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学习笔记信号与系统第一章信号和系统信号的概念、描述和分类信号的根本运算典型信号系统的概念和分类1、常常把来自外界的各种报道统称为消息；信息是消息中有意义的内容；信号是反映信息的各种物理量，是系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容；信号是信息的载体，通过信号传递信息。2、系统(SyStem):是指假设干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。3、信号的描述数学描述，波形描述。信号的分类：1确定信号规那么信号)和随机信号确定信号或规那么信号可以用确定时间函数表示的信号；随机信号假设信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性。2连续信号和离散信号连续时间信号在连续的时间范围内(-8<七<8有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号，实际中也常称为模拟信号；离散时间信号仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号，实际中也常称为数字信号。3周期信号和非周期信号周期信号是指一个每隔一定时间T,按相同规律重复变化的信号；非周期信号一一不具有周期性的信号称为非周期信号。4能量信号与功率信号能量信号信号总能量为有限值而信号平均功率为零；功率信号平均功率为有限值而信号总能量为无限大。5一维信号与多维信号信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维函数。6因果信号假设当t<0时f仕)=0,当t>0时千(t)0的信号，称为因果信号；非因果信号指的是在时间零点之前有非零值。4、信号的根本运算：信号的+、一、X运算：两信号中()和f2()的相+、一、X指同一时刻两信号之值对应相加减乘。平移：将f(t)f(t+to)称为对信号f()的平移或移位，假设to<0,那么将千()右移，否那么左移。反转:将f(t)Tf(-t)或f(k)Tf(-k)称为对信号f()的反转或反折，从图形上看是将f()以纵坐标为轴反转180°O尺度变换横坐标展缩：将f(t)f(at),称为对信号f(t)的尺度变换。假设a>1,那么f(at)将f(t)的波形沿时间轴压缩至原来的1/a;假设0<a<1,那么f(at)将f(t)的波形沿时间轴扩展为原来的a倍。微分：信号f(t)的微分运算指f(t)对t取导数，即：信号经过微分运算后突出显示了它的变化局部，起到了锐化的作用。积分：信号f(t)的积分运算指f(t)在-8,t区间内的定积分，表达式为：信号经过积分运算后，使得信号突出变化局部变得平滑了，起到了模糊的作用，利用积分可以削弱信号中噪声的影响。5、典型的连续时间信号f(l)=Kg",r=71实指数信号：网对时间的微、积分仍是指数。a>0时，信号将随时间而增长；a<0时，信号将随时间而衰减；a=0时，信号不随时间而变化，为直流信号。T是指数信号的时间常数，T越大，指数信号增长或衰减的速率越慢。2正弦信号：/(，)=KSin(w，+)对时间的微、积分仍是同频率正弦。3复指数信号：f(t)=Ke"=Ke6cos(6)+JKeBSinG)S=b+7J实际不存在，但可以用于描述各种信号。>0时，增幅振荡正、余弦信号；。<0时，衰减振荡正、余弦信号；。二0时等振幅振荡正、余弦信号；3二0时，实指数信号；。二。且3二0时，直流信号。_.sinf4抽样信号：Sa(°Sa(t)具有以下性质：''"U:-',JoSa""5；Sa0二1,Sa(t)=0(t=±,±2n,。JLT5钟形信号：/="e'r,6、单位阶跃函数和单位冲激函数1单位阶跃函数:0 f<0 u(t = Iim /(/) = 'Z 1 />0可以方便地表示某些信号，用阶跃函数表示信号的作用区间，积分计算;单位冲激函数为偶函数：A(T)二5(。；加权特性：/"»。)=/(0冏0；Tj=/""(，T.)抽样特性：阿却"=M);尺度变换:(10(fM = iy(O) (M(f-M-n导数冲激偶:冲激偶的抽样特性J：/八0),U""33冲激偶的加权特性(W0三/(W)-/W(),/(M'"TJ=/("幻-八3(，-52)单位冲激函数:单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。3冲激函数与阶跃函数关系：阶跃函数序列与冲激函数序列。7、信号的分解直流分量分与交流分量fA量*九,其中A为直流分量即信号的平均值。偶分量与奇分量：>(O÷(0,其中二押+小川为偶分量，f0=中“)-/1)为奇分量。脉冲分量一种分解为矩形窄脉冲分量：'">='"J"'一"，另一分解为阶跃信号分量之叠加。实局部量与虚局部量：岁XOhWM对于瞬时值为复数的信号f(t)可分解为实、虚部两个局部之和。