华杯赛辅导初二-第二讲-分式的化简和求值.docx

华杯赛辅导初二第二讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值.除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答.本讲主要介绍分式的化简与求值.一、内容提要1 .除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。（1）分式中，当BWO时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成B立.分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定.A（2）若A、B及A都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数.BA（3）一切有理数可用A来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质.B2 .分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便.二、典型例题X2-2x-3例1X取什么值时，分式、的值是零?是正数？是负数?X"+2x0x2,x3(.x÷I)(X3)X2+2xX(X+2)->3以零点一2,-1,0,3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图）当x=-l,x=3时分子是0,分母不等于0,这时分式的值是零；当x<-2,-l<x<0,x>3时，分式的值是正数（Y负因数的个数是偶数）当一2<v-l,（XX<3时，分式的值是负数（Y负因数的个数是奇数）例2m取什么值时，分式四H的值是正整数？m-2n+72m-2+9,9=2+tn-n-m-19当上一>2且m1是9的约数时，分式的值是正整数m-1即m-l=l,3,9,-9解得m=2,4,10,-8.答：（略）计算X- 2 x + 2 x + 4x-3x-1 x + 33131解：用带余除法得，原式=1+'一+1+-1-1"-!x+1x-3x-1x+3_3(x-l)-3(x+l)(x+3)-(x-3)(x+lXx-1)(x-3)(x+3)-6l6_48x2-9(x2-1)(x2-9)*例4已知(a+b):(b+c):(c+a)=3：4：5.求a:b：c；.c+bc解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加得2(a+b+c)=12k,即a+b+c=6k,分别减上列各式得a=2k,b=k,c=3k小1_一c-c公/ab_(2女)2-2k×k_1Q)a.bc=2.13；(2)一C2+be(3k)2+k×3k6例5一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值呢？解：设这个两位数为10x+y,那么0VW9,0y910x+y9x=1+x+yx+yQr当X取最小值1,y取最大值9时，分式士-的值最小；当X取最大值9,y取最小值x+y9r0时，分式士-的值最大.x+y答：商为最小值时的两位数是19,商为最大值时的两位数是90。/I.-U2。2+3+2c-u53(i-4。52,c8。+5例6化简分式：+.a+4+2a-2a-3分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多.2a2÷2a÷a÷l+la2+2a-3a-6+1解原式=-Ta+1a+23a2-6a+2a-4-12a2-6a-2a+6-1a-2a-3=(2a+l)+-(a-3)+a+IJa+2-(3a+2)-+(2a-2)a2a-3=(2a+l)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)11111+-+-Ia+1a+2a-2a-3jiit11a+1a+2a-2a-31-1=(a+l)(a+2)+(a-2)(a-3).(a-2)(a-3)-(a+l)(a+2)(a+l)(a+2)(a-2)(a-3)-8a+4"(a÷l)(a+2)(a-2)(a-?)-说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式.例7化简分式:1124816l-al+a1+21+«41+/1+并求当a=2时的值.分析与解先化简再求值.直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b),可将分式分步通分，每一步只通分左边两项.(l+a)+(l-a)24816(l-a)(l+a)+l+a2+l+a4+l+a8+l+a16224816T三7+TTp-+T77+T7+_2(l+a2)+2(l-a2)4816(l-a2)(l÷a2)+UZ+TT+T744816=7-+7-+o-+57-1-a1+a1+a1+a88.16_16,16-l-a8+l+a8+l+aw-l-aw+l+a1,s3232例8若abc=l,求-+-+-的值.ab-va+Z?+1Ca+c+l分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂.下面介绍几种简单的解法.解法1因为abc=L所以a,b,c都不为零.原式=不三+ 3.ab + a + 1 ab ab' I 一 + be + b + 1 abcca + c + 1aababc+I+Iab+a+1abc+ab+aabca+abc+abab+a+11+ab+aa+1+aba+ab+1T=1.ab+a+1解法2因为abc=l,所以aW0,b0,c0.H-Uabbc原式=+-ab+a+abcbc+b+1bca+c+11bbe=÷+b+1+bebe+b+1bca+be+b1bbeTb+1+bebe+b+11+be+b解法3由abc=l,得a=J,将之代入原式1bbe=+=1.b+1+bebe+b+11+be+b例9化简分式：+f.x'+3x+2x+5x+6x+7x+12分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简.原式=+i+i(x + 2)(x + l) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4)11 _3X + 1 X + 4 X2 + 5x + 4说明本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有,+J+1、的一糜式,与分式运算的通分思想方法相反，我们将上式拆成一与7两项，这样，前后两个分式中就有可以相x+nx+n+1互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧.