复变函数重要知识点总结.docx

第一章复数及复平面一基本概念和主要结果：1 .且数域及复平面：规定/二寸二工复数集C上I?=H十9,1,£底1,则实数集及UC在C上规定加、减,乘、除运算，给豆数集一个代数结构，则且数集成为且领域(可看成是实数域映扩张而来)设N=%+"i=%+"i,£胺定义1.16±不一(%+ajt(b±b.,ji.得马二(a+外)(+厚)一(%/-6也)+i(a也十%,),4%+6J%十句均用工一七匕三二门7二可前厂+I可干)复数域上引进一种拓扑结构:任爸W已名=%+增向=L+电,苞与&的距离%-%=(Q-1)2+C一为产，从问发数域成为夏欧氏空间，在这个空间可以比义邻域棣念，为在复平面此引进极限作好了准备.发数集、二维平面的点集及平面上的向量集构成了一个一一对应关系.复数的二角表示：N二忆I(CoSArgZ+iSinArgz),一|苞cosArgzv+iSinArgN，之？一2cosArg2+isinArg221.乐爸=1爸1设21kos(ArgWIArg,J+isin(Ar%+Argxa)j,设J黄h>MArgA-Args,)+isin(Arg%-Arg2z)-义if称为第数ZLliy的共扰数，记为三(，和彳也称为互为共扼数)，Z和三关于第平而实轴对称，Izl=同Arge=Args.zi+Z2=号+T2.27Ty=zl2,?=z,(三)=T",x*=2 +K还可以令以下表示：Z=%+iy,则Z=_Q二."=豕(2一句，用于化简，证明一姓代数式：复数z=zcosArg+isinArgs的乘辕和开方运算：短"二INHC-Os(7z?ArgC)+isi【GArg2),C2.(整数集)Zm=:I/!ZlCoSArgZ)+isin(:Argsj,n为才子等于2的正整数.2 .兔球而和犷充第数集。8在三维空间中，作球而S:产+犷+2司,把XOY平面石竹z=/+i平面,取球.而上V(O.O,D称为球极，可建立起笑平面C。SN的一个一一对应：作连接NUXOY平面上任一点工”，英0)z+zZ_NIrP1的直线，直线与球面的交点是工，(/././),就有，=E4、/=m朱:一.弁规卜卜+1)(k2+1)IW+1定复平而上的个理想点LN对应，称此理想点为复平面I:的无穷远点00,记。8=CUx,从而CQQ与S建立了一个一一对瓯3 .复平面的拓扑：定义13宏燃悉以卜概念(定义)(1)邻域：U(ar0.r)=zz-z0<rt56C).(2)去心邻域：:)(")=c0<±一OJ<r.z£C.闭邻域:U(XO.r)=zz-zoC).(4)聚点：集EJtC,若集口>(),。(“口少至。，称是E的聚点.(5)内点：集E,F.3U(xo.r),使U(4.DC£,称为是E的内点.X*(6)边界点：集EeC,Vt0.U(%>力。£壬仇5/M)D£声/称与为E的边界点.(7)边界：山集E的全部边界点所组成的集称为R的边界，记为(8)/包：7?=a,;U?.孤立点：。EE3r>0,使得U(n.r)nE=S,称。为E的邠立点.(10)开集：集E的点全部是内点，称E为开集.(11)闭集：集E的补集是开集，称E为切集.(12)有界集:3r>0,使得月UU(OJj,称E为有界集.(13)无界集：不是仃界集，称为无界集.(14)紧集：有界闭集称为紧集.(15)集D的连通件：集D中任两个仃限点U以用仃限个首尾相接的折税连接.(16)区域：连通的开集称为区域.(17)曲线：设2=e=1加Xt)+MiN,aWtWb的点n之轨迹，称为曲线.(18)连续曲线：若曲线？=2(。/W卜向也这(4)/皿连续.(19)简单连续曲线:连续曲线乞=z(£).,M。，411Y(4b),4rz2.rz(±J(20)简单闭曲线:简单连续曲线z=%(£),/£E“旦2(a)=z(b).(21)单连通区域D:区域D内任何简单闭曲线的内IX域中符一点都属于D.