正交函数分量：/一9T"')由正交函数集表示，用正交函数集来表示一个信号，组成信号的各分量就是相互正交的。8、系统：假设干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。9、系统的分类及性质连续系统与离散系统：输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统；输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述。动态系统与即时系统：假设系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的鼓励有关，而且与它过去的历史状况有关，那么称为动态系统或记忆系统；含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统，否那么称即时系统或无记忆系统。线性系统与非线性系统：能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。满足叠加性是线性系统的必要条件；不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。时不变系统与时变系统：满足时不变性质的系统称为时不变系统。时不变性质：假设系统满足输入延迟多少时间，其鼓励引起的响应也延迟多少时间。因果系统与非因果系统：鼓励引起的响应不会出现在鼓励之前的系统，称为因果系统；也就是说，如果响应r(t)并不依赖于将来的鼓励如e(t+1),那么系统就是因果的。稳定系统与不稳定系统：一个系统，假设对有界的鼓励f(.)所产生的响应y=f(.)也是有界时，那么称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定；即假设|f(.)|<8,其|yfC)|<8,那么称系统是稳定的。线性时不变系统：LTl连续系统的微分特性和积分特性线性性质包括两方面：齐次性和可加性，假设系统既是齐次的又是可加的，那么称该系统是线性的，即Taf()+bf2()=aTf1()+bTf2()o当动态系统满足以下三个条件时该系统为线性系统：可分解性+零状态线性+零输入线性。10、描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动态系统的数学模型是差分方程。解析描述-系统模拟框图描述。11、系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定鼓励的响应；也可以说，系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。采用的数学工具：卷积积分与卷积和，傅里叶变换，拉普拉斯变换，Z变换。第二章连续系统的时域分析微分方程的经典解法0+和O-初始值零输入响应与零状态响应冲激响应和阶跃响应卷积积分1、微分方程的一般形式：微分方程的经典解：y(t)(完全解)=%(t)(齐次解)+yp(t)(特解)齐次解是齐次微分方程WO+a>yg)+ay(t)+a°y(t)=0的解，外(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定，而特解的函数形式与鼓励函数的形式有关。齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与鼓励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由鼓励确定，称为强迫响应。2、全响应=齐次解(自由响应)+特解(强迫响应)。齐次解：写出特征方程，求出特征根自然频率或固有频率；根据特征根的特点，齐次解有不同的形式；一般形式无重根：特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定；在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。用初始值确定积分常数，一般情况下，n阶方程有n个常数，可用n个初始值确定。3、0-状态称为零输入时的初始状态，即初始值是由系统的储能产生的；0+状态称为参加输入后的初始状态，即初始值不仅有系统的储能，还受鼓励的影响。从O-状态到0+状态的跃变：当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从O-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含&(t)及其各阶导数；如果包含有6仕)及其各阶导数，说明相应的。-状态到0+状态发生了跳变。0+状态确实定：O-状态求0+状态的值，可用冲激函数匹配法；求0+状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。