复变函数与积分变换试题.docx
复变函数与积分变换试题本试题分两局部，第一局部为选择题，1页至3页，第二局部为非选择题，4页至8页，共8页；选择题40分，非选择题60分，总分值100分，考试时间150分钟。第一局部选择题一、单项选择题（本大题共20小题，每题2分，共40分）在每题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。1 .复数Z=工-Ei的辐角为（）2525A. arctanXB. -arctanJ_222.方程Rez2= 1所表示的平面曲线为(A.圆B.直线C. -arctan ±2)C椭圆D. +arctan±2D. 双曲线3.4.复数z =-3(coJ,-isin勺的三角表示式为(44A. -3(COS乃,-Hsin 乃)44C. 3(CoS-I,+isin 乃)设Z=CoSi,那么(A. Imz=OB. Rez= C. z=0BiD.)4. . 43(CoS-I,isin 乃)4. . 43(cos-%,-isin 乃)D. argz= “史数/"对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.设W=Ln(ID,那么ImW等于(B. 2ka-,k=0,±l,4A.C.44D.2k-+-,k=0,±l,47 .函数w=z?把Z平面上的扇形区域：OVargZ<q,0<z<2映射成W平面上的区域（A.O<argz<-2-,O<hj<4B.O<argz<y,0<|<4C.Oargz<,0<W|<2D.OVargZ<不，0<|w<28 .假设函数f（z）在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析，在C上连续，且z=a为D内任一点，n为正整数，那么积分f/（Z）等于（）1.（Z-&）”"A. -_fa)5 + D!B考/C. 2ifnd)D. W叫)n9 .设C为正向圆周lz+l=2m为正整数，那么积分f.：）用等于（12.设积分路线C是帖为Z=I到Z=I的上半单位圆周，那么丁-dz等于()A.2+后B.2-;ZiC.-2-riD-2+后13.幕级数£2二的收敛区域为()A.0<z|<+8B.Iz<÷C.O<z|<-1D.IZKlJTS14.Z=彳是函数f(z)=->u(z-)L的)3zrA.一阶极点B.可去奇点C.一阶零点D.本性奇点15.Z=-I是函数,(Z+)'的()A.3阶极点B.4阶极点C.5阶极点D.6阶极点16.暴极数)zn的收敛半径为(A.0B.1C2D.+OC17.设Q(Z)在点Z巾处解析，f(z)=&-式Z-1),那么RCSf(z),O等于()A. 1B. 2nC. OD.2疝IO.设C为正向圆周IZl=I那么积分借等于IA. 0B. 2iC. 2D. -2"11.设函数RZ)=Er'd?,那么f (z)等于A. Ze- + e +1B. Ze- + 1C. Ze + e 一 1D. ££ 2一 + 1A.Q(0)B.-Q(0)C.Q,(0)D.-Q'(0)18 .以下积分中，积分值不为零的是()A. f(z+2z+3)dz,其中C为正向圆周z-l=2B. fe3z,其中C为正向圆周z=5C-二一dz,其中Cl为正向圆周IZl=IjcSinzD.4/dz,其中C为正向圆周IzI=2jcZ-J19.映射w=z?+2z以下区域中每一点的伸缩率都大于1的是()A-z+l>-B.z+l<-C.z>-Dz<-222220.以下映射中，把角形域0<argz<-保角映射成单位圆内部w<l的为()第二局部非选择题共60分)二、填空题(本大题共10空，每空2分，共30分)不写解答过程，将正确的答案写在每题的空格内。错填或不填均无分。21 .复数Z=4+痴i的模IZl=。22 .设z=(l+i)侬，那么ImZ=23 .z=e2+1.那么argz=。24 .fz)的可导处为。25 .方程InZ=yi的解为,26 .设C为正向圆周z=l,那么，('+5)dz=27 .设C为正向圆周|z-i|=-,那么积分，7dz=。2JNZ-i)?.sin28 .设C为正向圆周IC=2,f(z)=f-d,其中z<2,那么f'(1)=29 .幕极数£2Zn的收敛半径为。n=ln30 .函数f(z)=-1+L+!-在点Z=O处的留数为。zz+1(z+l)5三、计算题(本大题共4小题，每题5分，共20分)31 .