(22)多连通区域:不是单连通区域,称为多连通区域.二、例题与练习：1.1求i的四次方根.解：因i=cos+2人兀)+isin+2力r),所以a=cos(，J.)4-isin0.1.2,3贝IJcW+isin/cos+*而口.cos+,)藉吗+4cos6+9)+7F3>'w仁十刃.注：第.章定义了指数函数/(句=,产和欧拉公式=COSe+iSih仇此题可利用复数2的指数表达式2=AEi十算囚为i=/(号+2V),所以i的四次方根(四个)是：d吉,/住十年)，/(之十)5年一州)即一台ic哈.L2已知/斗之+1=(),求2"+式斗七3之值.好瀛1:阁)？j2那导知NI541=(),故z31=o即Z是i个三次单位根从而Z”二产,，=%,炉1.3设二是任意一个不等于1的n次单位I礼求1卜2+/+丁-L的值1_/解：因Z"=i,z1,则1+z+N"1=().1 Z1.4 证明：若Z是实系数方程a网*+°网1+a加+6=0的根，则三也是其根.证：因为对任意自然数】I,有三=(可3又因为明为实数当且仅当%=%山已知Z为方程/严+%严一】+。&+*=0的根，所以有%泮+%济-1+*4+(=o对上式两端同时取共挽运第，得田=0)Q/口+Q12T+Qn.1N+Q,=0于是aon+a7i41%衣+0即司也是a0wn+a(Wy+aw_xW+a=0fiJ.1.5 用CoSIJjHin0表示cos5.解：cosj=Re(cos5+isin50)=Re(coS(9+isin(9)5=Re(eos57+5icos4«sin0-1Ocos23 X2x>0和。< 中=16fein2P-IOicos?Osii,O+BcosOsiiJe+isin5O)Lcos3O-10cos36fein2/?+5cos<in4theta.同时也得至U:sin565cos4OsinO-10cos2Sin3+Sin”同L6若8于O,试证明sin5+sin("+1)O1 +cos0+cos2o+cos2=.2 sin今八八八8sg-cos/77+I)sin0+sin2。+一卜sin6=-.2sinf证：令Z=cos£+Isin8.zrcos,6+isinff又因为1+z+/+.1-zMZA、1-lcos(7i+7+isin(i+1)8即1+(cos0+isin0)+(cos2"+isin2。)H-F(cosn+isinO)=:1(cosO+sxO)从而(1+cos0+cos20HFcosOki(sin0+sin2。+sinn)1(cos(n+1)0+isin(n+1)(1CoS04-isin。)/8)f0)一(cos-2-Si/J-2(1-cos(9)-4sH其中f0-cos(n+l)l9(lcos)4sin(nM)«>sin6+,sin8(1cos(n-+1)6>(1cosO)sin(n卜1)6整埋后印可得A(f(3)sin§4-sin(n+5)1 +cos0+cos20HF<x>sn-Re<=力4sir打2sinfcosgcos(+J)£Sln0+sm2。+SlnImV.4sin2fJ2sin31.7 集月上二i.J中,i是E的聚点,其余各点均为孤立点.1.8 集£=<+1i,+;I一，一中旬一点都是E的孤立点，是它的聚点但不用于E.1.9 满足条件OVarg(z-1)<2VR«,z<3的点Z所组成的点生是什么？解：如图的阴影部分,是外界单违通区域y0n+i+(+1)2.i+(“+1产z137“°满足条件。<-7TT<4的点'所组成的点集是什么？工247J-1山已知2MS)o且2+(y+1产(X2+y2>1整理后，得(C+1尸+y2>(V2)2所求的点集是(6+1)2+/22的外部U件为半平血的所仃点组成的集合，是单连通无界区域.第二章复变函数本章用微分方法研究攵变函数.一、基本概念和主要结果.定义2.1设E是夏平C上的点菜，如果有个法则上使得V看=i+3w=V+ivC叮11对应，则称/是E上确定的灯变函数.