例10化简计算(式中a,b,C两两不相等)：2a-b-c2b-c-a2c-a-b-3；1；分析本题关键是搞清分式-27 A a -ab-ac+bca-ab-ac+bcb-ab-bc+acc-ac-bc+ab的变形其他两项是类似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(ab)(ac),而分子又恰好凑成(ab)+(ac),因此有下面的解法.席式=(a-b)+(a-C)+(b-c)+(b-a)+(c-a)+(c-b)原“一(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)111111a-ca-bb-3ibcc-bc-aA+B=J.+J_的变形技巧说明木例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用ABABW丈方仅口例11己知：x+y+z=3a(a0,且x,y,Z不全相等)，求(X-1)(y-4)+(y-)(z-4)+(Z-I)(X-L)的值(x-a)2+(y-a)2+(z-a)2分析本题字母多，分式复杂.若把条件写成(xa)+(ya)+(za)=O,那么题目只与xa,y-a,za有关，为简化计算，可用换元法求解.解令x-a=u,y-a=v,za=w,则分式变为-yy-.且由已知有u+v+w=0.将u+V+w=0两边平方得U+v+Wu2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0.由于X,y,Z不全相等，所以u,V,W不全为零，所以/+/+-WO,从而有UV+VW+WU_1u2+V2+w22,即所求分式的值为-J.说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化.1.-92111IIX+-x-3例12化简分式：(XH)2-XH-H7XX112,1C21-XX+-ZX+3_XJXX分析原式中只出现了EU和注的形式，而且+XXXi)a-2,因此可用换元法.解令凹=a,则XX2+-y=(x+J2-2=a2-2.1a2-2-a+31 -a)a2-2-2a+3-a+1)a2-a+1a-1Ja2-2a+1a2Ja2-a÷lV(a-l)2Ia-1Ja-a+1a2-(a2-a÷1)-a-1例13若,=W,求f*分式的值.分析直接将X的值代入原式求值，计算繁琐，可将X=JI9靠右适当变形,化简分式后再计算求值.解x=19-8-16243+34-3,所以X-4=-用，所以(x-4)¾,BPx2-8x+13=0.原式分子=(x,-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10,原式分母=(x+13)+2=2,所以原式=9=5.说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化.例13若。+=j+c=-+A+c,求(+O)0+c)(c+)的值cbaabc解法1利用比例的性质解决分式问题.(1)若a+b+cO,由等比定理有a+b-ca-b+c-a+b+c，一I一一.cba_(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)a+b+c=L所以a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a,于是有(a+b)(a+c)(b+c)2c2b2a；=:=8.abcabc(2)若a+b+c=O,则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b,于是有(a+b)(a+c)(b+c)(-c)(-a)(-b),=-1.abcabc说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解.=k,解法2设参数法.令a+b-c_a-b+c_-a+b+ca+b=(k+l)c,a+c=(k+l)b,b+c=(k+l)a.+有2(a+b+c)=(k+l)(a+b+c),所以(a+b+c)(k-l)=O,故有k=l或a+b+c=0.当k=l时，(a+b)(b+c)(c+a)2c2a2b=8abcabc(a+b)(b+c)(c+a)(-c)(-a)(-b),abcabc当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用.三、巩固练习Ifll-21.a=时，分式的值是0.a+q62.2-2yr=。则分式z：x+2y+z=0X+y+z3r÷23 .若X和分式之二都是整数，那么X=x4 .直接写出结果：x2÷-=(x+-)2-;®(x2+A-+2)÷(x+-)=；(x2-)÷(XH)=；(1+)(1-1-)=JrXXXX5 .化简繁分式Li-,并指出字母X取什么值时它没有意义.1+xr2_r_26 .X取什么值时分式，的值是零?是正数？是负数？X2-97.计算：山+土匚-1-山；x+1x-3x-1x+3Rll24117T；1-xl÷xl+x1+x6x+7x+2X2+2x+l+102；153x+8x÷4x-x-2-48.解方程：,八+9x+10x+6x+7(1)=x+8x+9x+5x+6(2)%3+2X3-9->'；Jr7+1X+2x+42x-l；/、x-a-bx-b-cx-c-aCz4.Ill八、(3)+=3(其中一+一0).cababc9.已知xy：yz：Zx=3：2：1.求：X:y：z；:.yzzx.c-1A.cb-cc-aa-b-、十,C10.已知abc且=.求证：ax+by+cz=O.xyz一-*a.+yv+zz+X4/、._11 .己知：=.求(x+y)z的值.zxy12 .由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最小值是多少？13 .在保证分母不等于。的前提下，分式竺2中的X不论取什么值分式的值都不变，问abx+5和b之间的关系应满足什么条件？14 .己知且=2=£求证：(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)=(am+bn+cp)2.mnp参考答案1.22.-13.2,0,6,-44.1+二x+-2-3(x+L)XXXI+L+一(X+-)XX'X5.x=-l,2,1.5时没有意义6,仿例1,四个零点一3,-1,2,3把实数分为五个区间7 .T-一坐_一g(x2-l)(x2-9)l-x8x+28 .X=-7X=-19.3：6：20.2510 .设各比的比值为k11 .2或一112.10.5(x=l,y=8,z=9)13.5a=3b14.设比的比值为k,分别证明左，右两边都等于k2(m2+M+p2)2