数列的前n项和求解方法专题讲解.docx

例LLl已知数列4的前项和为S,=2"-l,bn=atl+2n-,则数列d的前项和为OA.2n-,+-lB.2n1+2n2-lC.T+n2-1D.2n,+W2+1【答案】C【解析】.bn=an+2n-1,数列bn的前n项和=Sn+l+3+.+(2n-l)i1n(l+2/1-1)=Z-H2=2-l÷n2.例1.1.2已知数列“中，4=1,。=(一1)”(%+1),记S”为4前项的和，则S.=【答案】一IoO5【解析】<a=l,ar1+=(1)n(an+l)>.*.a2=2,a3=-1>a4=0,a5=l»a=-2.从而可得数列an是以4为周期的数列*Szou=a+a2+a3+a2oi3=(a1+a2÷a3÷a4)×503+a2013=503×(l-2-l÷0)+1=-1005.例1.1.3已知数列¢,为等差数列，4=3,4=7；数列2为公比为q(q>1)的等比数列，且满足集合也也=1,2,4.(I)求数列q,2的通项公式；(II)求数列4+么的前项和S11【答案】(I)an=2n-;hn=2n-i(11) Sn=n2+T-【解析】(I)设等差数列的首项和公差分别为ai、d,V32=3»a4=7,.*.a÷d=3,a÷3d=7,解得：a=l,d=2,.*.a=1÷2(n-1)=2n-L;等比数列bn成公比大于1的等比数列且b,b2,b3)=h2,4,.*.b=l,bz=2,b3=4,*b1=1,q=2,b11=2n,;(11)由(I)可知Sn=(a+a2+an)+(bl+b2+bn)(1+2-1)1-2”2+1-2=n2÷2nl.序相加法例1.2.1已知f()=+in-,则41)+/(2)+/(3)+/(99)的值为O100-X99A.5000B.4950C.99D.2【答案】B【解析】:/(x)=x+n-,100tX100_y/(x)+f(100-x)=x+ln+100-x+ln=100»lOOxX/(1)+/(2)+/(3)+.+/(99)=50(1)+f(99)-f(50)=50×l-50=4950.例1.2.2Sin21o+sin22o+sin23o+.+sin289o.89【答案】S=-2【解析】S=sin2lo+sin22o+sin23o+-+sin2890QQ5=sin289o+sin288o+sin287o÷+sin2lo,/.2S=89,S=竺.2例1.2.3设/(X)=-L产，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得2t+2/(-5)+/M)+/(O)+-+/(5)+/(6)的值为【答案】3立【解析】.(x) /(i-) =12x2 +近- 2 +"2'2x+22/(x)+f(l-x)=!尸=+''f2a+22,x+22÷22÷22x设S=/(-5)+/(-4)+/(0)+/(5)+/(6)，则S=/(6)+/(5)+/(0)+.+/(T)+/(-5),：225="+/(-5)1+"+/(-4)+f(-5)+/(6)1=62,:5=/(-5)÷/(-4)+/(0)+/(5)+/(6)=3人.随堂练习随练LI数列4的前项和为S"j-+"+l,=(T)ZSWN")则数列出的前5°项和为().A.49B.50C.99D.100【答案】A解析当=1时，"=$=3当22时，为=St-SZ=2(22).f3,i=1.bl+b2+0=(-3+4)+(-6+8)+(-98+100)=l÷2+2+4=4924个随练1.2已知an是等比数歹U,满足=6,%=T8,数歹U他“满足a=2,且2+为是公差为2的等差数列.(I)求数列%和2的通项公式；(II)求数列2的前/项和.【答案】(I)=-三-=h+(-3,(n)n(+l-(-3r"24【解析】(I)设数列af1的公比为q,a2=aq=6ay=a/=-18解得a=-2,q=-3所以，an=-2×(3)n1令Cn=2be+av则C=2b+a=2,c11=2÷(n-1)×2=2n%=+(-3尸(II)Vbn=n+(-3)1,数列L的前n项和：Sn=(l+2+3+.÷n)+(-3)0+(-3)+(-3)2+(-3)3+.+(-3)n1(+1)1-(-3)"=2+1-(-3),.+1(3)”Jt,-'”24x-11随练1.3已知函数f(x)=7,则/(1)+/(2)+/(3)+/(一)+/(一)=.l+x23【答案】-21【解析】:函数/(%)=±7，.")=上=一一，寸()+/(工)=.1+xX1÷4X+1X：.f(1)+/(2)+/(3)+/(-)+f(!)=f(I)+1+1=-.2324随练“设加夫【答案】0064,x2【解析】+得 2S = 2012=>S = 1006I)=产豆=77?J3+/(I)=I随练1.5已知函数f(X)=若;，数列4的前项和为Sn，且q=/(蒋)，则S刈7O2019A.1008B.1010C.D.20192【答案】B一 .