南邮微积分综合练习期末复习题.docx

中国人民大学出微积分综合练习注：此版本的综合练习册对应教材是微积分，赵树嫄主编,版社，第三版，ISBN978-7-300-08030-7第一章函数、极限与连续一、单项选择题1.函数y=/（）与y=-/（X）的图形关于（A.原点对称B.X轴对称y轴对称D.y=X对称2.下列函数中，图像关于y轴对称的是（)A.V=Jf2+1B.y=Xcosx£+CC*y=：2D.F-e'3.函数y=2jf与y=log2的图形关于（A. X轴对称B. y轴对称C.直线y = x对称D.原点对称A. XCosxC. XSinXA.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数.6. /(力=心inl*x(8 <X< +8)是(A.有界函数7.当x0时,B.单调函数 与X等价的无穷小是（C.周期函数D.偶函数A. XSinXB. 1 + sin %C. tan'瓜D. 2x8.当x0时,X? +sinx是X的（）A.等价无穷小B.同价无穷小,但不是等价无穷小4.下列函数中，偶函数的是（B.IXlSinXD.lg(t+Jl+x?)5.函数/(x)=InIXl-CoSX是(C.高价无穷小D.低价无穷小9.当XfO时，下列是无穷小量的是（A. COSXB. /c u10当x->0时，下列是无穷小量的是（）,1nsinx八aA.sinB.C-ln(l+x)D.x+snx.XxxIL当XfO时，以下变量中属于无穷小量的是()A.sinB.exC.Iii(1÷x2)D.cosx12当XTI时，下列变量中不是无小穷的是()A.j2B.3x'2Jt1C.x(x-2)+lD.4*2-2x+1二、填空题1.函数y=/(x)定义域为2,10,则函数y=/(/+l)的定义域是2.函数y的定义域为 I-X3.函数/(x)=j2+天+-的定义域为.In(l-x)4.函数/(x)=arcsin二的定义域为1-r5'设,=ITP则/")=6.设/(x)=e2*则(ln(X)=.7,"=limLl+-+-+-*+2488.(2%-】严(3Z严 黑(3 口 Fr-9,vSin尤Iiin*°0XSinx10.IimDX11.IinI2xj7.匚2oc5x2x412+Iirn/+5c2厂+x8TCj+x36.求极限：Iim （二一）川IQO 1+x+bUeh3.若Iim=5,则=.I1一X14.设Ikna-七产=e,则=sin,(x<0)15.设/(X)=卜,(X=0)在X=O处连续，则k=xsin+l,(x>0)ItankxCX在X=O处有极限，则Z=x+3017.若Iim-=4,则火=.a3*一318.设Iim(旦t)*=8,则k=.f°x22三、计算题1.求极限：Iirn(Jx'+X-Jx'-X)x+x2.求极限：li.-i.3J.r23.求极限：Iinl+-+-.x1×22x3(÷1)八2arcsn.v4.求极限：hmE3了x-snx5.求极限：hm:-r0%+sn-Yln(l÷2x)7.求极限：Iim-.J。sin3x8.求极限：IimP_(，：.上叫XX)9.求极限：Iim.-arctanx).上"x_sinx10.求极限：Iim.sinr2Il.求极限：Um由j.fsintdt12.求极限：lim一.2第二章导数与微分一、填空题1.己知r(D=l，则lim/=.32人2.若fY%)=3,则Iim'凡一2用-/-<=J”0G3.若/(3)=2,则Iim/C-"N'C)=4.设/(x)在x0点可导,且r(x。)=2,则Iim/(/+/?)一)(XO-万)=2025.设/(x)在/点可导，且尸(/)=1,贝Il氏/1/+?-"'=6.设Bm/0)-/(°)=1,(0)-.7.设/(x)=x(x-l)(x-2)(x-3)(x-4),则尸(0)=.8.设y=Sin(X2),则y'=.9.设y=In/，则y'=.10.设,=t,则y'.11.设y=lnsinx,则y'=12.设y=IncosX,则/=13.设y=ln(2x+1),则dy=14.设y=cos2x),则办=15.设y=e'°",则办=16.设y=sinx+CoSX,则Jy=17.设y=sin2x,则力=18.设于=加不，则dyLr=二、计算题1.设y=(2x-"+Sg),求y,2.设y=arccosJl-3x,求y'.3设y=cosln(l+3x)÷In2,求y4设y=sin"xsinx",求y'.5.