det（八）=dct(8)C.det(4E-A)=det(2E-8)D.A,B都有n个互不相等的特征值.4.设A,B为n阶方阵，且A与B相似，则(A.det（八）=det()B.AfA=AEBC.存在可逆矩阵P,使PTAp=BD.R（八）+R(B)=n.5.设A为n阶方阵,A.全是0C.至少有一个是06.设A为n阶方阵,A,小于等于nC.等于n且IAl=0,则A的特征值(B.全不是0D.可以是任意数则A的不同特征值的个数(B,大于等于nD.不等于n7.设A,B为n阶方阵，且A与B相似，则必有(A.A与B等价C.A与B合同8.设A是n阶可逆矩阵,A.A与E相等C.A与E合同9.设A为"阶方阵,2A.52C.5B.A与8不等价D.A与B不合同E是n阶单位矩阵，则必有(B.A与E相似D.A与E等价且2A+5E=0,则A必有一个特征值为(22310.矩阵A2可以合同于(-UC.'3、-2D.-3-2-1311.设实对称矩阵A与矩阵82合同，则二次型XTAX的规范型为（A.3z：2z；+zjB.zz+z；C.z：一一z；D.z：+zz；12.设n阶实对称矩阵A,B都是正定矩阵，则（）也一定是正定矩阵。A.A+BB.A-BC.ABD.3A-B13.设A为n阶实对称矩阵，且A的所有特征值都大于0,则二次型XTAX为（）A.正定二次型B.半正定二次型C.负定二次型D.不定二次型二、填空题1.设A为3阶方阵，且A的特征值为1,2,3,则IAl=.2,设3阶方阵A与B相似，且A的特征值为1,-1,2,则I6"I=.3.设A为3阶方阵，且A的特征值为l,T,-2,A.是A的伴随矩阵，则A"=.4.设A为n阶可逆矩阵,已知A有一个特征值为-3,则（5A）T必有一个特征值为5.设A为3阶方阵，且I4A+3EI=0,则A必有一个特征值为6.设A为n阶可逆矩阵,已知A有一个特征值为-2,则（A2）必有一个特征值为.7.实二次型/（x1,/，三）=M-；+3门44xtx2的矩阵为。8.二次型/（X,X2,X3）=X：+君+3*；+2x2的秩为。0、9.设矩阵A=1l+00为正定矩阵，则的取值范围是。、002-,'20、10.设矩阵A=080为正定矩阵，则的取值应该满足。1。三、计算题1.设2阶矩阵A的特征值为-1,1,对应的特征向量分别为%=(2,3)7,2=(3,4)t求矩阵A.2.设矩阵4=O2O,a=O是A的属于特征值%的-个特征向量,求常数"和特征值九3.用配方法化实二次型/(占,占,占)=2%2+其一4为土-4x2七为标准型，并写出所用的满秩线性变换.4.如果实二次型/(x,w,X3)=(“+5)x；+x；+(3-)Xj+4x,x2为正定二次型,求的取值范围.四、证明题1.设方阵A有一个特征值4=一1,证明:方阵B=A2-2A+3E必有一个特征值6.2.设A为实对称矩阵，%,%分别为A的属于特征值%,4的特征向量，且44，证明0,?必正交.3.设n阶实对称矩阵A,B都是正定矩阵，且常数占0,网。，试证明：矩阵匕a+木8也是正定的.线性代数综合练习参考答案第一章行列式一、选择题1.A2.B3.D4Q5,B二、填空题1,JOO2.-2433.4-65.-2三、计算题11111111111解：O1202O1-11Q1-I112I034411OO10233O(OO1-25O1-1O01-2=110001124642732710004273272解：Q38835625652228918910001003271000100256=010001001895444100035625610002891895+3x4444I4443解：O=45445+3x4544144545+3x4454=(5+3x4)544544455+3x444514441701000010三1700012341023412344.解：O=1000023421411034I4122341-32221-1-110101=10Q0Q411232100=Io340-4412123=160第二章矩阵及其运算445-、选择题1.C2.B3.C4.A5.C6.C7.C8.B9.C10.D二、填空题.Ifl0、2(1/12.00J0，44.2<35.三、计1,解：Bfo-=J(C2)00-100-11)26、I3九3算题'j=(P1AP2)-'=1AlIY1(21W1OYJIT3乂2J我犯2"-13j10b一以一2J(V-J2.