如何进行柯西不等式的教学(含答案).docx

如何进行柯西不等式的教学？柯西不等式是根本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的根底，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.在介绍了二维形式的柯西不等式的根底上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的根底上，教科书安排了一个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式.由上可见，教材编写者对这局部内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的根底，但这局部教与学的难度是显而易见的.柯西不等式£见2£；(f也)2是柯西在1931年研究数学分析中的“留数问题时得到的.r=lJ=I/=I外表上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式(a2-b2)(c2+d2)(ac+bd)2t几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，那么是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式，以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在起柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式KI网不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式也)2有一个推广形式：1=1I=I1=1(+%'+。/)PSJ+4,+/)，¾+a2b2+11m.其中,+工=1.该不等式称为赫尔德(Holder)不等式，当=q=2时，即为柯西不等式，是数pq学分析中最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式(闵可夫斯基不等式)也是数学分析中的经典不等式.这就是在新课程标准中作为选学内容出现的原因，也是多年数学奥赛的重点内容的原因.但由于中学生的认知水平，要到达标准要求“了解柯西不等式、会求一些特定函数的极值"对很多同学来说是一个难点.那么，如何到达学习目的呢？1 .首先熟悉"E"的含义有很多同学十分"痛恨"E这个符号，总是看不懂，从而就避开这个符号，如93年高考题理科(24)使用了连加号"E”,许多考生不懂，其实这个符号在课本屡次出现过，由于长期不用，他们忘记了.这个符号是绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯J'X4下方写i=l,上方写"，这里i是下标变量，1是i起始的值，是i终止的值，这时ZA=A+A?+4./=12 .柯西不等式有着丰富的几何背景，可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解对于个代数结果作简单的解释，往往需要借助于几何背景，只有人们知道了问题发现的过程，才能理解它的深刻含意.柯西不等式有着丰富的几何背景，运用向量的数量积在不等式和几何之间架起一座桥梁，就可以用几何的背景解释不等式：设a=(4,%6=(4也,。“)，由同耳可得2(A)2.1=1J=Ir=l3 .认清柯西不等式的结构形式以便发生联想20世纪最伟大的数学家冯诺依曼(L.J.VonNeumann)指出“大多数最好的数学灵感来源于经验"，从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模的积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，只需简记为“方和积大于积和方".等号成立条件比拟特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数.有了这一经验，就容易在解题时发生联想.如：例1设4,瓦。为正数，求证：+6f+7+C.bca分析,如果要运用cauchy不等式，就要联想到小的一边是“积和方形式就自然分析出只要证在2»22不等式两边同乘以a+b+c,即(。+6+。)(9-+幺+J)(+b+c)2,bca而另一边要看成“方和积，只需变形+"c=WY+(可+(研,+7÷=)2÷)2÷2-应用柯西不等式，得Mb2cl即一+a+h+c.bca4 .