基本不等式、不等式的综合应用.docx

根本不等式、不等式的综合应用高考试题考点二利用根本丕笠式证明.1. (2023年安徽卷,文15)假设a>0,b>0,a+b=2,那么以下不等式对一切满足条件的a、b恒成立的是(写出所有正确命题的编号).abWl;石+772;a'+b'22;a'+b'>3;，+12.a%解析:令a=b=l,排除、；由2=a+b22=abWl,命题正确；a2+b2=(a+b)-2ab=4-2ab2,命题正确；_L+L±2=2.22,命题正确.Obabab答案:2. (2023年上海卷,文16)假设a、bR,且ab>O,那么以下不等式中,恒成立的是()（八）a2+b2>2ab(B)a+b2(C)H(D)-+-2absab6解析:对于选项A,a2+b22ab,所以选项A错；对于选项B、C1虽然ab>O,只能说明a、b同号，假设a、b都小于0时，选项B、C错：对选项D,Vab>0,->0,->0,那么2+322.abb应选D.答案:D考点二利用根本丕等式求最值或范围1. (2023.年福建卷，文7)假设2+2'=l,那么x+y的取值范围是()（八）O,2(B)-230(C)-2,+)(D)(-t-2解析：因为2x+2'N2FF=2F7,所以万7wL2所以2*"WL4所以x+yW-2.应选D.答案:D2. (2023年浙江卷，文9)假设正数X,y满足x+3y=5xy,那么3x+4y的最小值是()（八）(B)-(C)5(D)6555y 5x解析：因为x>0,y>0,x+3y=5xy,所以+g=l,所以-L+上)(3x+4y)=-+-+-+-+2×-=5j当且仅当旦=包时,5y5x55x5y5x5x555y5x等号成立,所以选C.答案:C3. (2023年陕西卷,文14)在如下图的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影局部)，那么其边长X为(m)解析:如图，过A作AH±BC于H,交DE于F,zhDE_XAD_AF_AF寸蓝40,ABAH而'由竺二生，得af=x,FH=40-.BCAB那么S=x(40-)当且仅当40-X=x,即x=20时取等号.所以所求边长X为20(m).答案：204. (2023年四川卷,文13)函数f(x)=4x+-(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,那X么a=.解析:因为x>0,a>0,所以F(x)=4T-2=4oX当且仅当4x=-,即a=4Y时取等号.X由题意可得a=4X3"=36.答案：365. (2023年天津卷,文14)设a+b=2,b>0,那么上+日的最小值为.解析：由a+b=2,b>0.那么_L+kl=生!+=，_+±+回2ab4a44cb】由a0,假设a0,那么原式=工+2+2学!+2卫三=2.44方4Vb4当旦仅当b=2a=g时,等号成立.假设a<0f那么原式=-L-2-乌2-L+2jf-2j-g=3.44b4a)b)4当且仅当b=-2a即a=-2,b=4时等号成立.综上得当a=-2,b=4时，工+冷取最小值工答案：46. (2023年重庆卷，文15)假设实数a,b,C满足2a+2b=2b,2+2b+2c=2a+,那么C的最大值是.解析：设m=2",n=2h,x=2',那么m+n=mn,RP1+1=1(m>0,11>0)jmZl那么由2.+2"2'=22得mn+x=mnx,.(mnT)x=mn,?-1又上+?2、工,"2V?.-Ll,mn4.>""24mn4即2c-f/.clog-=2-log3.33当且仅当m=n=2,即a=b=l时,c取得最大值为2-log23.答案:2-0改37. (2023年浙江卷,文16)假设实数X,y满足x2+y2+xy=l,那么x+y的最大值是.解析：''yW,(+y)14l=xa+y2+xy=(x+y)2-y2(+y)-1(x+y)24(x+y)；，(x+y)Wg,.T心+疟哈当x=y=书时，x+y取得最大值¥.答案：迎8. (2023年江苏卷,8)在平面直角坐标系x0y中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=2的图象交于P,Q两点,那么线段PQ长的最小值是解析:如下图.P在函数y=2图象上，.设P(-),又YQ与P关于原点对称，.'Q(-,),FQ2=(x+x)2+(-+-)2*2J"=16.当且仅当4x2=,即2=2时等号成立.r*IPQImir-4.答案：4考点三丕笠式的综合应用1. (2023年山东卷,文12)设正实数X,y,Z满足x2-3xy+4y2-z=0,那么当三取得最大值时，K+2y-z的最大值为()（八）O(B)-(C)2(D)-84解析:由题得z+3xy=x'+4y'24xy(x,y,z>0),即zxy,-1.