数列的求和方法1 .裂项相沿法T芯'的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项.已知数列%为等差数列，且公差不为0,首项也不为0,求和：el÷1z11、el1z11、n首先考虑Z=-(),则Z-()=.=I44+1Mdai4+i=aiai+xd«,an+laian+i已知数列4为等差数列，且公差不为0,首项也不为0,下列求和f-lj=之区;M也可用裂项求和法.i=Jq+J4*1f=d2 .错位相减法：对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前几项和，常用错位相减法an=bncn,其中4是等差数列，q是等比数列，记S”=S-十%*+3,则qSn=blc2+-1cn+f+1,两式相减即可求得.一.方法点拨对于分母为三次函数的裂项，先裂成两个分母为二次的分式之差，再分别裂项.二 .必备公式1J_L1J(I_!_)拆项公式：(+1)n+1；n(n+2)2n+2；1Iz11、-=,(-)(2-1)(2+1)22/1-12+1例2.1.1已知数列的前n项和Sn=M3,T),且=27(1)求数列qJ的通项公式；(2)若2=bg3(,求数列的前项和北.l+l,=_1.【答案】(I)ann(2)n+1,k=-【解析】当=3时，=S3-S?=©3'-3-)=27,解得2当2时，W-S,=I(3-1)-(3-,-l)=(3-3,)=3"q=$=3也满足上式，故a.=3"；(2)=log,3=n,=3÷(+1)nn+,11111111n223n+1n+zz+1例2L2已知数列aj是各项均不为零的等差数列，S.为其前n项和，（nM）,若不等式.对任意nM恒成立，则实数人的最大值是一【答案】1/2例2.1.3已知等差数列的前项和为sn,a3=3,54=10,则数列一Ig的前100项的和为（）200A.101【答案】A100I2B.C.D.101101101【解析】.内:=3,S4=""2=10,.cr1+%=W+%=5g=2所以等差数列qt的公差d=a3-a2=l,.at=a2-d=l,通项公式为2n(n+1)1则其前项和为S”二二L._=2S”则数列J的前100S,1 1 1 1 + + .+ 223100焉卜一击卜部例2.1.4数列4满足4=1'对任意的见eyv'都有4"+"=品+%+加"，则1111÷+FHaa2。3fl2O17等于()例2.2.1已知等比数列叫的前项和为Si若S3=7,S6=63,则数列,的前项和为()【解析】由题意可得，公比“力，.4(j)=7,W"'I,1-q-q相除可得l+3=9,q=2,'=l.故G="T=2Tnan=n2n'f数列wlt的前项和MI=I2。+221+.+2一,2,1=l2l+222+.+(n-l)2"l+n2"*l-2z,两式相减可得，-M=I+2+22+.+2"-f0=n2lt=2n-l-n2=(l-n)2n-l,1-2：.M»=(n-1)2n+1故选：D例2.2.2若数列&的通项公式为加=2,则前n项和为（）2”A-Sn=l-B.Sn=2-22一2CS11zzn（I-）D.S11zz2÷22-2"【答案】B【解析】可用错位相减求或验证Si、S2.法一（验证法）：S=a=2f2,排除D.I2Sz=a+a2=-+=1.排除A,C.选B222法二（错位相减法）：Sn=a+a2+.+an=i+.+-222TIl2公22222十aICIIl1n1 n .+2-1222,故选B. 2”-得：-s-+-+-*Sn=1+-7"+222数列bn =例2.2.3已知数列«满足：a1=La“=2"（"N"）og,2（l+%）（wN，）,Tn=bb2+-+bn,则几的值为（）1+为【解析】:a=l,a11+-a11=2n（nN*）f.*.as-a=2>a3-a2=22ta4-a3=23,an-al=2n,等式两边同时相加得：an-a=2+22+23+.2nl,1-2BPan=a+2+22+23+.2nl=l+2+22+23+.2n',=2n-1,1-2T等)=粤号号=野则Tn=L+W，222232"ml1_123/1-1n台22223242”2n+l-得ITl 1-Tn=- + 22 222:11 n+ 2t+-"+27 '尸=,4-=l2"，n÷1则 Tn=2 -2'i-A2÷=2=空123则Tlo=2-=2-4256 25621028例2.2.4在等差数列4中，己知a1+=9,枭&=21,数列满足hhh1+÷.÷-=1sn=bl+b+.+»若S>2,则的最小值为（）6%可2【解析】设等差数列&的公差为d,由知仍+见+图=9,m=2L可得3«+4=9,(a+d)(+3d)=21=l,(1=2.*.4=l+2(/11)=In-I.+.