设y=xarcsin+“-犬,y1.7设y=r，试求函数的微分办'8.设y=arctan7,求办.1+尸9设y=1+/,求外.10.设y=#08",求力.11.设y=(1+/)arctanx,求y".12.设3=x6L，求)<13.设y =14.设y =X=eSinfJvy=ecos/uxx=acost小dyrd2y.F求十和一y=Asinfdxdx"17.求由方程Sin(X2+y)=x所确定的隐函数y=y(x)的导数尊.ax18.求由方程y2-x2+lny2=0所确定的隐函数y=y(X)的导数名.第三章中值定理与导数的应用一、单项选择题1.函数y=lnx在区间l,e上使拉格朗日中值定理结论成立的J是(A1A. 6 22.函数/(x)& e-1上二在区间1,2上使拉格朗日中值定理结论成立的J是( XA. 2E. WD.23.下列函数中，在区间-1,1上满足罗尔定理的条件的是()A./(*)=M+*民了=4C./(x)=U-l)(x+l)D.f()4函数y=x+J匚1在区间-5、1上的最大值为()A.V5B.yC.VK+5D./5.曲线¥=二、有(一U-I)2A.只有水平渐近线c.没有渐近线B.只有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6.函数y=8-InX的单调减少区间为()A.(8,0)B.(,+o)C.(0,7)D.,0J二、填空题1.曲线y=/在点(2,4)处的切线方程为.2.曲线y='在点(1,1)处的切线方程为.3.曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线方程为.4.曲线y=e-jt在点(0,1)处的切线方程是.5.函数y=-的单调增加区间为.InX6.曲线y=XeT的拐点是.三、计算题1.确定函数/(x)=21+3/-I2x的单调区间.2.讨论函数y=2d-3/的单调性与极值.3.确定函数/(x)=2/-InX的单调区间.4.曲线y=+b/以(,3)为拐点，求0与人5.讨论曲线y=-3+2x+l的凹凸性,并求出它的拐点.6.求函数y=2e"+eT的极值.四、综合题1.设某企业某种产品的生产量为X个单位,成本函数为C(X)=25+±一,问产量为多少时,平均成本最小.2.某厂在一个月生产某产品X件的总成本为C(X)=4x+100(万元)，得到的收益为R(X)=8x-0.01/(万元).(1)求一个月生产产品的总利润L与X的函数关系；(2)一个月生产该多少件产品时，所获得的利润最大，最大利润是多少？3.要造-个长方体无盖蓄水池，且容积为500m:底面为正方形，设底面与四壁的单位造价相同，问底边与高各为多少时，才能使所用材料最省？4.做一个底面为正方形,容积为108立方米的长方体开口容器，问底面边长为多少时,所用的材料最省？5.要建立一个容积为Vn?的圆柱形无盖蓄水池，己知池底单位造价为池侧面单位造价的两倍,问应如何选择蓄水池的底半径r和高h,才能使总造价最低？6.由欲围一个面积为150痛的矩形场地，所用材料造价其正面是600元/11其余三面是300元/试问场地的长、宽各为多少时，才能使所用材料费为最少？第四章不定积分-.单项选择题IJd(SinX)=()B. CoSXD. CoSK+ CA.sinxC.SinAr+c2.f(x)dx=E(X)+C,则sinj*(cosx)dx=()A.尸(Sin x)+CB. - F(sin.r)÷cC. F(cos x) + cD. - F(cosx)÷c3不定积分0* =A. ln1 + (jf)+<?C. ；arctan /(x)+c二、填空题)B- 11 +i()+cD. arctan /(x)+c1.不定积分JSin2xdx=.2.不定积分J35公=3.不定积分Texdx=.4设JfMdx=/+c,贝IJ/(x)=.5.不定积分J/(x>=F(X)+C,则J川上。dx=6.若是/(x)的一个原函数，则J4(XHY=三、计算题1求不定积分f-7.J(1+)2.求不定积分J+；*）：办.3.求不定积分f任也ft.4.求不定积分J°°s2xdx.Jcosx-si115.求不定积分J二，dx.Jcos*xsn-x6.求不定积分J2+c:工办JCOS*第五章定积分一、单项选择题1.fIn(1+Z2Vf-()dr''广A.ln(l+r)B.ln(l+Jt2)C.2"n(l+产)D.2xln(l+x2)2.