当且仅当x=2y时等号成立，xy那么x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)=4y-2y=-2(y"2y)-2(y-l)2-l=-2(y-l)当y=l时，x+2y-z有最大值2.应选C.答案c2. (2023年新课标全国卷II,文12)假设存在正数X使2x(-a)<l成立,那么a的取值范围是()（八）(-,+)(B)(-2,+)(C)(0,+8)(D)(-1,÷)解析：由x>0及2'(-a)<1知,a>-j,令f(x)=X-W311由于y=x,y=JJ在定义域内均为增函数,因此f(X)为增函数，从而>0时,f()>f(O)=-I,因此满足条件的a的取值范围为a>-l.应选D.答案:D3. (2碗3年重庆卷，文15)设OWa<五，不等式8U(8Sin)+cos2a20对xR恒成立,那么a的取值范围为.解析:因为不等式对一切实数恒成立，所以A=64sina-32cos2a0,BP2sina-CoS2a.0,由2sin2a=I-COS2a,得l-2cos2a0,所以cos2a21,又£0,71,2(10,2况,2所以2a0,-j11,33即Q0j-U,.66答案：0,£U【24. (2023年浙江卷,文16)设a,bR,假设x20时恒有OWXLX'+ax+bW(x2-l)2,那么ab=.解析:不失一般性:当X=O时,可得OWbWl,当x-1时,可得a+b-0,所以a=-b,-la0,由x20时恒有0Xx3+ax+bx'-2x2+1得ax+bj-2x2+la(-l)(-l)(x2-l)当x>l时，有StMxJtT恒成立,所以aWT,又-IWaW0,所以a=-l,b=l,a*b=-l,答巢,-5. (2023年四川卷,文16)设a,b为正实数现有以下命题:假设a2-b2=l,那么a-b<l;假设£1=1,那么a-b<l;假设I或-述1=1,那么a-b<1;假设IaM1=1,那么a-b<l.其中的真命题有(写出所有真命题的编号)解析:中，假设a,b都小于1,那么a-b<l;假设a,b中至少有一个大于等于1,那么a+b>lt由a2-b2=(a+b)(ab)=l,所以a-bG,故正确.中L!=i=,只需a-b=ab即可，baab取a=2,b=满足上式但a-b=y>l,故错；中，a-b=(-)(+ft)=7+fe>4aJb1,故错;中，对于Ia'-b=(a-b)(a'+ab+b')=1,假设/b中至少有一个大于等于1,邪么a+ab+b>l,那么ab<1,假设a,b都小于1,那么Ia-b1,所以正确.综上,食命有答案:6. (2023年陕西卷，文21)设函数f(x)=x"+bx+c(nN+,b,cR).(1)设n2,b=l,c=-l,证明：f(x)在区间(LI)内存在唯一零点；(2)设n为偶数，If(-l)l,f(1)IWl,求b+3c的最小值和最大值;(3)设n=2,假设对任意x1,x2T,1,有f(x,)-f(x2)4,求b的取值范围.解：(1)当b=l,c=-l,n2时,f(x)=xn+-l,f=X1O,.f(x)在(Ll)内存在零点.2又.当x(Ll)时,f'(x)=ni+l>O,2.f()在区间(LI)内单调递增,2.f(X)在(1,1)内存在唯一的零点.2(2)依题意知<-IWH-I)WL-1(1)1,O/?-c2,2b+c。,画出可行域可知b+3c在点(0,-2)处取得最小值-6.在点(0,0)处取得最大值0,因而b+3c的最小值为-6,最大值为0.(3)当n=2时，f(x)=x"'+bx+c,对任意X1,x2T,1都有If(XJ-f(x2)I4等价于f(x)在T,1上的最大值与最小值之差M4,据此分类讨论如下：假设*卜1,即1>2时，M=f(l)-f(-l)=2b>4与题设矛盾.假设-1W-2<O,即(KbW2时，2M=f(l)-f(-2)=(2+l)*W4恒成立.22假设0W-2w1,即-2WbWO时，2M=f(T)-f(-2)=(2-1)2w4恒成立.22综上可知,-2WbW2.模拟试题考点一利用根本不等式证明1. (2023北京丰台区期末)“x0”是“x+22”的()（八）充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分也不必要条件解析：当x>0时,x+12,p=2.因为X同号，所以假设x+i22,那么x>0,i>0.所以x>0是x+i22成立的充要条件.