注：W=(N.y)+iu(i.y)即一个且变函数等价十两个二元实变困数.记A=/(E)=/(a:)|z夕为函数/")的象集，如果/是E到A的一个双射，则E和A是一彳对应.定义2.2设义旬在集E上确定，得是E的个聚点，。是一个均常数，如果Y5>0.m8=打>0,使得当a:U«n0(2o")时，12)-八IV£,则称。是函数/当,趋近于7时的极限.记为Iirn/(3)=a注:令八=&+必2£EJ(Z)="(£.")+皿J2=+i?/,%=/+i%,于是有下列结论：hrvJz=3<=»binu(×.y)=a.Iiniv(×.y)=b.ZiZo少一上1工。ZEEV一如y一如实变函数中关于两函数的和、差、积、商以及更公的极限的-此结论可以推广到灾变函数.定义2.3设函数m=/在E上定义，是集E的个聚点，如果VH>0.3="4)0,使得当，ECk论花)0£时，I之)l>1,则称函数/G)是e趋近于7时的无穷大，记为也？/6)=00.a%ZEE定义2.4设函数W=/(3)在无界区域E上确定，C是个有限复常数，如果Ve>O.三=仁)>O,使得当Z6E.>时，(z)-aV£,则称a是函数/当Z趋近于Oo时而极限,记为&U(3)=&zeE定义2.5设函数“二/(之)在无界区域E上确定，如果t4>0,三O=夕>0,当/££,设|。时91f|>4则称函数加/是Z趋近于Od时的无穷大，记为Jim向=Oc.GOC江E定义2.6设函数wM优M+i%¥.切在集E上确定且E的聚点%E,如果Iim/一f/(维吗VjWlI国特第二元实函数Iimu×,y=u(×a.y).Iim论M=7"、司OM-t?(2;,?/),7若/(3)在区域E上每一点连续，则称/(3)在E上连续.定义2.7设函数/(3)在集E上确定，如果。，存在只Im仃关。无关的正数不；蛇)>0,使得李”，之£?11上'一工I<3时，lG)0")<k则称函数/在E上致连续.定理2.1函数/仁)是简单曲线或方界闭区域E上的连续函数则有：(D/在E上致连续(2)z)在E上有界，(3)加在E上可以达到它的最大模和最小模.定义2.X设函数/设区域I)内确定的单值函数，%W,如果魄T)二，存在H等于复数则称2)在点可导或可微或行导数C,记为(%)=”.“定义2.9如果函数句在区域D内每一点可导(可微)，则称函数/仁)在区域D内解析.如果为在4的一个邻域内解析,则称做Ez。点解析.如果/在I又域G内解析而闭区域方CG,则称/(Z)在闭区域万上解析.注：实变函数美卜和、差、积、商以及复合函数等导致的运算可以推广到更变函数.定理2.2设函数何二(",")+ii/牝/)在区域I)内确定，那么/(z)在点N=x+/施。可微的充分必要条件是：在z=q+i，膻(6.4及近工、)可做口满足£=£.£=-£.定理2.3设函数/(3)=优川+/%工切在区域D内确定，那么向在区域1)内解析的充分必要条件是：y)与u(x,y)在D内可微且在D内满足一=一,一=.注：在函数/(z)仃导数的情况卜：/(5)=a+ib=寡+ii定义2.10指数函数肝的定义:-=t+iywC,f(z)='=工+(4)=e,(COSy+ising)有以下性质：(1)Ifr£R.fx)=cA.d,1在C上解析日.卞=d.C-I/W(3)vA,Z2GC,九外十芍)=/(爸)入祀).(4) WZWC,/(之)至0.(5) /(£)=e2仃周期27。,+2力)=八3).映照性质:f(z)=rr把任何带形区域(Z平面)B=zzGCneR.CVhUZ<+2双射成平面上除去0及射线arg=O的整个平面.注：指数函数/(Z)=Q是一个无穷多叶函数.定义2.1I对致数Lnz的定义：zWCzR0,作为指数函数w二小的反函数W=LnZ=Inlzl+iArgc.lbArgc=argz2kKHj；=Mz=InIzl+iargz+2Ad=Mn+2MI4化GZ),这里的hi之称为Ln:的主值，羹中一六<argc<a从W=LrIZ(向定义中可以布I;对数函数是一个无穷当值函数.