+ =1-±2"132-lS11 = -7 + -7+. +” 2, 222113/=齐+3+2/1 3 2/1 1 + TT- + -TTT-2"O 2 + 3 =，=3-一，区+%+义=1-LTn得久=L也=%=24%*2rt-'42“2“2“VS1=-,S2=-,Si=-,S4=-,所以满足£>2的的最小值为424816随练2.1已知函数(X)=4-l,若数列!前n项和为S“，则io.的值为Of(n)【解析】由f(X)=4x2-l,得一=一=!=-(-f(n)4n2-(2zz-l)(2+l)22-l2n+l.5=1(1-1)÷1(1-1)÷L÷VL)J(I_L)=些.20,523235240294031240314031随练2.2我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1,1.234n第二步：将数列的各项乘以，得到数列(记为)al,%，%，则a,a2+a2a3+an.lan=OA. M2B. ("I)?C. n(n-1)D. (n + l)【答案】C【解析】4=-.k"2/11、n22时，ak,lak=(-).(k-)-1*axa2÷a2ai+-I11"65)+(5-5)+()H-In=/(1-L)=(-1)-随练2.3已知等差数列&J满足a2=0,afi+as=-10(I)求数列an的通项公式；(II)求数列乌的前n项和.2一【答案】【解析】fa,+d=O(I)设等差数列a“的公差为d,由已知条件可得,2ai+2d=-IO解得:故数列a的通项公式为“=2川：(II)设数列-¾的前n项和为Sn,即S11=a+"+十&，故Si=I,222"+”+M，2242n当n>l时，-得：&=ai+2二&+222)-三2n=一,2z11I=I-(+-+,242n-'1 、2=1"(1r)2一2所以Sn=号综上，数列券的前n项和Sn=号.随练2.4在数列q,中，a1=1,且满足为-4冲1=(4f+,(wN+).(1)求数列6的通项公式4.y(2)t=的前项和S见【答案】(1)an=-n(2)S=三×3rt+,+-"44【解析】(1)由满足(4+-l)q+q+=0(zzN*),整理得-=1.an+lan数列是等差数列，首项与公差都为1,=1+(-1)=ZZ，4.1nV(2)由(1)知：Cn="3",an数列J的前项和S=3+2X3?+3X3?+3",3Sn=32÷2×33+(w-l)3+n3n+,-2S=3+32+3f3"Sw=×3n+,+-.“44随练2.5已知等比数列&,的公比q>l,且满足：a2+a1+a.=28,且必+2是a,a,的等差中项.(1)求数列a的通项公式：(2)若a=%10g4,Sn=b,÷b2+bn,求使S“+n2n”>62成立的正整数n的最小2值？【答案】an=2n,nN*(2)6【解析】(I)Va3+2a2,a4的等差中项，*2(a?+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,可得a3=8,.22+24=20,axq2=8«2,aiq+alq=20J)a=32解得Iq=2或1,夕=2P=-q>1,'a1=q=2,工数列ar的通项公式为an=2%nN*:(2)Vbn=atllogjan=2"log2n=-n2n,22Sn=-(l2+222+.+n2n),2Sn=-(l22+223+.+n2n+1),上面两式相减，可得一Sn=(2+22+.+2n-2n*1)=2(12")_/"+I),1-2化简可得Sn=2n+1-2-n2n+1,Sn+n*2n*1>62,即为211+i-2A62,可得n+l>6,BPn>5,则使Sn+n-2n+1>62成立的正整数n的最小值拓展1已知等；三2J卡：爰d为1,且a-ai,七成等比数列.(I)求数列a的通项公式；(II)设数列bn=2an+5+n,求数列bj的前n项和Sn.【答案】(I)an=n-5(II)2"、-2+"("十"2【解析】(I)在等差数列arJ中，因为aI，aS,a4成等比数，所以M，即(+2d)2=c+3a1d,解得。0+4，/2=0.因为d=l,所以31=-4,所以数列arJ的通项公式an=11-5.(11)由(I)知：an=n-5,所以bn=2an÷5+n=2n÷n,得Sn=(2224.42)+(l+2+.+n)2-12(2,-l)(+1)=12，一+啜拓展2已知数列“的前项和为S“，4=；,2。N=S,f+l.(1)求巴，%的值；(2)设d=2。“一2一1,求数列2的前项和3Q?【答案】(D-；-(2)T=2(一)-2n-248"2【解析】(1)因为数列ar的前n项和为Sn,a.=-,2a11+=S11+l.23所以：2%=Sl+1=4+I=，3解得：a2=.49所以：2%=S2+1=6f1+1?2+1=»9解得：%=.3 8(2)因为2a11+=Sn+l,所以：2an=Sn-÷lt(n2)则：2an+-2an=Sn-Sn-=a11所以：M±=2.4 2由于：&=3,42则：数列al1是首项q=；,公比是I的等比数列.