4、各种响应用初始值确定积分常数：在经典法求全响应的积分常数时，用的是0+状态初始值；在求系统零输入响应时，用的是O-状态初始值；在求系统零状态响应时，用的是0+状态初始值，这时的零状态是指0-状态为零。5、冲激函数匹配法：目的：用来求解初始值，求0+和0-时刻值的关系；应用条件：如果微分方程右边包含&(t及其各阶导数，那么0+时刻的值不一定等于(0-J时刻的值；原理：利用t=0时刻方程两边的t及各阶导数应该平衡的原理来求解0+。6、零输入响应：没有外加鼓励信号的作用，只有起始状态所产生的响应；零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加鼓励信号所产生的响应；LTI的全响应:y(t)=yx(t)+yf(t)o1零输入响应，即求解对应齐次微分方程的解：当特征方程的根(特征根)为n个单根(不管实根、虚根、复数根)储，2,，入。时，那么yx(t)的通解表达式为：当特征方程的根(特征根)为n个重根(不管实根、虚根、复数根)入三入2二二入n时，yx(t)的通解表达式为：步骤总结：求系统的特征根，写出山仕)的通解表达式；由于鼓励为零，所以零输入的初始值：V'°-)=(°一)，确定积分常数G、C?、Cn;将确定出的积分常数G、C2、Cn代入通解表达式，即得y.(t).2零状态响应，即求解对应非齐次微分方程的解：根本步骤：求系统的特征根，写出的通解表达式yfKt);根据f(t)的形式，确定特解形式，代人方程解得特解yfp(t);求全解，假设方程右边有冲激函数及其各阶导数时，根据冲激函数匹配法求得II确定积分常数G、C?、Cn;将确定出的积分常数G、C?、Cn代入全解表达式，即得。几种典型自由项函数相应的特解：7、系统响应划分：自由响应Natural+强迫响应forced；暂态响应Transient+稳态响应Steady-state；零输入响应Zero-input+零状态响应Zero-state。零输入响应是自由响应的一局部，零状态响应有自由响应的一局部和强迫响应构成。8、冲激响应：系统在单位冲激信号仕)作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。阶跃响应：系统在单位阶跃信号Ut作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。阶跃响应与冲激响应的关系：线性时不变系统满足微、积分特性jrt0=f4M0<i阶跃响应是冲击响应的积分,注意积分函数F (t)限上，对于因果系统为9、任意信号的分解：任意信号作用下的零状态响应：卷积定义：定义在区间-8,8上的两个和f2(t),那么定义积分：/价比(1心/«)=仙)j于是，任意信号的零状态响应即为：卷积的计算步骤可分解为四步：1换元：t换为TT得f(T)、f2(T)；2反转平移：由千2(t)反转Tf2(-T)右移tf2(LT);3乘积:f1()*f2(t-);4积分：T从-8到8对乘积项积分。10、卷积的性质交换律:1(t)*2(t)=2(t)*1(t);分配律：1(t)*分(t)÷3(t)=1(t)*2(t)÷1(t)*3(t);结合律：(t)*2(t)*3(t)=1(t)*2(t)*(t)；微分性质：/一“小C")二工”；积分性质：'二人"mf；微积分性质：I")=/;0/)"H八二产厂；应用微积分性质的条件是''必须成立，即必须有陋X")"(7)=°Of(t)与冲激函数的卷积:/(t)*(t)=f(t);/(t)*(t-to)=(t-to)；/(t-t1)*(t-t2)=(t-t-t2);(t-t)*(t-t2)=(t-t-t2)0f(t)与冲激偶函数的卷积:/(t)*,(t)=f'(t)*(t)=/'(t);/(t)*"(t)=r(t)o十代)与阶跃函数的卷积：加”(O"：箱”；/(/)WT°)=J：/(rT.Mr=匚/«叫时移性质:假设t(t)*(t)=(t),那么有£(Lb)*/2(Lt?)=/(LtLt2)。利用卷积积分的性质来计算卷积积分，可使卷积积分的计算大大简化。第三章频域分析第一节引言1、从本章开始由时域转入变换域分析。首先讨论傅里叶变换，傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的根底上开展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析频域分析，将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系。2、一些根本信号，将任意一个信号e(t)或者我们需要研究的信号用一个根本信号的线性组合来表示信号分解。如果根本信号通过LTl系统的响应r(t),那么任意信号通过系统的响应就可以用r(t)的线性组合来表示。3、由系统的组成来说：当输入为指数信号时，系统的输出一定也是一个指数信号，只不过指数信号幅值发生变化。指数信号通过LTl系统的输出，利用卷积法输入为，:设(“川=|I,7rkr那么匕(/)”"")4、设鼓励信号为Sin(u)ot),系统的频率响应为/（助=附Q）e29）那么系统的稳态响应为：正弦信号为sin(3°t)作为鼓励的稳态响应为与鼓励同频率的信号，幅度H(j30)由加权，相移。