(I)VZ-KWC,均不为零，我们有如下运尊性质：皿(再三)二+5%"(4)=>诟-5%.(2)关于对数函数w=Lru多值函数单侑化问题.由W-Luc=ln|?|IiArgs,使Lni成为多俏函数是因为Argc=arg2IZr无AZ引起，将支点。和8用一条无界简单连续曲线a连接,在C上可将LiU分斛成单值连续分支，并将各单值连续分支犷充到割线的上沿和卜沿，0和8是Ln:的无穷阶支点.(3)在每个Ln?的单值化的区域内的每一点处仃半二二1,从而每个单值连续分支也是解析分支.dz2(4)对数函数W=LnJ的映照性质：它的一个分支W=InBI+iargz+2%m(一万<argz<六)把Z平面上的区域双射成W平面上山小l)r<Imwv(2k+l)7r所确定的带形区域.定义2.12后函数的定义：当之r时，记=产=£。口旧当Ni时，Zo=0("是正实数).场l形艺嬖懒fe蠢施慨约分数几三分则之。是几值函数：当Q是无理H(2)山N。=enl-nc=ea'n2t尸2而i,对于LnZ相应的单值连续分支内，-二-二一：一-夕AJMZ1<kdzzdL(3)讨论飨=之！=&历根式函数在复平面上以负、实轴(包拈0)为割线而得的区域D内仃儿个不同的解析分支：M=诈5lz+2-)(一开C<打)二诈1-io牛,(£=0,2,.平一1).(4)W-寸，的映照性质：设产中C为正实数，9为正实数11.()<3、aw<2订，若在Z平而上取正实轴作割线(包含0)得区域DZl仅产在D”内的一个解析分支，考虑。，内角形A:OVargZVW,则.把夹角为露的角形A双射成夹角为S3的角形月定义2.13三角函数的定义：正弦函数Hin2=-/.氽弦函数c。SZ=一一在全平面C有定义，(1) Cos?为偶函数，SiriZ为奇函数.(2) cosz,Sinz均为周期函数,周期为27r.(3) cos(Z+Z2)=costc0s2>-sin%snz2.su(zx+Z2)=SinZcos+c0s2>sinz2.(4) cos21+sin2z-(5)上岸二-Sinn,黑町二COSZ(cosh,sinZ在全平面C解析).d/az(6)不再满足cos?0,sin20,Icoszl<1.sinz1.可进一步定义：lam=4-.cotz=COS5COSN11,seca=escz=,'.sinzcoszsin2定义2.14关于反一角函数wAretanS(是山z-tan确定)Arctanz-Ln(2-i)Ln(2+i)+;ri,若检定Ln(z一i)及Ln(z+i)在某一点z0±i)的值是hi(z-i)及+,i)相应的切的值为w-arctanz-ln(2-i)-n(2+i)+;ri.则w在点2的其他他为：w=,Iln(Zi)+2自成一In仁+。2灼万1+打”=arctan+4长Z).可;检证在过平面Cl仅线段，H+iylz=().也<1作为割线，AretanM分成解析分支，在任何二、例题和练习：4.1 已知f(z)=z2+Z/y表示Ref及lm(z).解：设z=N+iy7(z)=(z+iy)2+(T+=(z2-j/2+x)+i(2×y-y)9则Ref(z)=N十工,lmf(z)=2xy-y.4.2 己知=%(1+)+i“1_卜用变量Z表达z)3£R).解：因之二二二U=3,/+/则/(z)=+L)一上)=)(z+无+1+I+2-Z-x+-*j=z+-.2Izz2iIzx)21zzZZjZ4.3 复变函数/弓)="3/+皿.)，其中My还可表示为=TCOS仇"二rsin仇故/也可表示为/(二)=，化，六i试用r,"表示f(z)=7jk解：/卜)=z?-(rcos0+/Zsinf)2-r2cos204-i卢sin2().4.4 函数w=/+y+i+广、在Z平面上上任何点均1极限.