信号与系统(应自炉)习题答案第3章习题解.docx

易知(PQ=(P =中2 =(P3 =(P4图321弋(Pn第3章习题解3-1.求以下周期信号的基波角频率为O和周期7。(1) /(/)=Acos4+sin6；(3)/(f)=Acos：+Bsin,；(2) /(/)=Acos2,/-Bsin3r+Csin；(4) /(r)=(sin02;(5)/(r)=e>,;(6)/(r)=(Acos2r-Bsin5r)2；(7)/(r)=Aej,+Bsin6r；3-2:连续时间周期信号/（f）=2+cos（争）+4SinE）。将其表示成复指数傅立叶级数形式，求入，并画出双边幅度谱和相位谱。解：由于/（，）为连续的时间周期信号。由于题易知T=6=-3又/（r）=2+cos（竽）+4sin（）即有a0=2a2=1b5=4G=居=E.2加.38故=2+-2jej又闿=E,J其双边幅度谱如图3-2-1所示其相位谱如图3-2-2所示3-3周期电压/(r) = 2 + 2cos t、+ 4 J甸2代"Gw,试画其单边，双边幅度谱和图3-3-1单边幅度谱相位谱。解：由题易知W1T=2C=C=2C,=C3=1其单边幅度谱如图3-3-1故双边幅度谱如图3-3-2所示/(1)=2+2cos(fH)+COSQf)+COSGfJJ'，443-3卬广力净卬0吗2吗3吗故有例=7°2=-?=皆T-3-2双F幅度谱其相位谱如图3-3-3所示%3-4如题图3-4所示信号，求指数形式和三角形式的傅里口舐强因-_/4I解：由于工为奇函数故有=0图333相位谱2E=一cos)-ln-0n=2k&N-V-4E1*n=2k+lkNn-2£1=Vcos(7)-1sin(w"“=in(b)a0=,(1-Jdt='UrjoT21n故Zz。)=5÷sin(w)+0.5sin(2vvr)HF-sin(ww)n(C)由于人为偶函数故有bll=0n0n=2kkwN<J-44n=2k+lkeNn°n=2kkeNF.二-2An22n=2k+lkeN(d)由于为偶函数故i=O4A八n、=F(Icos行)n2(e)由于外为偶函数故bn=0=COSn2-1)2(f)全波余弦信号八")为=ICOS(Wof)IWO=r又因为八为偶函数故勿=03-5周期信号的一个周期的前四分之一波形如题图3-5所示，就以下情况画出一个周期内完整的波形。(1) /是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；(2) /(j是，的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；(3) /(才是/的偶函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波；(4) /(j是，的奇函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；(5) 是，的奇函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；/(，)是，的奇函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波。3-6利用信号的各种对称性，判断题图3-6所示各信号的傅里叶级数所包含的分量形式。TQ)0EO-E (OT-A1VWV .T O T2T 7(C)I 0VMKW-T -L .L O L L T t(e)"2 ,A ()I L AG)(7)L4 一/ / 二题图3-6解(a)由于f(t)为偶函数，只含有直流分量和偶次谐波余弦分量。(b)由于f(t)为奇函数，只含有基波分量和奇次谐波正弦分量。(C)由于f(t)为偶函数，只含有基波分量和奇次谐波余弦分量。(d)由f(t)为偶函数，只含有基波分量和奇次谐波余弦分量。(e)由于f(t)为去直流后为奇函数,只含有直流分量和偶次谐波正弦分量。由于f(t)为偶函数，只含有直流分量和偶次谐波余弦分量。(g)由于f(t)为偶谐函数，只含有正弦分量。(h)由于f(t)为奇谐函数，只含奇次谐波分量。3-7求如题图3-7所示信号的傅里叶变换。AF2(w) = -ejwrejwr-Ajvejwr+ejw解:(a)对f(t)求一阶和二阶导数得到A=-2ysin(wr)-2Awcos(wr)-A(t + )f1A-A(t-)2MjwSin(W 7) - 2Acos(w)F1(O) = O(ty=丑4 cosvr) - sa(w)wA(b)对f(t)求一阶与二阶导数得到：-,必+广.