30，H(j3)代表了系统对信号的处理效果。5、三角变换第二节周期信号傅里叶级数分析三角函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差1、cos(n1t),sin(n1t)是一个完备的正交函数集,t在一个周期内，n=1,2,3,ooO由积分可知：2、傅里叶级数的三角展开式：其中：N次谐波的幅值N次谐波的频率4二小÷匕；.W)=44Z勺cos(以°/+21)N次谐波,-bT"-,TIn=arctg-/一%»I信号的均值，直流分量IN次谐波的相角In_123分析,一【，/，33、可画出频谱图：Cn3关系曲线称为幅度频谱图；%3关系曲线称为相位频谱图。4、指数函数形式的傅里叶级数：复指数正交函数集：ejn,t),n=±1,±2,oLwXJr&CefTy工JO八'周期信号可分解为1-8,8区间的指数信号阴3代的线性组合。5、两种系数之间的关系：幅频特性:相频特性:n - Uivtaii其中a>(nJ为关于3的偶函数；bn>F(nJ为关于3的奇函数。6、周期信号的傅里叶级数有两种形式：三角形式和指数形式；三角函数形式的频谱图为单边频谱，指数形式的频谱图为双边频谱；三个性质：收敛性、谐波性、唯一性；引入负频率：函数分解为虚指数，必须有共朝对，才能保证原实函数的性质不变。7、偶函数的傅里叶形式：傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项，Fn3j为实函数。奇函数的傅里叶形式：奇函数中的傅里叶函数中无余弦分量，F(nJ为虚函数。奇谐函数的傅里叶形式：奇谐函数傅里叶级数的偶次谐波为零。偶谐函数的傅里叶形式：偶谐函数傅里叶形式的奇次谐波为零。8、能量信号：一个信号如果能量有限，称之为能量信号；功率信号：如果一个信号功率是有限的，称之为功率信号。连续信号能量：LkU)W;离散信号能量：|v(,)，ro物理可实现的信号常常是时间t(或n)的实函数(或序列)，其在各时刻的函数(或序列)值为实数，称它们为实信号；函数或序列值为复数的信号称为复信号。周期信号平均功率二直流、基涉及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的，总平均功率二各次谐波的平均功率之和。FJ23绘成的线状图形，表示各次谐波的平均功率随频率的分布情况，称为功率谱系数。9、傅里叶有限级数与最小方均误差:设有限级数傅里叶级数为QC/0= flO+ k cos(w<w1r)+ bn sin(卬)-lo + k cos(>1/)+ b sin(f 0>1r)1 lI来逼近，那么误差函数为9,方均误差为÷G÷v)L=.如果完全逼近，那么项数"8。10、对于周期信号f(t)=f(t+nT),当其满足狄氏条件时，可展成：根本信号»(，)=A()*(O=11比=(小Lo可见，e3t通过线性系统后响应随时间变化服从e't,H(j3)相当加权函数。HG3)为h(t)的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。第三节典型周期信号的傅里叶级数频谱的特点频谱结构频带宽度能量分布1、本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析，其脉冲宽度为,脉冲高度为E,周期为T1O1包络线形状为抽样函数；2其最大值在n=0处，为ET;3离散谱谐波性；4第一个零点坐标为2n;5F(nj是复函数。矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性。第一个零点集中了信号绝大局部能量平均功率；由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。周期矩形脉冲信号的功率I/七皿=3、在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。对于一般周期信号，将幅度下降为的频率区间定义为频带宽度。第四节傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换的表示傅里叶变换的物理意义傅里叶变换存在的条件1、傅里叶变换对/(0c*Q):由千t求F3称为傅里叶变换:F () 一般为复信号可表示为:其中幅度频谱、相位频谱由F3求千t称为傅里叶反变换:2、傅里叶变换可表示为不同的形式：实部为偶函数A=2 /")cos(d)d,虚部为奇函数X(») = -2/；a)siii(d)d7摸为偶函数IpSl=Jr(g) + x1)F(w)= a rebin X仪勿)其意义为无穷多个频域范围为OTOO、振幅为无穷小的连续三角函数之和；或者无穷多个频域范围为-8T+8、振幅为无穷小C /(>)d<-F()a3、傅里叶变换存在的条件:1/(*7 =有限值 (充分条件I即ft绝对可积。