解：因为AB=A+2B,所以(A-2E)B=A而ANrM%(;:所以A-2E=1h0所以A-2E可逆,且(A-2E)T =r队而B=4-2E)TA0-13.解:(1)因为IAl=1。O,所以A可逆,U2O-1、0O31O-2O1-IOo0、C00II。0I0-1I20、20-10100-L'1001220100-1、001OO所以，'12-PAl=O-I2'OOR4.解:因为Ah4H0,所以A可逆,且从而 X = ATCB=-2 O-1 1因为IBI=-3#0,所以B可逆,且-13四、证明题1.证明:因为方阵A,B及A+B都可逆，所以(AT+B')A(A+B)TB=(E+'A)(A+B)TB=(B'B+B'A)(A+)'B=B'(B+AA+B)xB=E所以,A"+B"也可逆,且其逆阵为A(A+B)T&2.证明:因为"阶方阵A可逆，所以由AA*=A*A4AE得A*=IAlAT所以A*(A,)*=(-')(ATl(AT)T)=IAllATlATA=E所以，A*可逆，且(A*)T=(AT)*.3.证明：因为A2-3A-7E=0,所以A(A-3E)=7E,17A(A-3E)=E,所以A可逆,且AT=I/7他-3E)因为A2-3A-7E=O,所以(A-5E)(A+2E)=-3E,-1/3(A-5E)(A+2E)=E所以(A+2E)可逆,且(A+2E)1=-13(A-5E)第三章矩阵的初等变换与线性方程组一、选择题1.C2.C3,C4Q二、填空题1.02J3.14.R(A) = (A),其中A为其增广矩阵.5.R(A) = R(A)= ",其中A为其增广矩阵.6.7.1-68.| + 2&? +3出 1三、计算题1.解：(1)对增广矩阵进行初等行变换:A J -12 -1-1 22a12L -L 20 1 ”40 13、05 + 1,T0、°-11O2-41 、O6 + 1,要使方程组有无穷多解,必须7-0 = 0% + l = O所以 = 7,b = -l(2)此时，增广矩阵进行初等行变换后为:4 '1-1 20 13、0 0 000,'I 00 1、° °53OD 0 0,由此得到用自由未知量表示的通解:Xl = 1 - 5（事任意）X2 = 3*32.解:（1）对增广矩阵进行初等行变换:1-I00弓、，1-1006、()1-10%01-10A001-I00I-1】001“4>1000%+生+%+%,要使方程组有解,必须q+a2+3+4O（2）此时,R（八）=R（八）=3<4（未知数的个数）,所以，这个方程组有无穷多个解。3.解：（1）对增广矩阵进行初等行变换:1-10OA Q 0 -I00100-111231000-11000-11000-101、236 + 47,要使方程组有解,必须6+。=0,即"=Ti.（2）此时，增广矩阵进行初等行变换后为：A 00°-1100-1-1-I06'530,由此得到用自由未知量表示的通解:F=6+.%<X2=5+匕（x4任意）小=3+看改写通解的形式，得到方程组的结构解为:（女为任意常数）4.解：因为4元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩为3,所以它所对应的齐次线性方程组AX=O的基础解系中有4-3=1个解向量.又Ax=b的三个解向量7，%,小满足7=2,3,4,5了，小+3=1,2,3,4r.令J=2彷-(%+%)=3,4.5,67O则Ag=川2彷-(%+%)=24彷-A%-A%=2b-bb=0所以，4=27-（%+小）=3,4,5,6为AX=0的基础解系.所以AX=b的通解为:X=7+Rg=2,3,4,5r+灯3,4,5,6了,其中"为任意常数.5.解：线性方程组的系数行列式为：1+文11D=11+21=(3+%)之2,所以111+工当ZIWo且2W-3时,即D0时,线性方程组有唯一解.当；1=0时,'1 11 1JI1101门3 0OJ(0110、0 0 1OOO)所以,R（八）=I,R(B)=2,从而线性方程组无解.当2=-3时，0、I0-1-1301-1-2-3,a000'-21B=1-21J1-2所以，R（八）=R(B)2,从而线性方程组有无穷多解,其通解为:(其中C为任意常数)四、证明题1.证明:设8=(综®,瓦)，其中A，/?,£"是8的个列向量,由AB=Q,得(A综AS?，,AA,)=(O,O,O)从而注,A，,凡是齐次线性方程组AX=O的"个解向量，而齐次线性方程组AX=O的基础解系中所含向量个数为"-R（八）,所以有及(自,尸2，AI)W一R（八）,即R(B)<n-RA,从而K（八）+R(B)4.2.