含有常数的不等式处理方法在不等式中含有常数，这个常数一般与cauchy不等式中向量的维数有关，通常把n写成I2+12+I2+I2的形式或1+1+1的形式,又如：例2证明：W+zz+d+/yaw+r+d+/)分析：常数4恰好就是每个括号中加数的个数，此时通常把4写成“/+/+/+产”，用柯西不等式：+尸+c3+/(12+12+12+2),6+加+?+J6)即可.例3设4是实数，对任意实数X,z恒有(x2+y2+z2)24(/+yl+Z")成立，试求Zi的取值范围.分析：与柯西不等式的一般形式比拟，“积和方”已经具备，而另一边只需再构造一个“方和积"即可，由于+y2+z2)2(12+r+2)(f+y4+z4),所以，3.例4求三个实数x,y,z,使得它们同时满足以下方程2x+3y+z=134x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82分析：将两方程左右两边分别相加，变形，得(2x)2+(3y+3y+(z+2)2=108.由第1个方程变形，得2x+(3y+3)+(z+2)=18于是由柯西不等式，得=弁.从而由等号成立的条件可得2x=3y+3=z+2=6,故原方程的解为x=3,y=l,z=4.提示：由柯西不等式解方程时一定要注意运用cauchy不等式等号成立的条件.5 .在应用CaUChy不等式求最值时，要善于构造例52001年全国初中联赛题)求实数小y的值，使得(y-l)2+(x+y-3+(2x+y-6)2到达最小值.分析：就需要把(y-iy+(x+y-3)2+(2x+y-6看成是不等式中向量模的平方，构造另一模的平方，构造的顺序为把最繁的式子2x+y-6对应的坐标为1,考虑x+>-3乘以-2就可以把X抵消，因此-2就是x+>-3对应坐标，最后看l×(2x+y-6)+(-2)×(x÷j-3)=-j,因此y-l对应的坐标为1,从而就有CaUChy不等式：l×(y-l)+(-2)(x+y-3)+l×(2x+y-6).,-1)+(jv+y-3)2+(2x+y6)".例6假设54+W-7c+4d=l,求3+2+502+d2的最小值,并指出等号成立的条件.分析：由于,b,c,d各项系数不同，而且既有1次项，又有2次项，显然要用柯西不等式，因为是求3/+2从+5。2+2的最小值，一定要把%2+2+502+/看成“方和积”的一局部，而条件5。+667c+4J是常数，它一定是“积和方”的一局部.而且使用柯西不等式不受-7c这项的影响.使用时，注意写明等号成立条件，检验最小值能否取到.6 .知识小结1 .二维形式的柯西不等式：假设4,0,gd都是实数，那么("+加。？+d)(c+仇/丫，当且仅当Qd=OC时，等号成立.2 .柯西不等式的向量形式：设,夕是两个向量，那么.23,当且仅当仅是零向量或存在实数左，使=S时，等号成立.3 .二维形式的三角不等式：设x1,y1,x2,y2?,÷x+b+y；-2)2+(y1-y2)24 .三维形式的柯西不等式：设风,4，4,么,白是实数，那么当且仅当=0(i=l,2,3)或存在一个数%,使得区=幼(i=1,2,3)时等号成立.5 .一般形式的柯西不等式：设GM2Ma，见，乙也也，也是实数，那么(2+a2+4：%；+b；+Z)(/+”)当且仅当b=0(z=1,2,h)或存在一个数k,使得q=左G=1,2,)时等号成立.7 .应用举例例13+2y26,求证：2jc+y(11.证明：由柯西不等式得所以2x+yJTL.,ab+2bc+cdV2+1例2设。,0,c,d是4个不全为零的实数，求证：；7a+c+J2证明：ab+2bc+cd=(ab+cd)+(be-ad)+(be+ad)ab+2bc+cd41+1所以1;；7a2+fo2+c2+J22例3假设3x+4y=2,试求A：*+V的最小值及最小值点.解：由柯西不等式得(£+y32+42)(3x+4)y,/、4得25(+V)4,所以E+y5-.当且仅当2=2时等号成立,34为求最小值点，需解方程组3x + 4y = 23 46x = 一258 y =25即当了 = ,y 时，k + y-的最小值为，最小值点为 9252525(2525/例4a,bH且Q+h=L求证：(x+byr2+by2那么证明：设m=Q7x,4iy),n=b%,M.(ax+by)2r2+by2.Tt例5假设X 0,-I 2.值.,试求函数f(X)=3cosX+4l+sin2x的最大值，并求出相应的X的解：设An=(3,4),t=(COSX,Jl+sin?),那么当且仅当机时，上式取“=",此时31+sin2%=4cosx，解得/y.工当x=arcsin彳时，函数/(x)=3cosx+4Jl+sin?x取最大值5叵.