不等式与不等关系知识梳理.docx

不等式与不等关系【考纲要求】1 .了解不等关系、不等式（组）的实际背景;2 .理解并掌握不等式的性质，理解不等关系;3 .能用不等式的基本性质解决某些数学问题.【知识网络】【考点梳理】要点一、符号法则与比较大小1 .实数的符号任意xR,则x>0（X为正数）、X=O或XVO（X为负数）三种情况有且只有一种成立。2 .两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：a>0,b>0=>a+b>0ia<Oyb<O=>a-b<O两个同号实数相乘，积是正数符号语言：a>O,b>O=>ab>Oa<O1b<O=>ab>O两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a>O,b<O=>ab<O任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：xR=>X20,x=0<=>X2=0.3、比较两个实数大小的法则：对任意两个实数。、b®-Z7>O<=>4Z>b;。-bv<=>vb；。一Z?=Ooa=bo对于任意实数。、b,a>b,=仇力三种关系有且只有一种成立。要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。要点二、不等式的基本性质1 .不等式的基本性质(1) a>h<>b<a(2) a>b,b>c=a>c(3) a+b<c<>a<c-ba>b<>a+ob-cc>O=>ac>be(4) a>b<c=O=>ac=bcc<O=>ac<bc2,不等式的运算性质(1)力口法法则：a>b,c>d=a+c>b+d(2)减法法则：a>b,c>d=a-d>b-c(3)乘法法则：a>h>0,c>d>Oac>bd>O(4)除法法则：a>b>O,c>d>O=>->->Odc(5)乘方法贝IJ：a>b>O=an>b">O(neN,n2)(6)开方法则：a>b>0=>yfa>1ib>0(wN,n2)要点诠释：不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。要点三、比较大小的方法1、作差法：任意两个代数式。、b,可以作差-b后比较。一6与0的关系，进一步比较。与的大小。2、作商法：任意两个值为正的代数式、b,可以作商÷6后比较巴与1的关系，进一步比较与bh的大小。3、中间量法：若a>b且b>c,则a>c(实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.【典型例题】类型一：比较代数式(值)的大小例L已知：x,yeR,比较/一孙+V和x+y-1的大小.解析(/一肛+,2)_(工+,_1)=(x2-x)+(y2-j)-xy+l(2x-2x÷2y_2y2xy+2)=(x2-2x+i+-2y÷l+x2+-2jO=(-i)2+(y-2+U-)2V(X-I)20,(y-l)2O,(x-y)2O.,.(-i)2+(y-i)2+(-y)2oX2-xy+y2x+y-1.【总结升华】作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的,变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.举一反三：【高清课堂：不等式与不等关系394833典型例题一】【变式1】若<8v,则下列不等式中，不能成立的是()A.>-B.>-C.a>bD.c>b1aba-bb1111【解析】取特殊值。二-2g=一1,代入验证即可【答案】B【变式2已知。>8(h0),试比较L和L的大小.ab【解析】.L-L=L,abab又,：a>b即b-a<0，当而>0时，一<一；ab当"v时，ab【变式3】x>0且XW1,比较l+log3与21og2的大小.3r【解析】作差：(1+Iogr3)-2logv2=Iogx3x-Iogr4=logv(-)O<x<1(4)3，即O<x<l时，logx(-)>0,jitB1+logr3>2log2.0<<144O<x<13%,即x0>14x>i43x43即l<x2时，1Og式二)0,此时l+ log32k>g2,其中X =工时取等号.O<-xl343443x当3X即一时，Iogt(-)>0,此时l+log,3>21og2>134例2.已知:bsR+,且b,比较0户与肢力的大小.4【解析】：。、beR+,.aabh>O,ahba>0作商：寤呜)吟"无)%)"吒严(*)(1)若a>b>O,则£>1,a-b>O,()fl'z,>1,此时aabh>abba成立；(2)若b>a>O,则0<<l,a-b<O,(*)“">1,此时/>为”成立。综上，屋H'>4%"总成立。【总结升华】1、作商比较法的基本步骤是：判定式子的符号并作商变形判定商式大于1或等于1或小于1结论。2、正数的箱的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.