月(W) =繁+和(WV)=孙J总理(C)对f(t)求一阶和二阶导数得到2W1 =B(O) = OF(W) =F2(w) -wfFi(w) + wlA- wiAeir2-W1(d)对f(t)求一阶和二阶导数得到3-8:设/(，)一网，试用尸Gy)表示以下各信号的频谱。r(r)+M); /(6-3r)j (3);(l-z)(l-z);t r(r)Jr(2)1+w(r)cosft;0r(/+2)/(/)；(6)"加也dt/(r)*(r-3);(10)(r)Jrl2)f()d0(13)g)*Sa(2l)(15),山dt(12)粤AfRi 一2)二二( /(，)(，)(16) (一2)/(。/(T)解：(1)f2(0+/(0=.+/(/)-F(w*FM+FM21(2)1+mf(r)cos(w0)=COS(卬0，)+/Ta)CoS(卬Oa)(3)/(6-30=/-3(r-2)F(-力配，(4)(r+2)(r)=(f(r)+2/(。÷÷jF,(w)+2F(w)/(3)÷÷；呜)(6)jwF(w)dt(7)(1-O(l-/)=/(I-O-(fd-)F(-w)e-v-"F(yaw/(F(Me3(9)ff()dF(0)(w)+F(W)JYjw(10)'f()d加©/HO+F(jw)J-Xjw(11)f',2f()d=-2f,2(l)d62"叫加(OW(W)+Y)Jfj-j2w2(12)可-jwF(w)dt(13) sa(t)÷÷G4(w)2(14) /(r)w(r)F(jw)*-+(vv)2jw(15) dfQT)jwF(-w)e-vdt(16) 。一2)Q)2"3)e-j6F,(w-2)-2F(w-2)3-9先求如题图3-9(a)所示信号/(/)的频谱/(G)的具体表达式,再利用傅里叶变换的性质由F(O)求出其余信号频谱的具体表达式。解：(a)对f(t)求一阶和二阶导数得到(b)由于工(r)="l)故Fl(w)=F(w)e-jw=-(l-jw-e-jw)e-jyvw(C)2=1(-O=(-r+l)(d)(O=/(2-l)=/-(+2)2ej2wF(-j2w)/、/(r)Ozl(e) f4(t)j4/()-lrO(f) /")=z"I)C吊(卬)6一次(g)(0=Ga-l2)3-10利用三种方法求题图3-10所示信号的频谱。解：(a)方法一利用定义方法二利用时域微分性质对f(t)求一阶导数得到方法三利用频域微分性质(b)方法一利用定义方法二利用频域微分性质方法三利用时域微分性质0.5(1+cos*,M<13-11题图3-11所示余弦脉冲信号为/(r)=j°试用以下方法分别求频谱(1)利用傅里叶变换的定义；(2)利用微分特性；(3) /(0=G2()(+cos),利用线性性和频域卷积性质。解：F(W)=J加力3-12三角脉冲力的傅里叶变换为EQ)二等S2(等)，求题图3-12所示信号人=力。一专)COS”的傅里叶变换B3)3-13信号如题图3T3所示，设其频谱函数为尸(。)，不要求尸(G),求以下各值。(1)F(O);(2)"F(<><w;(未做)3-14如题图3T4所示两门函数：(0cF(j3)=E再),f2(t)F?(j3)=E22Sa(22).(1)画出/=力*力的图形；(2)求/=力(/)*人的频谱函数/(。)。3.15双Sa信号/(r)=®Sa(/)+Sa(4(2r),试求其频谱。解：f(t)=-Sa(wct)+Sawe(t-2)*/FS(w)=24一二2wcwcFSawe(t-2)=-e-23.16画出以下各信号的波形，并求它们的频谱Ek)=。(2) -C)=Gr(f)*Wf);力=(r)*必+幻+MT。)解：/(f)=GVVTF(w)=ESa(-)伙)=G*)*(ff):F(W)=GD;力(f)=Gt(0*(+)+(10)Hrr.*.F(w)=2ESa(一)wswt03.17求以下各信号的频谱的具体表达式10=W:W=W+(-0;£«)=")+/(，+2)解：(1)fl(O=f(t)=e-tu(t)e-1)1 + jw，一初1 + jwg=J-%./(W)=r(2e-2cosvv+2wsinVV)1+卬(3) VF(O=(O-()2.*.F(w)=(we+2sinw+2vvcosvv)(1+卬“)(4) YFf(t-)=-(e-e-iw)1+jw： F(w)=(e-ew)(X+e-jw)e2jw丹一4Q)=当2aw尸（VV）=2-1(e-e)(1+jw)1+jw1+jw3.18用傅里叶变换的对称性，求以下各信号的频谱巫；t./“sin2t_z、令%=4;T有4万<->2Gq(-vv)2t：.Sm2双DG4(-w)e-jwr(r-l)a(2) Y三角形脉冲(1-)(+)-(-)Sa(一)>0；a +t -；VpT解： (1) , GW) 3 tSc(-)t2*÷÷2(1)(w+¼)-(w-h)2%令典=2乃有2乃(SinR)22万(1一同)(卬+2万)一£(卬一2乃)t2即（任江）2C（I+式卬2乃）t2万双边指数信号e-M(FVf<+oo)a+wJ。