解：因为二元实函数似£,)二N十加以心切一I+尸在任何点都仃极限.4.5 函数W=/+"+i在(0.0)无极限./+/解：u(x,)=x+4,r(z.!)-因为一元函数而加二治在®。)无极限.54.6 讨论£)_三+?在2=0点的极限.解：记2=rd,则宅=rc"+(2"=2cos26>.这里9=,irgzHP问=2cos(2arg2),z的辐角可取各种数,当2 。时，取 argN =。,则 Iiin f(z) = 1 ;取 arg2=;,arg z=02即m作y= U,因此Iim 羽心/不存在.2.7在Z的主轴角TT< argz W不时,arctan?玲解：我们有argz=< 7arctan 37T±7V讨论argxr的连续性.当1>0.9 : 0 时:h = 0,诧。时当工<0y0时当1<0避=0时yS短平面卜平平平面符 am = arrtan -, . Iim ar9 = arctac yarn9.年是宛平面上左半平而但不含负实轴时，Iimarg2 = IimarctaiJ±,r= arctan即Iim aigc = arg coIimarctan 至Iiin (arctan § +开)=一 5+开=,X()当小是正虚釉上的点：%- ijn(o>O)时，呵a gzIim亨二苧N=O22II%Iiinarg 2 = arg2o是负炭釉 I 网:% = ii/o (/ < ()H7, Iini 8rg 2 _t.Iiinarctan 号:一今X1?一lim_ (arctan J = f - 7r = f% 一 0-Iiinarg z- arg % 力Iimarg 2 = Iirny>01arctan- + x . o l.x 二开，Iirn arg 2 =Iim juctany二一开二7T.vyo所以Iimarg;:不存在在原点处，mg,不确定.综匕除原力及负实轴上的点外，arg;在嵬平面内处处连续.2.8证明/(£)一巫尹的 . .h| ul z .M 卜I T 八一 Y条件,但加在工=0不可-团训Hl"x"-'【2/|,以LA - -0.实部、虚部件(0.0)满足C-R微.证：因 f(z) = y1mz2du而= i)u勰Q)YrlO。而二&Di/Iirn2Mo. go) _ Iim A = o.羽 f) M”同埋可得在（O,（）.=A=（）,故心.“）隹t=O点满足C-R条件、/口升AZg)-*0)但在Z=(I I > L、二?aQ第二忌刖。二。、,=0,因而即/在Z= O不可微.2.9 证明若函数/（3）生.平平而解析，那么在卜T,平面解析.证：设函数侬而在下半平面任取%qW面异于力的点.小。）二Hm尸门。小U A=Mm ?一 JG1Iim 空匕®一与N 41% 二一当一与之一为因/（3）在上半面解析，则UZ）存在口。是下半平面的点）即而在卜半平面解析.2.10 设“"在区域I ）内解析，如窠I/ （之）|在D内为常数，贝J仁）在D内为帝数.证：段 Z） =M + im山已知，得小+22=。若。:0,显然 =。=0,故/仁）=0,若CR 0,由喊=C分别乘关于Xj偏导，得du dv2u 五 +2v= 0，du2% dv乩（2）l因/在D内解析，则"du _ dvdu_ dvdrdydy×将代入置换和募（3），du0瓦石二°dudv=0(4),盅窥，航狗二。囚；：二一（/十"）ro,则解此方程组，得意二慧二0、（91/山C-R条伴,得而一而二。,则“G.V山常数即/&）Ci+ g为常数.1d" eta ()v241 证明在极坐标卜.的 CanChy-Riernann 条件:-="-.-r.证： 设 /0 =?/) + i r(.r, y). X= r cos 8. y = f sin /，Sine(2),dudu &r ZJ , OU cs + Hy"()uOu&u-=-(-rsin) + -rcx),W ,、Ov. z=V cos + sm" uv (Jr ()yih Ov.