例6设x,y,z是正数，证明:I + yz + zx)0r + 01 + zx + xy + xy+ yzy+ Z + X)21.证明：由柯西不等式得z(x÷y)+l+1 > (x ÷ y +1)2.所以同理 + zx + xy(l + y+z)2 x+ y + z1 ÷ xy + yz (1 + x + z)2x+ y + z将三个不等式相加，得1 + ZX + * + 1 + xy + yz1 + yz + ZX(l + x+y)2 4 (l÷ + z)2 (1÷ z + %)21.1+yz+ZXZ(1+%+y)2X+y+z说明：对于许多分式不等式分母太多，也很复杂，我们可局部利用柯西不等式将分母化为统一的式子，使问题得以简化.例7解方程V4x+3+212x=J15.解：原方程变形为其中等号成立的重要条件是十二=22解得x=-l.3说明：注意方程与不等式间的相互转化，当不等式中的等号成立时，不等式就成为方程了.例8m个互不相同的正偶数与个互不相同的正奇数的总和为1987,对于所有这样的相、，问3m+4的最大值是多少？试证明你的结论.解：设区（i=l,2,m）为互不相同的正偶数，2C=l,2,），那么a+a-a2+4+2m,I2b,+b,Tkb1+3hF(2n-1),(+,41生)+(+b,+)=1987,由上述三式可得机（机+1）+？1987,即（m+g+n21987÷.由柯西不等式得，+1+；+力（3'+夕）.即,机+4,z+g(1987+;×5,.*.3m + 4 53<222. 3m + 4九22L2又当机=27,=35时，+4=221且满足加(加+l)+f1987.故所求最大值为22L说明：此题反映了一种重要解题方式，那就是首先缩小所探究目标的范围，再运用柯西不等式作进一步收缩，步步逼近，最后又经过构造实例使目标得到确认.Ia+/7/7+/7fl例9设,生为实数，运用柯西不等式证明：-rVnn11rHaaI证明：由柯西不等式得(d+dF(l+炉(,+).I-JfT+q-+于是J;HFq-J"+,+即得J-!-!-"V11n再由柯西不等式得十日Q+、nI-是>n11-+q区综合知原不等式成立.例10实数ag,c,d满足+Z?+c+d=3,且"+2Z/+3c+6d'=5,试求。的最大值与最小值.解：由柯西不等式得，(2+3r+6JJj(Z7+c+j)i.即23+3c'+6G("c+d)'.综合得5-"(3-a)<a<2即»= 3c = 6J时等号成立.由。+b+c+d=3和3=3c=6J知,21当b=l'C=g'"=g时，6L=I当6=H,d=:时，I=2例11正数x,y,z满足x+y+z=型，且不等式一-一+4恒成立，求4的取值x+yy+zz+X范围.Ml11,111解111；-Ix+yy+zz+x2yxy2yyz14zx所以/1的取值范围是,+.L2)例12求出所有实数，使得存在非负实数天,工,工，工,工，适合以下关系式：lx+2X,+3X1+4x+5%,二。1'x+2'-X2+3'xj+4'x+5,X5=优1''X÷25X,+3,Xx+4X4÷55,xf=解：设有非负实数天，工,工，工,工满足题设要求，那么由柯西不等式得这样一来，上式中唯有等号成立，于是/'JW=刃炉后(丸oz=1,2,3,4,5)如果王,工,工,工,工中有两个或两个以上不为零，上式不可能成立，所以只能有上述两种情形：xi=X2=X,=x4=X5=0,此时a=0.Mi=I,2,3,4,5)中有且仅有一个不为零，不妨设ZW0,依题设依=。/次,=优/H="解得工=%,£=(Z=I23,4,5)综上知，当=0,1,4,96,25时，存在非负实数七,七,工,工,七满足题设要求.例13P是AABC内一点，x,y,z是尸到三边a,Ac的距离，R是A43C外接圆的半径，证明：yx÷yy÷Vz-.y/u+b+c'.y2R证明：记S是8C的面积，那么ax+by+cz=2S=所以Vx+yy+Vz.Jc+cy2R说明：此题中给出AABC三边的长，又给出了AABC内一点到三边的距离及外接圆的半径，可联想到A8C的面积可以把这些量联系起来：S=-(ax+by+cz),又一J=2R,sinA=22sinA2R练习1一、选择题D. + >1"b21 .假设直线二十2=1通过点M(CoSa,sina),那么(D)aba.cr-b2B.a2-b2c.+1a2b2A. ab-22 .00,00,且+h=2,那么（C）B.ah-c.a2+b2D.a2+2323.假设以满足加+=。,£+V=。,其中,b为常数，那么的最大值为(B)a + bA.2B. 4ab4ar+br4 .假设。力,c,d都为实数,那么不等式（储+h2c2+d）（c+仇/Y取等号的条件是D）a.ab+dc=OB.ad+c=0C.ab-dc=D.ad-bc=O5.4,0R.