设函数(X)=J：H'力，则'(x)=()C.2/产A.五夕"B.-xexD.-2x23.设F(X)=J；,3+力，则尸'(1)=(A.-2B.24反常积分V=()JdrrXC.7-2D.2VA.1B.75.反常积分生-=()LxlnxC发散B.0A.1B.76.反常积分/Jy0=()C.发散B.0A.-2B.27.下列反常积分收敛的是（）4flOIAjY-kcCJ/dr18下列反常积分发散的是（）+oA.=rIXX+00C.J7dx9.下列反常积分收敛的是（）AC.fiv二、填空题1.J：IXirfX=.C.发散+00B.JInxdx+QCD.jxexdx171B.-4«1D.!dxB.f-=dxaD0AD.02.设奇函数/(x)在闭区间-,0j上连续,且Jf(x)dx=1,则Jf(xdx=OF3.设偶函数f(x)在闭区间-,上连续,且J(x)d=1,则J(x)dr=4.二A=dx=.iTFX+sinx.5.or二.l+HX2+sinX,6.I-1.1÷+007.反常积分:Xd-+00 J8.若无穷限反常积分dx = 2 ,则 * =+XI9.无穷限反常积分JXe-Jtdr09若无穷限反常积分口口6其中K为常数'm-=11.无穷限反常积分12.无穷限反常积分J：x + 2x + 2公x + X +1三、计算题1.计算定积分X 一/+1 sin* xdx.2计算定积分,"F3.计算定积分JXarCtanxdX.04.计算定积分f-=dx.WJl+Y5.计算定积分JXinxdx.6.计算定积分f.X5-4xdx四、综合题1.求曲线y=F与直线y=X所围成的平面图形的面积.2.求曲线y='与直线y=x,x=2所围成的平面图形的面积.X23.求椭圆一+ V1所围成的图形绕X轴旋转而成的旋转体的体积.4.求由曲线y=/与曲线V=8x相交部分的图形绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积.5.平面图形由曲线y=2x-x2和直线y=O围成，求该平面图形绕X轴旋转一周所得的旋转体的体积.6.求由曲线y=sinx(Ox%),直线y=0围成的平面图形绕X轴旋转一周所得的旋转体的体积.微积分综合练习参考答案第一章函数、极限与连续一、单项选择题Bcccbdbaddcd4. -3,416.3二、填空题1.-3,-lUl,35.X9.013,-717.3三、计算题2.-1x<16.产10.i18.In23.-2,0)o(0,1)7.2211.-515.12.解:(2x-8)(x三2÷2)(x-4)(j2x+l+3)=Iimht42(-2 + 2)j2x + i+33.解:( +1)'lim-+rtw1x22x3=Iim(1)+()+()1223""+1=lim(l-一L)=Lmfxn+14.解：令N=arcsinx,则X=Sin",所以2arcsinxHmHTo3工“to3sin2-3,IsinXvX-sin%*1-1n».解：Iim=Iim3=0.x0x÷sinxD1Sinx1+11+6.解：lim(二-严C2j+IJ=lim(l+ll=lim(l+)?1= lim(l +) 2 Iim(1÷)22人 + 1E 2，+ 1= e×l = e.解：同止空=Mm_2I。 sin3x 03cos3x(l + 2x)2X-XJC2x+l->21+18.解:KTt)IXX=Iimx-ln(x+1)1-=IimjOX2x(1+x)29.解:IimAiarcIanxt+3c2加1-arctan%T2=Um.=Iim1+,厂.=Iim-r=1.x÷x>1.r+xIX+»+尸x-sinx1.1-cossinx10.解：Iim=Iim；=Iim03厂XTo6xCOSXiSinJdf1U修°1=ISF=巡'】2解：:=安=如*只第二章导数与微分一、填空题11.22.-33.-14.25.36.j_27.248.2xcos(x4解：y = (sin"x),sin x +sin,rxsin 炉)')9.2X10.-2i'ILCotX12.tanx2j13.dx2/+114.2sin(-2x)15.-Cegsi11S16.(cosx-sinx)dx117.2cos2xdx18.dx二、计算题1.解：y'=5(2X-1)42+5°fIn52=10(2x-D*+21n55'2*f2.解：VJl(1-3行2Jl3x3.