证明：因为不，Q2,忆是非齐次线性方程组AX=B的S个解，所以An=B,(i=l,2,S)所以Ax=A(k-l)Q+k2112+.+k.n.=A(k-l)11+Ak211a+.+Aks,=(k-1)A11÷kaA11j÷.÷ksA11s=(k1+k2+.+k1-DB=(I-I)B=O所以，x=(k-l)n1+k2ru+kn是齐次线性方程组AX=O的解。第四章向金组的线性相关性一、选择题ZC3.D4C5.A6.B7.A8.D二.填空题1.12.(1A2)3.24.0三、计算题21I 0-1 -3-3 1'1 0 00 I 00 0 I0 0 00、 2 一63,1、-2 3 °,1.解:设,、4A=(l,2,3,4)='12I0、0-1414-300-1-3、0000,所以，向量组的秩为3,%,%,q为它的一个极大线性无关组(答案不唯)S,a4=a2%+3%-1'-2013、20-1-32.解：(I)Or0=,(2,0,3=J-20133)、60-2-%(2)向量/的内积()=lx(-2)+(-l)x0+lxl+(-3)x3=-10.3解:设有一组数占也的,使自P+解夕2+解#3=O即尤(%+2)÷2(2+%)+女3(仆+%)=0整理得(吊+3)a+伏1÷%2)%+(%2+%3)%=0因为向量组%,2，仁线性无关，所以占+&=0<占+2=0,网+网=°101其系数行列式110=2x0,所以此齐次线性方程组只有零解，0J1从而4,色,用线性无关.四、证明题1.证明:设%,%,4线性无关，夕为任一"维向量，由于"+1个"维向量必线性相关,所以%,2，a”，尸线性相关，所以4可由多,%，4它线性表示.设任，"维向量可由,2,。"线性表示.则"维单位坐标向量组£,£2,%也可由%，%/，线性表示,从而=/?(£,/,)(al,a2,an)11所以R(ai,a2,an)=n所以%,%，a”线性无关.2.证明：因为"(%,%,%)=2,所以?。2。3线性相关，又因为大(七03。4)=3,所以%,4。4线性无关,所以%,%线性无关，所以，%能由%,4线性表示.第五章相似矩阵及二次型一、选择题1.A2.D3.D4.A6.A7.A8.D9.DI(IB13.A二、填空题1.62.23-444Tl20'7.2-10、003,8-29.0<a<210.0<<4三、计算题(2,一0)1.解:设P=(%,%)=,A=,则PlAF=A,所以3401'17-12'、24-17；，1、2.解:因为=O是A的属于特征值2的一个特征向量,所以Aa=ZIa,即:从而o+l=2-4+3=l所以，兄=l,=-2.3.解：/（x1,x2,x3）=2x；+只-4xjx2-4x2x32（x!+尤；-2XX,）-x；-4方2尤32（X-X2）-（"；+4三三+4元；）+4x；2（尤-X,）2I（X,+2龙3）2+4尤；M=Xl-X2令，K=吃+2x3X=MW=M+%-2%即作满秩线性变换:'X2=y2-2y3得/的标准型/=2丁：一兵+4.V：4.解：二次型/的矩阵为Z+52O'4=2Io、OO3&j所以,二次型/为正定二次型的充要条件为：&+52+5>0,=+l>0,IAI=(3-)(+l)>(),21即-l<<3四、证明题1证明:设a为A的属于特征值之=T的特征向量,则Aa=aA2a=AAa)=A(-a)=-Aa=-(-a)=a所以Ba=(4?-24+3E)a=Ara-2Aa-3Ea=a-2(-a)+3a=6a,所以，方阵6=A2-24+3E必有一个特征值6.2证明:因为%,%分别为A的属于特征值4,4的特征向量，所以有Aa1=21a1,(1)Aa2=2a2,由(1)得aAr=2lalr又因为A为实对称矩阵,所以A=AT,所以所以4%7a2=OtA1a2=aAa2=a(1a2=1aa1所以(4-Da；/=0因为4儿2,所以%2=0,即a,a2正交.3.证明：因为A,B为n阶实对称矩阵,所以47=A,B7"=8,从而kiA+kB)=klA+kiBl=k,A+k2B即占A+&B也是n阶实对称矩阵.又A,B都是正定矩阵，所以二次型XTAX和XTBX都是正定二次型,即对任意的n维向量Xo,都有XAX>O.XBX>O.又因为常数人>0,&2>0，所以T(k4+GB)X=A'TAx÷2xtBx>0.即二次型XT(KA+&B)X也是正定二次型,从而矩阵占4+&B是正定的