第五节典型非周期信号的傅里叶变换矩形脉冲单边指数信号直流信号符号函数升余弦脉冲信号1、矩形脉冲信号2、幅度频谱单边指数信号相位频谱I幅度频谱-arctan ° a3、直流信号- <t < +W° 相位频谱时域无限宽，频带无限窄4、抽样信号“）空5、符号函数幅度频谱为 = sn(r)=r;,相位频谱为oM6、升余弦脉冲信号/O)=y 1+c。S"sin(ft;r) _ 'rSa(o>r)MT其幅度频谱为1,其频谱比矩形脉冲更集中。第六节冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换冲激函数冲激偶单位阶跃函数1、冲激函数2、冲激偶的傅里叶变换3、单位阶跃函数第七节傅里叶变换的根本性质对称性质线性性质奇偶虚实性尺度变换性质时移特性频移特性微分性质时域积分性质1、傅里叶变换具有惟一性，傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间确定的内在联系。2、对称性质君/÷÷尸(M则尸(f)<2(-3若尸形状与F(G)相同则/的频谱函数形状与川影状相同幅度勃3、线性性质CcK c2为常数2|胡”)CFI(助人)063)则。/«)+6/式，)-4尸(助+6工3)4、奇偶虚实性苟C尸®贝V(T)C尸(-E勤3F(O)MW(T)C尸5、尺度变换性质若*Q) < 户3),那么Siii三iHC为非零常数。0<a<1时域扩展，频带压缩，幅度上升a倍；a>1时域压缩，频域扩展a倍，幅度降低3倍o此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比。有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，那么要以展开频带为代价。6、时移特性¾V)C尸(通财("幻-尸幅度频谱无变化，只影响相位频谱。时移加尺度变换7、频移特性/«)C尸(如/(Qe向C产(所卬)/(Z)ei卬CF卜十时域f«)乘8",频域频谱搬移右移同时域f乘针向,频域频谱搬移左移城8、微分性质时域微分性质:/«) CF(劭那么；频域微分性质：假设苟一F3JO如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶变换，余下局部再用微分性质。9、时域积分性质假设通窟，那么F(O)=OBe/GXr警Zr(O)W OH寸匚/()"(。须)+智可以记作“JA倒”10、一个未经调制的高频正弦信号为：载波振幅随调制信号的变化规律而变称为调幅；载波频率随调制信号的变化规律而变称为调频；载波相位随调制信号的变化规律而变称为调相。第八节卷积特性卷积定理卷积定理卷积定理的应用1、时域卷积定理:假设时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。频谱函数的卷积对应相应时间函数乘积的2n倍。2、冲激偶冲激偶的性质：1)筛选性匚6")/df=-'(O),对的k阶导数"叫。I/P)Ck=加2时移，("外出k=-«).3奇函数S(T)=-g)、6乜-)=3(/-0)。4冲激偶的面积为零LS"=005/(MQ)=/(OH。)-/'(O)即)。3、能量为有限值的信号称能量信号；平均功率为有限值的信号称功率信号。信号千(t)的能量定义为：E=C;1T:信号千t的平均功率定义为：Api%即僧咒4、Parseval定理：周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。Parseval定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在频域中求得的信号能量。5、能量信号的能量密度频谱函数G3：仪功=与F"姗2为能量密度频谱，表示在3处的单位频带中的信号能量。非周期信号可分为无限多个振幅为无限小的频率分量，各频率分量的能量也是无穷小量；为了表示信号的频谱特征，可以借助能量密度的念；能谱G33表示信号的能量密度在频域中随频率的变化情况。6、连续时间系统的频域分析：LTl系统的全响应=零输入响应+零状态响应。时域分析法：6«)=£(冏1-)&)二人”)*0(。二人(十()仁频域分析法：Fr(ty)=Fh(t)e(r)=F(OFe(t),即R(j)=H(»-E(»。其中“而称为系统函数。频域分析是变换域分析法的一种，另外还有复频域分析法、Z域分析法等。第九节周期信号的傅里叶变换正弦信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换如何由Fo(3)求F(113i)单位冲激序列的傅氏变换周期矩形脉冲序列的傅氏变换f(t) 一傅里叶级数-尸(J离散谱1、周期信号：非周期信号:t)÷÷傅里叶变换-NG)连续谱，2、正弦信号的傅里叶变换由欧拉公式,IEEESai,由频移性质得:3、一般周期信号的傅里叶变换周期信号的F3只存在于3F3处，频率范围无限小，幅度为8。可由Fo3求周期函数/Ct的谱系数FnaJ,即单个脉冲的F。