，-23a+W单边指数信号V(r)-!4+jw624"代卬）（一明RfJ-!H(一卬)a+jtsin3-19证明：Gr(r)*Y4(t-nT)n=_NSin监I2)Sa,<To（未做）3.20求以下各傅里叶变换的原函数(1)F()=u(+<y0)-u(-t0):尸=小；解：.F)=u(+690)-u(-<0)SiflWOfTtl. F()=(3)(a÷jf(+j)(a+j)又+W)",/0=ea,u(t)*e'a,u(t)=J：e3.2l-arw(T)-e-fl(/-r)w(r-)d='""e-ad=tel-r(f0)1求卷积包(6电*为(8S)6tSt解：由题3.20可知：3-22尸(。)的图形如题图3-22所示，求其傅里叶反变换了(f)3.23F()=4S3)cos(2g),求反变换/(r),并画出/(r)的波形。解：5.(昉是矩形脉冲Mr)的傅里叶变换，F()=45fl(O)CoS=2Sa)e2j+2Sa()e2jw.f(t)=2x(t+2)+2x(t-2)1/21/2-101t/«)的波形如图：3.24 系统的单位冲激响应为MZ)=«-“'(/),并设其频谱为H(3)=R(g)+jX().(1) 求宠X(°)(2) 证明R(3)=-!-*X()iX()=一一-*R(G)7t解：3.25 信号力(U人(。的带宽分别为外，电，且例七，则以下信号的带宽分别为多少？假设对以下信号进行理想冲激抽样，所允许的最大抽样间隔丁是多少？(1) 1(r)cost2r(2)1(f)cos(DCt,c»xiW20(4)W*(O21(r)÷301202W*(01(2r-l)(r-2)解：(2)带宽为q，=-L=2-L=LZf至"例(3)带宽为例+<=2-?=生士”2万x+g(4)带宽为g，1=；=2；=丝2(5)带宽为外，1=3=2/-="外(6)带宽为2"，=-L=2-=222(7)带宽为g，1=；=2；=丝2外11FCO1C(8)带宽为叫+g,Tv=-=2i=2二，2生2Sf22+g3-26确定以下信号的奈奎斯特频率和奈奎斯特间隔(2) 5a(50r)(2)Sa(IoOf)+S6(80)S(100)+S2(40)f2.27 设力=cos(2)50f),人=CoS(2350f),均按周期7=(l400)s抽样。试问哪个信号可不失真恢复原信号？并画出均匀冲激抽样信号工的波形及其频谱图。解：2.28 题图3-28所示三角波信号/(r)(1)求出其频谱F(G)(3) 是对丁以等间隔一进行抽样所得信号，分析并画出其频谱图死(G)8T（3）将/（f）以周期7进行周期延拓构成周期信号力（。，画出对以等间隔一进行抽样所得8信号力«）的波形和频谱Fps（）O解:F(S)=过与，第一频值为零时口=/频谱为F（o）的信号被冲激抽样后，得到的抽样信号，（。的频谱为（3）由题意有角频率q=半T一、(OS =8 S167T3-29 题图3-29所示信号的傅里叶变换为尸（3）2ET(l -COS终，求图示信号）«）的傅里叶变换丫（）解：）«）是/（，）以周期T进行延拓构成的周期信号。周期函数M）的傅里叶系数为：月=：M0）l皿例2Ecosn - 4n2)M）的傅里叶级数为:削=火Pnet傅里叶变换为:F() = 2YjF(n)s8=4E之n=-cosn2 -nTJZI=-OO-4n2-n-TJ3-30-3-38未做3-39如题图3-39（a）所示电路，/?=1%0,。=0.1尸，输入电压/（。为周期矩形信号，波形如题图3-39(b)所示，且E=lV,=T2,试求（1）求该电路的频率响应H（）=匕"oF（G）（2）稳态时电容两端电压之直流分量、基波、三次谐波、五次谐波分量。粗略画出稳态时电容两端电压c波形。解：(1)由图可知：H()二 4(。)jc_1_IO4+r1+jRcIO4+jjC(2)把周期电压源信号展开为傅里叶级数则卜=T)/(£)展开为:有展开式可以得出:直流分量为:=1时，,2E.22E2基波分重为：sincost=cost2TTtT=3时,Lu,2E.362E6三次谐波分量为：sincos1=cost32T3T=5时,J4t2E,51042EIoTr五次谐波分量为：sincos1=cos152T5T(3)波形图略。3-40LTI系统的输入信号/=sin6m+cos2加，当系统的单位冲激响应分别为以下函数时系统的正弦稳态响应。