、 dv十 瓦 9SS在直角坐标系卜的C.R条件：黑？与UxuyOyux比较和（4）,得如冷比较（2）和（3）,得意:*,dudvdudv反乙山而二而及而=7而，珈au利用上述(1)、(3)、(4),得：Oududvi)v力，¼cos0+sino=-cos6Sin仇dxdudvoy8+dy如即。XSind=0(dxdydy*d×：-|-8in因cos仇sing不可能同时为零匕,与川+仇，即得CR条fldudvdVdxdy'dyx2.12 设是区域I）内的解斩函数，证明()AiLciua%fl）/（-）的实部和虚部在I）内仃任意阶导数L满足1叫山记。方程一+左=0,初+-=O.（2）在D内，有d2a2不十而I小)I2= 4IU(3)匕证:因/（二）在D内解析，则/在D内有任意阶导数，从而/仁）的实部和虚部在D内就有任意阶导设“zj= （吗?/） + "（3.?/）在D内解析，则（与彼），”（）udvdv.du.石=汨 f&J 3 =瓦口二右而电）比较上式两边之实部和虚部，得一二一J|7 Fi£ y 存a -a 导 / - *在a -a )l X色如(X/rtou a2 tz a2192 O即赤+丽=。芯+而二°后十TI2 II/U)后（）+唠（+马=而l2f/22 讲 2/+W2oy2q2v 十同2.13 试求Ln(I+i).(-l)-22sin22的位.解：Lri(l+i)In|1-fi14-Arg(l+i)=gIn2+iar以(1十i)+2卜雷=;l2十i(:十2k?r),Ae第，()i=6iLn(D=£"2AMl)ri=Il)x"£名21,=/1Ii)L2=11Ii)iln2i2krri=f122"i/(In2I2E)=2c*21IQsHjl2)-sill(In2).kR2,sin(i+iy/)/二个一%+i4_cn-ij二2i(Cly-c")COSx+i(ey+eCsinJ:2i=:sinzcosliy+icoshsinh=sin2jr(cosh2ysinh2y)+sinh2y-sin2h?M*=屁2V)CCah21/sin2cosh2y十cos2XSinh2y-sin22.14 若2=sin3,则a为Z的反正弦函数,记为加=ArCSig写出它的解析表达式(利用对数函数).巴一'“一°.解：由n二SinS即2=,整理得(/产一2iz*1=0.Zl解得Cu=i-lV1N(这里y/1以己含正、仇两值)，则W=ArCSine=JLn(ielV1乒).2.15 设函数/在Z="解析'那么我们说/在Z=8解析'讨论函数*Ln言.禹八2)=靖，贝J(：)=c+,取2因所的4-"吗3胪，Sme仕，'-r故屋在方=。不解析，即c,在N=8不解析.在Z=CO的解析性.解：(2)/(£)=Lrr*贝IJ/-I=Ln?=U2=m(dhnnL(+z)Ln(lZ展个多伯：S-1W二一函数，N=O不是支点，乂的每个单色分支在N=O处解析，贝I/(Z)=LnU的每个单值分支在E=X是解析的.八=1+A7，则,二厂不,乂f(2)在Z平面上是双值函数，工-0为支点，它的两个单值分支在2=0不解析，则/(N)=2.16 在复平面上取正实轴作割线,试在所得的区域内取定z"(-1<a<0)在正实轴上沿取正实值的一个解析分支,并求这一分支中在2=-I处的<：在iE实轴下沿的色。、取定函数Ln?在正实轴上沿取实值的一个解析分支，并求这一分支在Z=-I处的值;在正实轴下沿的值.