3与周期信号ft的谱系数Fn3i：4、周期单位冲激序列的傅里叶变换因为t)的傅氏级数谱系数是S%L(t的频谱密度函数仍是冲激序列，强度和间隔都是3°5、周期矩形脉冲序列的傅氏变换第十节抽样信号的傅里叶变换抽样理想抽样矩形脉冲抽样抽样定理1、理想抽样周期单位冲激抽样2、矩形脉冲抽样3、抽样定理：在一个频带限制在0,fh内的时间连续信号ft，如果以小于等于1/(21)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。或者说，如果一个连续信号ft的频谱中最高频率不超过I,这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率千S22ftl时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丧失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来复原原来的连续信号。4、重建原信号的必要条件:2%=V = 2J2/ =2比几;不满足此条件，就会发生频谱混叠现象，即抽样频率七22f.是必要条件，或抽样间隔L12f,0TFI2f。是最大抽样间隔，称为“奈奎斯特抽样间隔；代二2匕是最低允许抽样频率，称为“奈奎斯特抽样频率。5、狄利克雷Dirichlet条件：1在一周期内，如果有间断点存在，那么间断点的数目应是有限个；2在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；3在一周期内，信号绝对可积。6、系统的响应波形与鼓励波形不相同，称信号在传输过程中产生了失真。幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，引起幅度失真。相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起相位失真。7、理想低通滤波器的频域特性：3c为截止频率(CUtofffrequency)o第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析引言拉普拉斯变换的定义、收敛域拉氏变换的根本性质拉普拉斯逆变换系统函数H(三)频率响应特性滤波特性的分类线性系统的稳定性拉氏变换与傅里叶变换的关系1、拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：1求解步骤得到简化，可以把初始条件包含到变换式里，直接求得全响应；2拉氏变换分别将时域的“微分与“积分运算转换为S域的“乘法和”除法运算，也即把微积分方程转化为代数方；3将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；4将时域中的卷积运算转化为S域中的乘法运算，由此建立起系统函数H(三)的概念；5利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统性能的许多规律。2、当千t满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换：由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在，考虑在fCtJ上乘以收敛因子e”,=(f)e”,假设ft绝对可积，那么存在傅里叶变换：月二，SL=J"(3廿七二口(X吁二二cs=+j单边拉氏变换：产双边拉氏变换：FBG)=LfQ)e'df。双边拉氏变换的收敛域有两个边界，一个是由t0的函数决定的左边界。1,另一个是由tVO的函数决定的右边界。2；假设。1V。2,那么双边拉氏变换存在，收敛域为。lVV2,假设。1。2,那么双边拉氏变换不存在。3、fCtJ为原函数，FCsJ为象函数。f(t)=尸=jxF(s)estds拉氏逆变换：2町屋产o算子符号法：阳尸(明立)TS产-。-),f(3WF(三)T：/(叫4、要使ft的拉氏变换存在，必须有吧一"。假设存在,使得。Oo时，出J(r)e”=成立，那么S平面上。0。的区域称为F(三)的收敛域。1对仅在有限时间范围内取非零值的能量有限信号，4二,收敛域为整个S平面；2对幅度既不增长也不衰减而等于稳定值的信号，4二°,收敛域为S右半平面；3随时间t成正比增长或随V1成正比增长的信号，。二°,收敛域为S右半平面；4按指数阶规律e°t增长的信号，4=,收敛域为。；5对于一些比指数函数增长更快的函数，不能进行拉氏变换。5、常用函数的拉氏变换：拉氏变换的根本性质：1J线性性质假设工(，)邛、人O)+KG),那么K/")+/(f)(耳+&尸式5)。