解：y'=-sinln(l+3x)-3+01+3，3sinIn(I+3x)“一IU"I=sinxcosxsnx+snXeoSXnx=sinxcosxsnx+tsinxcosx5.解:6.解:VIG-7.解:y'=sinx(l-/)-COSK(-2x)x1Isinx+2xcosx.dy=Zy(x2-l)sinx÷2xcosxIydr.8.解：y=11 ,1 / 1+G"F)1 + -2(1+f)-2x(1-2)_2x(l+)2=_1+f所以dy=v'dxdx.I+9.解：两边对X求导,得y,=e>+xe'y'所以(1-N)y=e>所以V=一T所以dy=yrdx-dx.I-Jte510.解：dy=y'dx=(4曲*dx=4皿In4(COSx)'公=-SinXIn44'usjtd.IL解：解：y'=2xarcta11+(l+2)71+=2XarCtanX+1所以y"=2arctanx+.+x12.解：y'=e'+xe、'2x=(2x M-I)(2-3力(13I2+l)et,所以，y"=4xe*+(2+l)e"2x=(4一5,(x-3)(2x-3) 71-2-3X一X一3-2-3+6x)e'.13.解：两边取对数,得Iny=-ln(x-1)+In(X-2)-In(X-3)-In(X-4)两边对X求导,得1,11J11.V2x1X-2x-3X-4所以L-2)(112(x-3)(X-4)JC-IJC-2X-3x-414.解：两边取对数,得Iny=-ln(x-l)+ln(2-3x)-In(X-3)-111(2-3)两边对X求导,得1,1,1-312、y2X-I2-3X入-32工-3所以,1,1312、y=y()2j12-3Xx-32jv-3交大苏一力力一力一更力"一力_一一一右五右石今ecos÷r(-sin)CoSf-Sinfe,sinf+e'CoSfsinf+cosfbcoscosbcott(-sin)sinfbdd心dt(-sin)sin'r17.解:方程两边对X求导，COS(工2+y)(2x+y')=1CoS(X°+y)y'=1-2XCOS(X2+y)，V1 一 2XCoSa2 +y)CoSCd +y)1&解:方程两边对X求导，2yy'-2x+)y'=0(2y+¾y三2xX_xy.V+-第三章中值定理与导数的应用一、单项选择题BACECC二、填空题3, y = 2x-e4,工 + y-l = 02,*+y-2=06.(2,2ey / 极大、 极小 ，所以，函数y = 2*3-3/在(-8,o)和(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当X = O时有极大值y = 0,当X = 1时有极小值y = -l.3.解：此函数的定义域为(0,+0>)尸=4% + - = = O令 4厂-1=0,得 x = ±Q, O < X < l ,(x) < O . x>g时 r(x)>O .* J(X)在(Oq)单调减少，在(g,y)单调增加.4.解：点(1,3)在曲线上，代入方程得 + b = 3(l)y' = 3x2 + 2bx, j* = 6x+2,y"=0,代入得：6 +助=O(2),联立(1)和(2),解得 = -, = .5.解:函数y = l 一 3/+2x+l在其定义域(-,+)内连续且二阶可导，y' = 3/ - 6x + 2,y'' = 6x-6 = 6(x-l),当x<l时，/<0 ,所以曲线在(-o,l)上是凸的;)三、计算题1.解：/'%)=6/+6.v-12=6(+2X-1)=0当XW(-00,-2)时,尸(x)>0,/(x)单调增加;当xe(-2,l)时，/'(x)<0,f(x)单调减少：当Xe(I,抬。)时，/(x)>0,/(x)单调增加./(x)在(-8,-2)和(l,kx>)单调增加，在(一2,1)单调减少.2.解：y'=6Y-6x=6x(X-1),设y'=0,得X=O,X=1.列表如下：X(-8,o)O(0,1)1(1,+8)y'+O-O+当x>1时，>o,所以曲线在(l+8)上是凹的)因此,当x=l时曲线取到拐点,拐点为(1,1).6.解：y'=2ex-e-/=2e*+e<令y=0,得了=-!m2.y"(-Jn2)=22>0所以，当x=-；In2.时，函数取得极小值y(-ln2)=22.四、综合题1.解：由题意,平均成本函数为：y=C&0=生+;,25I“50y=一-r+不，V=产425I令y'=0,即-r+=0,得X=Io(负值不合题意，己舍去)，4又y"(10)=,>0,所以当X=K)时，y取得最小值，即产量为io个单位时，平均成本最小.2.