解：(一)0和8是居Ln,的支点(二)作以正实轴为割线可将一，LnZ分解的单值分支(.0T诩以=刈加4"-424初，Ae£在正实轴上沿取实仇的个分支为d=*即(3)oargz<2,在n二1处，(-1产=eQs加闭=627j=coscH+isiring,在正实轴之卜沿w"=心>“|2,11_eanx(cos2a4isin2ka).Lnw=InIZI+iargz+2An(4&Z)在IE实轴上沿取实值的解析分支为Lju=In|:|+iarg2(OWargw<2),在这一支Lll(-1)=111-l+17T=17T在正实轴下沿Z=Z处，Ln;r=In.r+2lnx+2zri.2.1”求函数,(1z)2(I-c2)(0<小Vl)的支点，证明它在线段一,T7,1W1W;的外部能分解成解析分支，并求在z=0取正值的1个分支.''w=(z)=V(1-22)(1-=%(2-1)(2+1)(z-G+;)(0<A1<1)普雷灾与兽医澄美!媾的曲线。一1,一!，！在其外区域.，在团曲线C上任取定一点kk爸，在这一点4-1=外，4+1=-2、,音一,二73"%,苞+;=r,ci八)在.的起始值叫为叫二&厅厅储小叼山+么)，让2从Z起沿曲线C逆时针绕一周回到西，10值为“，-kc7H*(%+2汗+%+%+%i=-1,贝IjZ=)是支点同埋可证Z=-7jN=；,?=一；均为支点讨论Z=OC是否是/(2)的支点：作简单连续闭曲线C使名=±1,±:均含在曲线C的内区域，取C上任一点苴，在此点叫二A.g贷E洪(5)也见凡)，当之沿着C逆时针£f;绕一周回到时,a.%,%.心均不变,仇.孙4。各斩角均增加2*此时二七百寸/7的(5)+2MM2+4+2尸卜+2R=HH,因此z=8不是支点作简单连续闭曲线C伙2=1和2=:在C的内区域,Z=-1,2=1在C的外区域，取C:任点G,在此点叫=/(4)=4学用储(小勺%卜),当Z沿岩曲线C从4逆时针环绕一周回到Z1时，吟.3了3,乙均不变，4=arg(2,-1)4=arg(%-;)均增加2",%=arg(%+1),公=arg(7+J没有变化，此时，:/(3,)=v孱(久5+%+%+2-oJ)=%同理，件简单连续闭曲线C使之=-1和2=-3在C的内区域，2=1,3=;在C的外区域，也会出现上述情况，电不变，综上，在笈平而上作如卜割线-1?/=0:1.rW1=0,在所得的区域内/=,(1一)(1一炉力(0<Z:<1)可分解成单值解析分支f（z）=|（1一/）（1一M/）户/心律一力+打虱-收？）+2卜1a=0.1）.第三章复变函数的积分本章用积分的方法研究解析函数一、基本概念和主要结果：§3.1 柯西定理定义3.1复变函数的积分定义:设.是复平面C上一条连接/和z两点的简单曲线,函数f(z)=4招4+皿是定义在曲线。，上的函数,在7上插入nI个分点，把7分成n段,在每个分段上任取或=(£,7)=0.L2.,1作和式E/(>)(,+1-Z*)=£(&,%)(%h1一队)一E似Q%)(队r一块)k=0丸=0太二0n-1M-n-1+i£»(金，“一1一队)+£入)十1一小斗£MQ,%)(%+1%)LA=Ok=lk=Q记A=nax您+a.i=4产I(公+i-%户，4=0,1,2,.,九一1,若不论对的分法和每少或懿解惶消八一0时，£，&)ft1一工)的极限存在，则称这一极限为小)沿曲线)的积A:=0如Q=Ii"!£/(£)(与十L)=/udx-vd.v+lvchtidy,yA>Qfc=o，八招女积分化为了二元实由数的第二类曲线枳分.定理3.1若函数/=M十i,北)沿？连续,则/(D沿7可枳.若曲线)：2=-(/),££3T,则复积分心=/以£也(小13把完积分化为实积分.定理3.2复变函数枳分的基本性质.'"若/(5)。在简单曲线)上连续，则(1) /的力应-a(z)dz,Q是一复常数(2) /(Z)+认2)卜物=J(2)<h+Jfi(z)dz(3) /(z)(k=>2(7)d2,其中是由连接而成(4) /(z)dz仁)&,7表示沿7的反方向/班IzW/1/(Z)IdZ7A(6)若在)上有A3L为曲线)的长度,M和L都是力限正数,那么定义3,2若在区域D内恒有/(D/(3),则称放为Z)在D内的个原函数或不定积分除去可能相差一个常数外，原函数是唯一确定的.