2时域微分特性假设C)F(s),那么'2W一八"、rr-(0j-,(.)o3时域积分特性假设m产，那么f/比一卜+工/”叫4延时特性时域平移)假设了(，)(，)F(s),那么/(rTo)M-o)eFp(s)°5S域平移假设/")尸，那么/(f)e"F(s+a)o6尺度变换假设/()F(s),那么/的j%>ta>0o7初值定理当F(三)为真分式时，阳/二八°J二%M；否那么，尸(三)=M+耳分别为多项式与真分式,/CAW%8终值定理当F(三)的全部极点在s左半平面允许在s=0处有一阶极点，以保证终值存在时,Iim/(r)=/(oo)=IimSF(三)rs09卷积定理假设工TK、(0(,那么<SW)*加)W)E(s)玛(三)时域卷积定理、小"人言再唱匕域卷积定理。10S域微分与积分假设/()尸，那么wa)*F、平“尸叫6、拉普拉斯逆变换：局部分式展开法仅适用于F(三)为有理分式情况、围线积分法留数法。局部分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，先将F(三)分解为假设干简单函数之和，再分别对这些简单象函数求原函数。Pi、P2、Pn称为F(三)的极点；分子多项式也可以表示为A(s)=(s-Z)(s-z2)(s-zm),式中z,Z2,，z.是A(三)R方程式的根，也称F(三)的零点。p,P2,，6既可以是各不相同的单极点，也可能出现有相同的极点即有重极点；分母多项式的阶次一般高于分子多项式(m<n),但也有可能m2n。7、设描述LTl系统的n阶微分方程为：假设系统的起始状态为零，那么叫q),对上式两边同时取拉氏变换，得Qn+CISl+。3+CjR25(s)=£osm+f15w,+E时IS+Em£(s),有：系统函数"=瑞1为系统零状态响应的拉氏变换与鼓励的拉氏变换之比。当e(f)=b(f)时，ra(t)=h(t)f"=旃=Wa)LH(P)是一个算子，H(三)是变量S的函数；H(三)只描述系统的零状态特性，而H(P)既描述零状态特性，又描述零输入特性。集总参数LTl系统的H(三)为有理分式：Z1、Z2、Z.称为H(三)的“零点"；Pi>P2、Pn称为H(三)的"极点"。(s-z,厂】(s-z,)R(s) = H (s)E(s) = K-n(r)IidJ2z! /»18、系统函数 5'p'y ,鼓励 Ip/响应(-A) (-A) oHK、 n响应"二系统函数极点2丁7T鼓励信号极点；")名“”自由响应Wk强迫响应O9、频率响应特性：是指稳定系统在正弦信号鼓励下，稳态响应随信号频率的变化情况。幅频响应特性：幅度随频率的变化情况；相频响应特性：相位随频率的变化情况。"(s),.="=IHoMIe”,其中IHO卜。为幅频响应特性，9®)G为相频响应特性。10、滤波特性的分类：主要是通带与阻带的不同。11、全通网络：幅频特性HG砌=K,对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。极点位于左半平面，零点位于右半平面，且零、极点对于j3轴互为镜像。全通网络用于相位校正。最小相移网络：极点全部在左半平面，零点也全部在左半平面或j3轴上的网络，称为最小相移网络；含有零点在右半平面的网络称为非最小相移网络。非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。12、假设系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，那么称此系统为BIBO)稳定系统。即对所有的仲壮此，产生的响应卜0)=M,Me、Mr为有界正值。连续时间LTl系统BIBO稳定的充分必要条件是：匚依)也”，(H(三)的收敛域包含虚轴；连续时间因果LTl系统BIBO稳定的充分必要条件是：匚依)M"M<IH(三)的极点全部在左半平面。由H(三)的极点分布判断因果LTl系统的稳定性：1极点全部在左半平面，h(t衰减，系统稳定；2虚轴上有一阶极点，其他极点全部在左半平面，ht等幅振荡，系统临界稳定；3有极点在右半平面，或虚轴上有二阶或二阶以上极点，ht增长，系统不稳定。13、拉氏变换与傅里叶变换的关系：当。>0时，千t是增长函数，不存在傅里叶变换；当OVO时，千t是衰减函数，存在俾里叶变换，/®)="($”.；当。二0时，ft为等幅或增幅振荡，存在傅里叶变换包含奇异函数项,网*尸(三)La第五章傅里叶变换应用于通信系统无失真传输理想低通滤波器调制与解调1、幅度失真：系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减，使响应各频率分量的相对幅度产生变化。相位失其：系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比，使响应各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。线性系统：幅度失真与相位失真都不产生新的频率分量。非线性系统：由于非线性特性对所传输信号产生非线性失真，非线性失真可能产生新的频率分量。2、信号的失真有正反两方面：1如果有意识地利用系统进行波形变换，那么要求信号经系统必然产生失真；2如果要进行原信号的传输，那么要求传输过程中信号失真最小，即要研究无失真传输的条件。无失真传输概念即时域波形传输不变：响应信号F三激励信号。信号无失真传输的条件对系统提