(1)1(f)=S(4M(2)Zi2(f)=32S(4")Sa(M)解：(1)依题意知，系统函数为H")=(+44)一(公4万)，是一个低通滤波器，所以系统响应为,(r)=cos2m系统函数为"13)=(F2(r)=cFa(4r)*iFSa(8t)rI可知其带宽为fm=6,即g=2w=12乃2兀所以系统响应为y(r)=sin6m+cos2t00,汽3-41LTl系统的频率响应如题图3-41所示，求当输入为/¢)=W>-3""'时的输出505G-_22题图3-41M)解：由图可知该系统为低通滤波器F)=Au+-u-易知，只有当频率=-2,1,0,1,2时才能通过滤波器2_.空所以M)=ASeJ2ejnt定属，/?2。传输过程有无时间延迟？ 解：此电路的系统函数为v( (Rl + JM R? +H(力料=/(R+L)+ R2 +- J1 1#-万+画+R府要求无失真传输，即为(=,=J (RI R?疗)+ W + Rl R2向丁 _J( 3 y+(/? + &, 令两边对应项系数相等，得 解方程组得凡=R2=1代入L和C的数值，其幅频特性为: C)代入得=k3.42 知电路如题图3-42所示，求该系统的频率响应H(G) = 噢，欲使系统无失真传输信号，确3-43 题图3-43所示网络能否无失真传输信号？假设能，参数应该满足什么条件？n=-2(未做)3.44 如题图3-44所示系统，信号如题图所示，/1(r)=cos(0),人)=35(2豌。，求响应y(r)的频谱函数。解：3.45 如题图3-45所示系统，输入信号的频谱为尸(o),"2(g)=G6(o),试画出信号MUyG)的频谱。解:,F(w)3-46此题可能存在符号标记错误_?试分析题图3-46所示系统中和各点信号的频谱,I并画后厘.谱图I。乩仿*G,J加,-4-3-2-101234W/(f)=S(Khrf),(t)=(t-nTT=0.020n=-(未做)3-47知一系统如题图3-47所示，并且试分别求出在下述鼓励信号作用下，输出信号的频谱。(2)/(r)=Sa(r)cos2r解(1)f(t)=sa(t)÷÷7iG2(w)Y(IW) I城/二z=*1又H1(w)=3G4(w)故F1(w)=3G2(w)(0 = ZWs(2m)W3 44 w-2-10÷hi1(其频谱如图3万=_G2(vv+2)+G2(w-2)其频谱如图Iy(W)I=5G(w+2.5)+G1(W-2.5)(2)/(Z)=sa(t)cos(2t)<r-G2(w)*(w+2)-2r"TCwF(w)=yG2(w+2)+G2(w-2)AFI(W) 34/23F(w)=Gi(w+1.5)+G1(w-1.5)>(w+2)÷(w-2)Y(W)=F2(W)H2(W)3乃Iy(W)I=yG1(w+1.5)+G1(W-1.5)3-48一理想低通滤波器的频率响应为假设输入(f)=二包cos5f,求该系统的输出y(f)。解：由f(t)=-cos(5r)=3sa(3f)cosO)tF(w)=G6(W)*(w+5)+(w-5)H0w)2J=G4(vv+4)e；2+G4(w-4)e，2IlIlJJll.2-8-6-420Y(WlG8W3-49在题图3-49所示系统中，理想低通滤波器的频率响应为,j二IIIIIIIIA且。o>>4,-8-6-4-2024(8W(1)求虚框所示系统的冲激响应(2)假设输入信号为/«)=则"DCOSGZV),求系统输出信号M')1.。/(3)假设输入信号为/«)=汕MSinLv),求系统输出信号)G)。LG/(4)虚框所示系统是否线性时不变系统？解：(1)由冲激响应的定义可知由于6(卬+%)和5(W-WO)是在频率为-WO和Wo的一个冲激。而H(W)为一个频率为wc的一个低通滤波器。但由于w.故有H(w)=0(2)/(Z)=56z2(wf7)cs(vvor)/(/)=5a2(w)Sin(W0Z)=0(4)是线性时不变系统3-50如题图3-50所示的调幅系统,当输入和载波信号s(f)加到乘法器后,其输出y(f)=该系统是线性的吗？(1)如果/(f)=5+2cosl0r+3cos20r,s(f)=cos200f,试画出y(f)的频谱图。如果/(，)=予，s(f)=cos3f,试画出M)的频谱图3-51题图3-51(a)所示系统，带通滤波器的频率响应如图3-51(b)所示，其相频特性9(时=0,假设输入/(r)=M畛，s(f)=cosl000f,求输出信号)。2t3-52题图3-52所示为正交幅度调制原理框图，其可以实现正交多路复用。两路载波信号的载频牝相同，但相位相差两路调制信号工和力(。都为带限信号，且最高频率为例”，假设试证明%=力(Uy2()=(0