求U=X2+2号-y)的共扼调和函数v(x,y),并使v(0,0)=l。dz的值，其中C为正向圆周IZl=2。：z33 .试求函数f(z)=(e-d?在点Z=O处的泰勒级数，并指出其收敛区域。34 .计算积分I=f7dz的值，其中C为正向圆周IZ-Il=3。,e(z-i)2(z+3三四、综合题(以下3个题中，3S题必做，36、37题中只选做一题，需考积分变换者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分)35 .利用留数求积分I="3：dx的值。JU4+10x+936 .设Z平面上的区域为D"z+i>JlZ-i<5,试求以下保角映射(1) W=f|把D映射成W!平面上的角形域D:IVargWl<%；(2) wl=f?(W|)把Di映射成W2平面上的第一象限D?：OVargW2<w=f3(w2)把D2映射成W平面的上半平面：ImW>0;(4) w=f(z)把D映射成G。37 .积分变换(1)设FQ>)=,a是一个实数，证明fy-2yy=l,(2)利用拉氏变换解常微分方程初值问题：(y(OH),y(O)=-l.复变函数与积分变换试题参考答案及评分标准一、单项选择题(本大题共20小题，每题2分，共40分)1 .B2.D3.C4.A5.A6.B7.A8.D9.C10.A11 .D12.C13.B14.B15.C16.D17.B18.D19.A20.C二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)12 .822.023.124.z=025.z=-(1+i3),e3326 .4i27.-2(+i)28.或2i工CoS工29.E30.6333三、计算题(本大题共4小题，每题5分，共20分)31 .解1：.把=2x+2y,生=2x-2y，由Cf条件,喷噜噌2分)4分).,.V=Jy=J(2x+2y)dy=2xy+y2+q(x)。再由一=2y+吠(x)=-2x+2y=,SxSy得/(x)=-2x,于是例X)=-X2+C,.'.V=2寸+y2-X2+C。由v(0,0)=l,得C=L故v=2w÷y2-x2+1(5分)解2：v(xy)=fMdx+dy÷C="(2y2x)dx+(2x+2y)dy+C(2分)(4分)=-X2+2寸+y?+C以下同解1。32 .解1：，dz=2ReZdZ=f2coB2i(cos6+isin6)d6(3分)JClZl2&J-X=4i(l+cos2)d=4j11o5分)J0dz='+J2'A(3分)IZlIZlJjH22)凸力)=2i(2 + 0) = 4ri o5分)33.解：因为=/=f；%?=£粤An*o n. =o n.(IZlV巾)，匕分)所以由纂级数在收敛圆内逐项求积性质，得f =M f(<)d<=n=0(4)n z2n+1n! 2n +1(I z ! < +oc)(5分)34 .解：因在C内f(z)=有二阶级点z=I,所以(z-i)-(z+3i)2I f(z)dz穹Iim /(z-i)2f(z)ZTi dz(2分)=-(-+2m).(5分)16四、综合题(以下3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考积分变换者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分)35 .解：在上半平面内，f(z)=-；：有一阶极点z=i和z=3i。(2分)(F+1)(3)IJrI_厂2殴ti(4分)2j(x2+l)(x2+9)dx2(x2+1)(x2+9)=；Re2/riResf(z),i+2iResf(z),3i,(6分)Resf（z）,i-.ReSiYQ）,3i=-±5y,（9分）二I=v（3e2-1）.（10分）48e3Jz+i=236 .解：由hz-i=5解得交点zi+1,Z2=L（2分）设Wl=上,那么它把D映射成WI平面上的D1:-<argW<-（4分）z+14（2）设w2=e"w|,那么它把Dl映射成W2平面上的第一象限D2Q<argW2<三。（6分）（3）设W=W；,那么它把D2映射成W平面的上半平面G：ImWX）。（8分）,号 Z-1Z一言）=-K0分）再求拉氏逆变换，得（9分）（10 分）（9分）y（t）-Sj_pp-i_=l-e'或利用卷积定理得到y（t）=-S-*2%T=-*e,_pjLp-1.= 1=9（10分）
