高等数学下知识点总结材料.doc
文档主要公式总结第八章 空间解析几何与向量代数1、 二次曲面1） 椭圆锥面：2） 椭球面： 旋转椭球面：3） 单叶双曲面： 双叶双曲面：4） 椭圆抛物面： 双曲抛物面马鞍面：5） 椭圆柱面： 双曲柱面：6） 抛物柱面：（二） 平面与其方程1、 点法式方程： 法向量：，过点2、 一般式方程：截距式方程：3、 两平面的夹角：， ；4、 点到平面的距离：（三） 空间直线与其方程1、 一般式方程：2、 对称式点向式方程： 方向向量：，过点3、 两直线的夹角：， ；4、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， ；第九章 多元函数微分法与其应用1、 连续：2、 偏导数： ；3、 方向导数： 其中为的方向角。4、 梯度：，如此。5、 全微分：设，如此（一） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、 微分法1） 复合函数求导：链式法如此 假如，如此 ，（二） 应用1） 求函数的极值 解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令， 假如，函数有极小值， 假如，函数有极大值； 假如，函数没有极值； 假如，不定。2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线，如此上一点对应参数为处的切线方程为：法平面方程为：2） 曲面的切平面与法线曲面，如此上一点处的切平面方程为： 法线方程为：第十章 重积分（一） 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积1、 定义：2、 计算：1） 直角坐标， ， 2） 极坐标 ， （二） 三重积分1、 定义：2、 计算：1） 直角坐标 -“先一后二 -“先二后一2） 柱面坐标，3） 球面坐标（三） 应用曲面的面积：第十一章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义：2、 计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，如此（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为面从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，.向量形式：2、 计算：设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，如此3、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，如此.（三） 格林公式1、 格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数,如此有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，如此曲线积分在与路径无关（四） 对面积的曲面积分1、 定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义 2、 计算：“一单二投三代入，如此（五） 对坐标的曲面积分1、 定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义 同理， ；2、 性质：1，如此计算：“一投二代三定号，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，如此,为上侧取“ + ， 为下侧取“- .3、 两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数,如此有或2、 通量与散度通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：散度：（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G的正向符合右手法如此, 在包含å 在的一个空间域具有连续一阶偏导数,如此有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:2、 环流量与旋度环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度：第十二章 无穷级数（一） 常数项级数1、 定义：1无穷级数：局部和：，正项级数：，交织级数：，2级数收敛：假如存在，如此称级数收敛，否如此称级数发散3条件收敛：收敛，而发散；绝对收敛：收敛。2、 性质：1） 改变有限项不影响级数的收敛性；2） 级数，收敛，如此收敛；3） 级数收敛，如此任意加括号后仍然收敛；4） 必要条件：级数收敛.注意：不是充分条件！3、 审敛法正项级数：，1） 定义：存在；2） 收敛有界；3） 比拟审敛法：，为正项级数，且 假如收敛，如此收敛；假如发散，如此发散.4） 比拟法的推论：，为正项级数，假如存在正整数，当时，而收敛，如此收敛；假如存在正整数，当时，而发散，如此发散. 5） 比拟法的极限形式：，为正项级数，假如，而收敛，如此收敛；假如或，而发散，如此发散.6） 比值法：为正项级数，设，如此当时，级数收敛；如此当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.7） 根值法：为正项级数，设，如此当时，级数收敛；如此当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：为正项级数，假如或，如此级数发散；假如存在，使得，如此级数收敛.交织级数：莱布尼茨审敛法：交织级数：，满足：，且，如此级数收敛。任意项级数：绝对收敛，如此收敛。常见典型级数：几何级数： ； p -级数：（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、 幂级数：3、 收敛半径的求法：，如此收敛半径 4、 泰勒级数展开步骤：直接展开法1） 求出；2） 求出；3） 写出；4） 验证是否成立。间接展开法：利用函数的展开式1；2；3；4；56785、 傅里叶级数1） 定义：正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。傅里叶级数：系数：2） 收敛定理：(展开定理)设 f (x) 是周期为2p的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期连续或只有有限个第一类连续点;2) 在一个周期只有有限个极值点, 如此 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有3） 傅里叶展开：求出系数：；写出傅里叶级数；根据收敛定理判定收敛性。11 / 11