且+0=l,那么工+1与4的关系为（B）abA.- + - >4B.-+ -4d÷l<4a bd.- + -4a b6 .设a,b£R+,那么（4+F%）的最小值为（D）a.5b.6c.8d.97 .假设是非零实数且。+力=1,七,演,M=（r1÷hx2x1+ax2N=Xd那么M与N的大小关系为（八）a.MNb.M > N c.M < N d.M <N8 .假设实数乂满足（冗+5丫+（y-12）2=14）那么x*+V的最小值为（D）a.2b.1c.3D.V9.函数y=J22x+3+Wx1-6。+14的最小值为（C）a.Tiob.ioc.VTo+1d.710-110不等式/J9一"+bd9-a29等号成立的条件为（D）a.tz+=3b.a+b=9c.a2+b2=3D.储+加=9二、填空题11 .设m/,x,y>0,且生+乌=1,那么=x+y的最小值为.答案：4m+4n）(IV1A912 .设0,b为正数，那么ciH2?H的最小值为.答案：一IZ?A2aJ213 .函数U=3X5+49%的最大值为.答案：1014 .x,y(,l),那么JX(I-y)+Jy(l)的最大值为.答案:115 .设4,方,已,2,加,都是正实数，P=J茄+J1Z,Q7am+ncJg+那么P与Q的大小关系为.答案：P<Q1，2313 13；16 .假设2x+3y=1,那么x-+y的最小值为，最小值点为.答案：J,一三、解答题17 .求证：2J5+q+4ci3V5.证明：由柯西不等式得45=（4÷1）（5+q）+（4）（2a/5+N4a）.*.2j5+÷Y4-a35J5+aV4ci11当且仅当三=即冗=一时等号成立.18 .设a+/7=l,求证：tz4+/?4-.8证明：由柯西不等式得（1+1）（储+加）（+Z?y=F=1:.a2+b2-.再由柯西不等式得0+1)(优+4)(2+2)2f19p,qH,且P'+q'=2,求证：p+42.证明：设m=(pi,。？)二p-，q又（p+q）22仿：.*qpqy叵后；(。+夕YW8(p+(p+-8：p+q220求函数y=4工+7。13£的最大值.解：定义域为一值,11,由柯西不等式得4x+713-x265×13=135%13-x245当且仅当一=即X=时等号成立.475.当x=q15时，函数y=4x+7jl3-%2的最大值为13.21.试用柯西不等式求点P(3,4)到直线2:2x+3y5=0的距离.解：.直线2上的任意一点Q(X,y)到定点P(3,4)的距离为Ja3)2+(y4丫由柯西不等式得即(无一3y+(y-4)13(4+9)(x-3)+(y-4)2(x-3)+3(y-4)=(2x+3y-18)2=(5-18)2=132.J(X-3)-+(y-4)-V133V4_当且仅当下一=：且2x+3y=5即X=y=l时等号成立.当x=y=l时，Ja3丫+(y4)2取最小值J13即为所求的距离.练习2一、选择题1 .设,Z7,C为正数，且。+h+c=l,那么(D)1<3b.1+1+1>3c.1÷1÷19d.1÷1÷19cabcabcabcd.x2 + y2 +z2 - 92 .设x,y,z为正数，且x+y+z=l,那么（八）a.x2+y2+z2-B.x2+y2+z2-c.x2+y2+z2-3393 .求使（y-1）'+（x+y-3丫+（2x+y-6）：到达最小值的实数Ky的值（八）A.X = Py=6B. x = -, V = C. % = 3, y = 53 , 4715D. X = -9y =2 , 64 .设,Z7,C为正数，且+h+c=A,那么（D）a.1+1+1<2a h c AClIl 3B. + - + - a h c ACl 1 1,9C. + - + - a b c A.1119）. + - ÷ - a h c A5 .设x+y+z=l,那么2£+3y'+z'的最小值为（B）A.310b c D.7To6 .式子（优+3+cl'-+，+-!-的最小值为（八）a1b1c2JA.9B.10C.12D.187 .设9+勺"+号?"=1，那么函数W=2x+y+z-16的取值范围为（D）A.-10-40W-10+40B.-10-4?W-10+4pC.-18-40W-10+40D.-18-4W-18+4f92228 .设,b,c为正数且不全相等，判断M=-与N=+的大小（D）a+b+ca+hb+cc+aA.MNB.M>NC.M<ND.M<N9 .设天,天,x为正数，W=x+x,+x,U=L+-+4-,那么下式成立的是（B）A.WUn,B.WUn2C.WU<n,D.WU>n110 .设,"cR,那么一“一+2+一的最小值为（C）b+cc+aa+h3 3A.B.2C.D.34 211.,/为锐角，且照I+或1=1,那么（八）SinNcos:12.