定理3.3Caiidiy定理设J团是单连通区域I)内的解析函数.设C是D内任一条简单闭曲线,那么/皿=0,(2)设C是D内连接7及Z两点的丹一条简单曲线，则沿曲线C从%到Z的枳分竹山先和Z所决定，而不依赖于曲线C,记为V(C)dC(积分。道路无关).定理3.4设向是在单连通区域D内的解析函数，那么"(Z)在D内有原函数.定理3.5亚连通区域D上的Qmchy定理：设D是攵连通区域，其边界是山n+1条简单闭曲线c,G,c八周成，7,G中何一条都在其余曲线的外区域内，血.且所有这些曲线都在C”的内区域内，/0)在方上解析，。表示D的全部边界，则，/(z)d?=O.这里.枳分是沿7按关于区域D的正向取的.一'注：复江通区域内的解析函数的原函数*(3)二，/(6)则产生多伯问题.§3.2柯西公式定理3.6CUmhy枳分公式：设M域I)的边界C是由布亚条互不相交的简单曲线£(1W,)所组成，其中C包含其他的0,(2WY2,/修)在区域在上解析，那么在D内任一点z,问=12与4一J*注：定理中/(3)在区域。上解析，可减弱为了在D内解析，在。=UC上连续.定理3.7解析函数的平均值公式:设函数/(3)在区域|2一|V向内解析，在闭区域I之一个IW斤上连续，则/(%)=/+/。)岫(OVrR).定理3.8在CaUChy积分公式的假设卜，f(二)在D内仃任怠阶导数1")二n!/©7dem=L,).定理3.9Cauchy木等式:设地在以C:|"%=&(0<pV+cc)为边界的闭圆盘上解析，则，叫浦|,Al'p)AAWh"=°T2.)其中M(P渥MP)=max(0<p<0).Of=o定义3.3如果/仁)左C上.解析，则称/(?)为整函数.定理3.10刘维尔定理：有界整函数必为常数.定理3.11莫勒拉定理：如果函数八n)在区域D内连续1.对D内任一条简单闭曲线C,与龙二0,则义Z)在D内解析.C儿个更要定理、公式的小结(相U关系)：二,例题与练习：3.1 设C是连接飞和N两点的他单曲浅，则(2)/,£dz=g(22_2;)证：山亚枳分计兑/(u+iv)o=Iud×-vdy+i/vd×+udy/(£)=1即优M=0、z=X:4i=%+l,贝U/<b-=dx+iz=(X:-%)+i(Y?.)=CCC在连接分和Z的简单曲线C上插入n-1个分点z.z1,z”=N,由电函数积分，得E2*(2-%)=吧£Z(3-么)=5®(ZW)=近产-勿二joAr=Ofc=O).3.2 求/Rezdz和/ReZd乙其中口和4的起点和终点相同都是。和1+i,门是连接两点的/%.Iv2立线段，1%是经过n=1的折线段.HcztZz,=(1Ti)dt=rJo解：门表示为之二(Ili).0WfW1,Rez=t.de=(1十i)df,故"4+i£d£=:(l+i)./O.Zi>22表示为:I尸：z=£,£W0.1;V:z=J+it,|O.1|,在？上，Rec=4(1(U:在I产上,Rez=1.dz=id£,故/Recde=/Reck+/ReZde=Itdt+0“2小h3.3 求/苫，n为整数，r:k|=p.解：令'N=OWJS2万，故dz=3叫的0当几/1时9当n=1时'此例可推广为计兑/°当北美1Jz-pza)%2时3.4 证明/+i“2)d二W“，r为连接一i到i的右平顶周.证：在r上，索士卜=1而j2+jz2=jr+w4z,+八，乂的长山为7T,则开二7T.3.5 /z-dz.JlNI=I解设Ze”,则ClAl=dd|c1|二1-JIMl-COS/9)2户*./，B腑以+siirO2v?Icos2sin.、0于是，原式=/2sind<?=8.3.3求Z.4。：(3)=2.方在？I=2内仃二个不解析点，N=以以7=±1为心，(<1)为半径作圆周G和Q,山复连通Cauchy定埋/=/+/于是JcJcJ5dz=； (0 2Ai