聊城大学《实变函数》期末复习题及参考答案.docx

实变函数练习题及参考答案一、判断题I.不可数集都是不可测集.()2 .设E是可测集，则一定存在开集G,使得E二G，且"i(GE)=O.()3 .若集列All为升列，则它必收敛且极限集为UAL()ttw4 .可数个开集的交集称为型集.()参考答案：×××二、选择题1 .下列命题不正确的是()A.开集团集都是可测集；B.吊,Gj型集都是可测集；C.R”是可测集；D.以上都不对.2 .设A是闭集，B是开集，则AB是：()A.开集；B.闭集；C.完备集；D.Frr型集.3 .可测集EU*，/(X)是E上的可测函数，若Lf(X世=0,则A.在E上/"(X)不一定恒为零；B./(x)=0,xE;C.f(x)O,XE：D.f(x)O,xeE.4 .可测集EuR"，且mE>0,f(x),g(x)都是E上的可测函数，若JJf(X)-g*)/=。，则A./(x)=g(x),oeTE;B.f(x)=g(x),xeE;c.f(x)g(xxeE；D.f(x)g(xxeE.参考答案：DBAA三、证明题1 .在句上的任有界变差函数/(X)都可以表示为两个增函数之差.2 .设函数列，(X)(=1,2,)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x),证明：f,(x)e收敛于f(x).3 .设f(%)是E上ae有限的函数，若对任意b>0,存在闭子集入uE,使/(%)在耳上连续，且帆(E-工)<5,证明：f(x)是E上的可测函数.(鲁津定理的逆定理)4 .设£>0门开集GnE,使加(G-E)<e,则E是可测集.参考答案：1.证明：对£=i，3j)0.使对任意互不相交的有限个(q)u(,b)当f曲一4)<b时，有(-/(«,.)<1Z-Ir-!将3切m等分，使,对VT:4=Zo<z<YZk=Xj有Zlf(Zj)-/(zih)<1,所以f(x)在4,Xj上是有界i-l/-I变差函数.所以R()l,从而/(/”小，因此，/(X)是,切上的有界变差函数XtT«2.证明：因为，(外在E上“基本上”一致收敛于f(x),所以对于任意的AcZ+,存在可测集纥uE,ZJa)在线上一致收敛于f(x),且n(E纥)<Lk令£*=0&,则fn(x)在E'上处处收敛到f(x).i=lm(EE*)=m(EjEk)m(EEk)<-,k=l,2,Zk所以小(EE')=03.证明：乂存在闭集工匚瓦机伊-尼卜/)在入连续，令80F=UDJ-I-A则fxeF=>3kfxeCFNnNk,xeF,=>f(x)n=k在尸连续.又对任意3800EIm(E-F)mE-(rFn)=mj(E-Fn)m(E-Fn)<-rt“=&n=*n-2故m(E-F)=Oj(X)在尸UE连续.又利(E-F)=O,所以f(x)是E-F上的可测函数，从而是七上的可测函数.4.证明：对任何正整数，2,由条件存在开集。=>£使W(GJ-E)<L.n令G=n),则G是可测集/1-1又因m(G-E)w(G,-E)<,对一切正整数成立，因而小(G-E)=0,即M=G-E是一零测度集，所以也可测.n由石=G-(GE)知，E可测