所以：bn =-2n-.所以：a=”2因为bn=2an-2n1,所以：Tn=b+bz+brv-2 zz - 1 >= ()0-3÷()'-5÷ ÷=()°+()'+(r,-(3÷5+2/7-1).(2 + 4) 2所以数列的前n项和为：2()“-2-2-2.拓展3已知数列an中Clti=(-1)(2-1),设a的前n项和为Sn,则S101的值为一【答案】-1(f¾M)【解析】4,=(-1)F-(2"-1),当n=l时，31=1,当n=2时，a2=3,当n=3时，a3=5,当n=4时，a4=7,当n=5时，as=-9,当n=6时，a6=-11»S4=-l-3+5+7=8,S8-S4=-9-ll÷13+15=8,每隔4项之和均为8,101÷4=25.1Vaioi=-201.*Sw=8×25-201=-l.拓展4若f (x) =»x+则f(1)+f(2)+f(3)+f(2011)+f(-)+f(-)+f【答案】402123【解析】Xx+11XTf(x)+f(-)X+l+Xf(1)+f(2)+f(3).+f(2011)+f(-)+f(i)+f(!)232011=f(1)+2010×l=+20101+14021故答案为:-2,40215若数列aj的通项公式是&,=(-1)(3n-2),则a+a2+a<>=()A.15B.12C.-12D.-15【答案】A【解析】依题意可知a+a2=3,a3+a4=3>.»a9+a0=3a+a>+.+ao=5×3=15故选A.拓展6定义为"个正数q,小，Lql的“均倒数若已知数列。“的前项4+/+L+an的“均倒数”为一!一，又d="l,则J-+J-+L+"=()2+14bib2b2b3672016120152017AB-CD2017201720162018【答案】A【解析】设Sn=a+a2+a11,由题意可得：.可得Sn=2112+n.1+tz2+L+an2+In=1时，a=S=3:n2时，a11=Sn-S11-=2n2÷n-2(n-1)2÷(n-1)=4n-1.n=1时也成立.*.a11=4n-1.,.4+1.n=n，n41111.=.+)5+1)nn+1则201620171111八1、/11、1/11、，11+L4=(1)+()÷L+()=1blb2b2b31617223201620172017拓展7已知数列an的前n项和S“满足:2Slll-a,l.（1）数列%的通项公式；设=-yL,且数列瓦的前项和为，求证：北；.【答案】（D"=（；），neN"（2）见解析【解析】（1）当=1时，.2q=1q所以q=g,当2时，atl=Stl-Sz,即2“=-%+%3=-1,-=an-3所以数列q是首项为；，公比也为:的等比数列,1 1 1由<,:3+l 3” 3h+,-1111V3"M-I3”3,+l(1Tn=bl+h2+- +blj<即kg十十1 al +1 a2 +1因为-LrV0,所以！一一!-r<-3向33,+13拓展8已知数列4中，4=2,若。向q=Y，设/=-A+-&+-&4+14+1品+1若7；<2018,则正整数，的最大值为OA.2019B.2018C.2017D.2016【答案】B【解析】由加+1-211=2112,得2117=112+211=211(11+196,，=q+q<%+i)%见+.Tm<2018,m-1v2018,"7<2O18+L,正整数m的最大值为2018.33拓展9已知数列&)的前n项和为S.,且S.=3”一1.(1)求数列a的通项公式：(2)设b=log3(l+sn),求数列aK的前n项和为Tn.【答案】an=2×3n,【解析】(DVSn=3n-l.*.n=l时，a=s=2;n2时，a11=s11-Sn-=(3n-l)-(3,-l)=2×3n,.n=l时也成立.a11=2×3n,.(2)bn=log?(l÷Sn)=n,.*.anb11=2n3n-1.数列ah的前n项和为T11=2(l÷2×3+3×32+.+n3"-,),3Tn=23+2×32+.+(n-l)3n'+n3n,-2Tn=2l÷3+32+.+3n-l-n3n化为:片生Z等拓展10已知数列伍”满足q=1,%=%+2,数列"的前项和为S“，且Sfl=2-".(I)求数列&,2的通项公式；(11)设,=,t2,求数列1的前项和【答案】(I)an=2n-ihn=(),nN*(11)Tn=6-【解析】(I)因为a=l,an+-a=2,所以arl为首项是1,公差为2的等差数列，所以a11=l+(n1)×2=211-1,又当n=l时，b=S=2-bi»所以b=l,当n22时，Sn=2bn，SnI=2bl1-由一得bn=bn+bn-1，即4-=，-2所以bn是首项为1,公比为!的等比数列，2故”=（；尸，nh;2111（三）由（I）知q=也=F-，则（/+捺+/+K+竽ITI32n-32k-IG/下+齐+K+方丁+3-，G曰IE12222-1一得I7L=.+夕+尹+k+广-2+ 33所以（=6-空.