选C.XX答案:C2. (2023安徽示范高中联考)假设a>0,b>0,且a+b=2,那么以下不等式恒成立的是()（八）>1(B)1+12abab(C)Z1(D)a2+b22解析：由2=a+bN2"得“1,abl,所以选项A、C不恒成立，_L+_L=土史=工22,选项B也不恒成立,ab2=(a+b)2-2ab=4-2ab22恒成立.ababab应选D.答案:D考点二利用根本不等式求最值1. (2023郑州质检)假设a>b>O,那么代数式a2+丁丁的最小值为()b(a-b（八）2(B)3(C)4(D)5解析'1讣三/71V=a?+冬?4,S(j)(b+a-bX/b=Q-b,当且仅当a'W，a>h>O9即a二点,b=芈时,等号成立.应选C.答案:C2. (2023武汉质检)双曲线W-A=I(a0,b>0)的离心率为2,那么正1的最小fb3a值为()（八）至苴(C)2(D)I33解析:双曲线的离心率是2,故寸仔=FB解得2=6,a所以7=g±l=a+L>空，33口33当且仅当a2=；时等号成立，故最小值是茅应选A.答案:A3. (2023湖北八校联考)假设点P(a,b)在直线x+y=2上,且在第一象限内，那么ab+-L的最小值为()（八）2(B)3(C)4(D)2旧解析：由题意得a+b=2(a>0,b>0),由2=a+b2,得O<abl,令t=ab,那么t(0,1,y=t+!在(0,1上为减函数，故当t=l时,n=2.答案:A考点三丕.笠式的综合应用1. (2023北京东城区期末)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲：第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价*%,假设p>q>O,那么提价多的方案是.解析:设原价为1,那么提价后的价格：方案甲：(l+p%)(l+q%),乙：(1+之±!%)2,2因为J(l+p%)(l+g%)<+=l+皇览因为p>q>O,所以J(l+p%)(l+g%)1+皇,BJ(l+p%)(l+q%)<(l+±%)2,所以提价多的方案是乙.答案：乙2. (2023.十堰二模)设M是ABC内一点，且A6Ad=2J,NBAC=30°,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、P分别是4MB(MCA>AMAB的面积,假设f(M)=(-,X,y),那么!+2的最小值是.2解析:根据题意A6Ad=IA8IIAdC0sZBAC=23,可得abac1=4,所以S*bc=-abacSinNBAC=I×4X-=1,222那么L+x+y=l,即x+y=-f2所以L+±=2(x+y)(L+±)=2(i+4+2+汇)XyXyXy22X(5+4)=18.当且仅当上二把,Xy即X-尸；时取等号.答案：18综合检测1. (2023昆明三中模拟)假设直线a-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2-4y+l=0截得的弦长为4,那么L+1的最小值为()a（八）-(B)24(C)-÷2(D)-+2222解析：圆的标准方程为(x+l)2+(y-2)2=4,所以圆心坐标为(-1,2),半径为r=2.因为直线被圆截得的弦长为4,所以直线a-by.+2=0过圆心，所以-a-2b+2=0,即a+2b=2,所以£+b=l,所以1+=(LI)U+b)0方a2=_L+i+2+W22b卫+忘2当且仅当2=-,a=2b时取等号，2所以1+1的最小值为+,应选C,ab2答案:C2. (2023年高考重庆卷)假设函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,那么a2等于()（八）l+2(B)l+3(C)3(D)4解析:当x>2时,-2>0,f(x)=-2+-+22L-2)+2=4,X-2寸(X-2)当且仅当x-2=一l(x>2)f即x=3时取等号，X2即当f(X)取得最小值时,X=3,即a=3.应选C.答案:C3. (2023北京通州区期末)假设x+l>O,那么x+_!一的最小值为.x+1解析：x+一=x+l+-!T,戈+tx+l因为x+lO,所以一工0,根据根本不等式得x+=x+1+-12J(X+l)1-=1,x+1x+1V'+1当且仅当x+1=一，x+1即(+l)z=l,即x+l=l,x=O时取等号，所以x+_L_的最小值为1.x+1答案：14. （2023宿州模拟）x>0,y>0,xy=x+2y,假设xym-2恒成立,那么实数m的最大值是.解析：由x>0,y>0,Xy=X+2y>2展攻，得xy28,于是由m-2Wxy恒成立，得m-28,mW10,故m的最大值为10.答案:10