举一反三：【变式】已知a、b>C为互不相等的正数，求证：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.【解析】a、b、C为不等正数，不失一般性，设a>b>c>O,这时a2ab2bc2c>0,ab+cbc+aca+b>O,则有:abC(a-b)+(a-c)(b-c)+(b-a)(c-a)+(c-b)_z_a-b/.b-c/c-aab+cbc+aca+b=bcaabC.a>b>c>0a>l,a-b>0;>l,b-c>0;0<<l,c-a<Obcaa2ab2bc2cab+cbc+aca+b由指数函数的性质可知：(3严>,(-)b-c>,(2)c>1bcaPa2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.类型二：不等式性质的应用例3.(2016浙江高考)已知,匕>0,且存1,b,若og油>1,则()A.(-)0-/)<0B.(-)(-b)>0C.(b-l)(b-a)<0D.(b-l)(b-a)>0【解析】logab>log(la=l,当>l时,b>a>l,故b-l>0,ba>0,所以S-)(b-O)>0;当OJ<1时，OQQ<1,故b-1<0,b-<0,所以S-)S-)>0,故选D.【总结升华】判别不等式成立与否，应紧扣不等式性质，当出现字母代数式最常用赋值法.举一反三：【变式1】对于实数。的，c,判断以下命题的真假.(1)若>b,则4c>6c；(3)若avZ?<0,则>b>(5)若a>b,则±>1； b(7)若a>b,则加>VU;(2)若ac?>be,则>/?；(4)若a<b<0,则Ia若加;(6)若方且!>!，则">O,b<O. a b(8)若>b,则>【解析】(1)因为C的符号不定，所以无法判定QC和灰?的大小，故原命题为假命题.(2)因为a?>bc2,所以cw,从而。2>0,故原命题为真命题.(3)因为。vb.且<0,所以2>。人；又v目力<0,所以b>综合得a2>ab>/，故原命题为真命题.(4)两个负实数，绝对值大的反而小.故原命题为真命题.a-b>0b-a < 0,所以"v(5)因为当b0时，3>不成立，故原命题为假命题.b(6)a>b因为,11>ab又因力，所以a>0S<0.故原命题为真命题.1(7)因为y=F的函数在R上单调递增，故原命题为真命题.(8)因为,>人，所以>h,故原命题为真命题.【高清课堂：不等式与不等关系394833典型例题四】【变式2已知Tv+bv3且2v。一人<4,求2。+30的取值范围.【解析】i2a+3Z?=xa-vb)+y(a-b)=(x+y)a÷(x-y)b解得X=9y=>22所以2+=25+匕)+()(«-/?)22由一Ivo+。<3得一2<2(+/?)<"222由2vab<4得2<()(t?Z?)<12951所以一一V一5+份+()(a一垃<32229即一一<2a+3b<32【变式3】已知。<0,<一1那么下列不等式成立的是()CaaB. > >a b2 b令 = -1, b = -2CaClCaaC. > a > D. > > a b b2 b b2、aaA.a>-bb2【解析】D；特殊值法:类型三，不等关系在实际问题中的应用0a-I500例4.(2015怀化一模)某单位有员工1000名，平均没人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出X(XN")名员工从事第三产业，调整后他们平均每人创造利润为剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来IOOO名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？【解析】(1)由题意得Io(IOoO-X)(I+0.2%)10x1000即I?一500x0,又x>0,.0vx500即最多调整500名员工从事第三产业.从事第三产业的员工创造的年总利润为10。3xA5JX万元,从事原来产业的员工的年总利润为10(1000-x)14X500)万元10(1000-x)(l+ 0.2x%)ax-3r21000÷2x-x- 2500500“2f2xIOOO.ax+x+1000即o+1怛成立500500X会+B?篇W当且仅嗑1000X即X= 500时等号成立.0<5即的取值范围为(0,5举一反三：【变式】(2015高邮市校级模拟)某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(阴影部分表示),大棚占地面积为S平方米,其中a:b=:2Tl11-*11QQ(1)试用XJ表示SX米”(2)若要使S最大,则Xj的值各位多少？【解析】(1)由题意可得孙=1800/=2则产+b+3=3+3.S=(x-2)t7+(x-3)Z?=(3x-8)a=3(x-8)-=18O8-3x-|y(2)v5=1808-3x-×=1808-3x+(x>0)1808-2J3工=1808-240=15684Q1qa当且仅当3x=空,即X=40时取等号,S取得最大值,此时y=45XX.当X=40,y=45时,S取得最大值.