解：(1)由题意，一个月生产产品的总利润上与X的函数关系为:1.(X)=R(X)-C(X)=(8x-0.01)-(4x+100)=4x-0.01x'-100<jr<+<)(2)(x)=4-0.02x,L"(x)=-0.02,令L'(x)=0,得x=200.又L"(200)=-0.02<0,从而L(200)=300(万元)为L的极大值.又因为X=200是其唯一的驻点，所以当x=200时，所获得的利润L最大，最大利润是300万元.3.解：设底边长为X,高为/?,"为单位造价，总费用为KX).V=500=X2h,.'.A-总费用y(x)=ox2+4x?,令y(%)=o,得X=I0,代入得力=5.底边长X=I0,高为力=5时所用材料最省.4.解:设长方体开口容器的底面边长为X米,高为人米，所用的材料为y平方米,则108=/,即人=干，所以，y=+4*6=JV+,令y'=O,即2工一-了=O,得唯一的驻点克工6,而且这个实际问题有最小值,所以当x=6时，y取得最小值,即底面边长为6米时,所用的材料最省.5解:设侧面的单位造价为4,总费用为y(r)衣=V,则，=y(r)=2axh+2衣=2一+2nmXyr=+4=O,尸2aV%4/zx=-,X=-,X=W-，代入得"=2X,X-2女V2产当底半径为X=J二,高/z=2X总造价最低.V2笈6解：设长为X,宽为y,高为人，总费用/Cr),依题意D=I50,.y=剪f(x)h+3(2yh)+3h9h+6h9h(+-)Xf,x)9(1-)-0解之得尤=10,)=15.正面长为IO物,侧面长为15m第四章不定积分-.单项选择题CDD二、填空题0 + 6,+(771.COSZX+C2C15'2.+cIn153.+c1+11124.2m5.F(Inx)+C16.(x÷l)ex+c三、计算题=2arctanx+C.2,解:(3+21nx):ax=；J(3+21nx)2d(3+21nx)1(3+2Iiix)3=X-=23_(3+21nx)363解：=2sin=-2cos7+c.EfCoS2x74.解：dxJcosjisinxrcos2-si2x,=；axJCOSX-SinX=J(CoSX+sinx)dx=snx-cosx+c5.解:cos2xcos2 sin2 xdxfCoSJ-smX,I-公Jcos=si11XSlnN=(csc2x-sec2x)d=cotxtanx+u + l)d2+cos"X,Jdx=(2secCOS"XJ=2tanx+x+c.第五章定积分一、单项选择题B CAACCDBA二、填空题计算题1.解:.si2偶函数，. (F - X +1)sin2 xdx = sin2 xdx=2"1-COS2x laxJ 22.解:、1sin 2x=2 x24=2lOI sin224sin2=12Xg-HW + lnx)1.12.-13.14.05.06.227.18.29.110.-11.412.32(l+Inx)52(3-l).3.解:J XarCtanjr公 =arctan-vJ(x)2n= larcta12卜+ /dxf-114-24.解：设x=tanf,则dr=sec"或，当X=I时，r=,当X=J5时，Z=43所以有:d(sinf)sec f tan.g，1 X2VF +而 1拒一适35.解:JxlnXtir=-InXd(X?)=(x?InX|；-x2dr)=-(e21；)=-(/+1).<22X22l5一产I6.解：设J54x=E,则X=,dx=IdI,且=1时Z=1,x=1时f=3,.42所以1JlJ5-4X1dx =5 f1(一一人"4E 2 '= -<5-r2 =餐(士可)CI6四、综合题1.解：曲线y=/与直线y=X所围成的平面图形的面积为:123.J(X-X-)公=(-)Io=-i23G.2.解:曲线y=1与直线y=x,x=2所围成的平面图形的面积为:2-ln2.2223.解：椭圆一+-b=1所围成的图形绕X轴旋转而成的旋转体的体积为:-r(a2-x2)dx±a-if="川T3勺9*）匕=-ab2.34.解:5O5.解:6.解:48=-笈5V.:书/公=万n(2X-X2)2dx='(4-4+Xv=万4s415=X-X+一m一35o32V32-三16+-3516-胡15gd=Usin2xdx=4?=1X-2Sin2尤乃4O1+3X1.y=4x-45.+)