假设5x1+6x2-lxi+4x4=1,那么函数M=3x;+2xiz+5x;+汇的最小值为（B）782A.15二、填空题15B.782C. 3D.2513 .设=2,3,那么1+直+百+册与，等的大小关系为.答案:1+2+V3+az<214 .假设4,b,c为实数，且储+加+d=1,那么函数U=h+hc+ca的取值范围为.答案：U1215 .设X,y,zR且I11>那么X+?H的最小值为.答案：9xyz2316 .假设0<,4cV1且+6+c=2,那么函数U="+3+c2的取值范围为.答案：g,2)17 .实数x,y,z满足2x+3y+5z=29,那么函数U=2x+l+3y+4+5z+6的最大值为.答案：23018 .数据引,工,儿的平均数为6,标准差为收，那么数据北,2,工的平均数的取值范围为.答案:6-2,6+2三、解答题19 .正数x,y,z满足x+y+z=1,求证：149(l)-+-+-36xyz(2)V+y3x'3证明：由柯西不等式得(x+y+zL+a+2(+2+3)'=36,IXyzJ149所以上+:+=36xyz由柯西不等式得(x2+y+z"):=Hf+R+z勺(x,+y,+z'Xx+y+z)由均值不等式得七乂户三即(x+y+z)'3(k+V+z1将两式相乘得到：又x+y+z=1所以v+y+z'j+y+z'320 .设,生为实数，,力、,为正数，求证：7-+÷'+a：+一三)bbbb+/?.+/?I2I1M证明：由柯西不等式得因为也,也为正数，所以+bz+>0故十1+Ag+4+)b,21 .设,b,c,d为正实数，且4+b+c+d=4,证明：F4+(4-)bcda证明：因为+b+c+d=4,要证原不等式成立，等价于证明"加炉d'、LJ4(。b)'bcdaa+b+c+d事实上，+F(+b+c+d)bcda(azl(bz。八=+b-2a+c-2bbJI：J+(5+d-2c)+f+a-2d=-(a-b):+-(/?-c);÷-(c-J)+(d-)'bcda由柯西不等式得又由M-W+c_a+d_aM_a知(Ia-q+取一+c-d+|da)4(<7-b)20由可知式成立，从而原不等式成立.22 .设。力,c是周长为1的三角形的三条边长，求证：ab+b2c-c2a<证明：设=y+z,h=x+z,c=x+y,其中x,y,zR,那么x+y+z=(+Z?+C)=Lab+bc+c'a=G÷z)'(x+z)+(x+z)2(x+y)+(x+城(y+z)z + z2x)=一曰(x+y+z)+*+y+zY_(£y+yo4Z所以x'y + yz + z'x>0故 a'b + b'c + c'a < - 823.设也C为AABC的三边长，求证：azb(a-b)+bzcp-c)-ca(c-a)证明：因为,Z?,C为AABC的三边，故存在正数x,y,z使得a = y + z* = x + z,c = x+y于是所证不等式等价于整理后知只需证下式成立：xy' + yzy + zxi xyzx+ y + Z)=xJxyz + y-xyz + zyxyzj由柯西不等式得x),z(x + y + z) (x'y + y-z + z'%Xz + x + y)故式成立，从而原不等式成立二：-(Vy+y'z+z%)O第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式名师指导我们共同探究了柯西不等式的几何背景，表示形式，得出其不同证明方法，同时也发现了很多值得我们进一步研究的有价值的问题.更重要的是我们通过自主探究，发现问题，解决问题，更多的体验到数学开展过程.数学是一门通过数学思想方法逐渐将问题化繁为简的科学，它有深刻的文化底蕴和内涵，我们更应该在今后的学习中不断的挖掘和发现，真正体验到数学学习带来的美感和快感.正如教材编写者所说：重视引导学习方式和教学方式的改良，在目前的中学数学教学实践仍存在一些问题，就学生的学习而言，比拟突出的就是被动的接受式的学习，教师偏重于灌输式的教学，启发式的教学原那么做得不够，学生的问题意识不强，不能发现新情况新情景中的新问题，从而不能很好地解决问题，针对这种情况，教科书重视引导学生提出问题，教科书设置了许多探究栏目，鼓励学生主动探究，引导学生对于问题作左右类比，对于数学结论进行特殊化、作推广.例如，在证明了二维和三维的柯西不等式以后，就设置了一个探究性问题“比照二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜测一般形式的柯西不等式吗？"；再如"一般形式的三角不等式应该是怎样的？如何应用一般形式的柯西不等式证明它？请同学自己探究等等，这样的探究性问题在教科书中处处可见.