学而思全等三角形培优.docx

第一讲全等三角形的性质及判定【例1】如图，AC/DE9BC/EF9AC=DE.求证：AF=BD.【补充】如下图：ABCD,AB=CD.求证：AD/BC.【例2】：如图，B、E、八。四点在同一条直线上，AB=DC,BE=CF,/B=NC.求证:OA=OD.【补充】：如图，AD=BC,AC=BD9求证：ZC=ZD.【补充】如图，在梯形ABa)中，AD/BC,E为CD中点,连结AE并延长AE交Be的延长线于点尸.求证：FC=AD.【例3】如图，AB,8相交于点O,OA=OB9E、F为CD上两点,AE/BF9CE=DF.求证：AC/BD.【补充】，如图，AB=AC9CEA.AB9BFA.AC,求证：BF=CE.【例4】如图，ZZ)CE=90o,CD=CEtADlACtBELAC9垂足分别为八，4,试说明AZHAB=应：【例10】如下图，AB=DC9AE=DF,CE=BF9证明：AF=DE.【例11】E、/分别是正方形ABeZ)的8C、8边上的点,且比：=CF.求证：AEYBF.t补充】E、尸、G分别是正方形ABCr)的BC、CD、AB边上的点，GELEF,GE=EF求证：BG+CF=BC【例12在凸五边形中，ZB=ZE,NC=ZD,BC=DE,M为CD中氤.求证：AMA.CD.【补充】如下图：AF=CDtBC=EF,AB=DE,ZA=ZD.求证：BC/EF.【例13(1)如图，ZA8C的边48、AC为边分别向外作正方形A8DE和正方形ACFG,连结EG,试判断AABC与AAEG面积之间的关系，并说明理由.(2)园林小路，曲径通幽，如下图，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.中间的所有正方形的面积之和是。平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？IJLAC 交N = BM ,的大小.= AB,求【例14如图，ABC中，AB=BC,NAeC=90。，。是AC上一人AB于E点.求证：AD=DE=EB.【例15ABC中，Z=90o,M为AB上一点，使得AM=BC,连/W、CM交于P点.试求ZAPM的度数，并写出你的【例16如图，/是ZkABC的内心，KCA+AJ=BC.假设NBAc【例17：80、CE是ABC的高，点尸在8。的延长线上，BP=A一证：(1)AP=Q;(2)APLAQ.【例18如左以下图，在矩形ABCD中，E为C8延长线上一点且AC=C石，尸为AE的中点.求证：BFLFD.如右以下图，在A3C中，BE、C分别为边AC、B的高，。为BC的中点，DMLEF于求证：FM=EM.18.补充：如图，NABD=NAa)=60。，且NAOB=90。一gNBDC.求证：ABC是等A腰三角形./【例19如图，ABC为边长是1的等边三角形，ABDC为顶角(N3DC)是120。的等腰/三角形，以。为顶点作一个60。角，角的两边分别交AB于M,AC于N,连/接MN,形成一个AMV.求AWTV的周长./，家庭作至一；C【习题1】:如图，AB/DE9AC/DF,BE=CF.求证：AB=DE.【习题2】：ADEF注AMNP,且EF=NP,NF=NP,ND=48°,ZE=52o,MN=I2cm,求：NP的度数及DE的长.【习题3】如图，矩形ABC。中，石是AD上一点，CE工EF交AB于F点,假设。E=2,矩形周长为16,ACE=EF,求AE的长.【习题4】在四边形中，AD/BC,ZA的平分线AE交/X;于E.求证：当BE是NB的角平分线时，AD+BC=AB.3月测备选）【备选1】如下图：AB=AC,AD=AE9CD、BE相交于点O.求证:【备选2】如下图，在ZXABC中，AD_LBe于点。，ZB=2ZC.求证：【备选3】如图，44BC中，。是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F9交AC的平行线8G于G点，DELDF9交AB于点E,连结EG、EF.（1）求证：BG=CF.（2）请你判断8E+CF与EF的大小关系，并说明理由.第二讲全等三角形与中点问题版块一倍长中线【例1】在AABC中，AB=5,AC=9t那么BC边上的中线AO的04平分Zn4E.AB + BD = CD.长的取值范围是什么？【补充】：A8C中，4）是中线.求证：AD<-（AB+AC）.2【例2】：如图，梯形ABa）中，AD/BCt点石是8的中点，跖的延长线与4）的延长线相交于点尸.求证：BCEFDE.【例3】【例4】【例5】如图，在ABC中，。是Bc边的中点，F9证：ABDEmACDF.如图，AH中，AB<AC,AP是中线.求证:如图，在ABC中，4）是4C边上的中线，【例6】延长跖交AC于，AF=EF9求证：AC=BE.如下图，在ABC和AB'C中，AD.ATy分别是8C、B,C,【例7】【例8】上的中线，且AB=ATT,AC=AfC,ABCA,B,C,.如图,在ABC中，AD交BC于点D,点七是8C中点，4。交CA的延长线于点F,交EF于点G,假设BG=CFf求证：4）为ABC的角平分线.AD为ABC的中线，NADB,ZADC的平分线分别交AB于£、交AC于F.求证:BE+CF>EF.【例9】【例10】E分别是AC）及其延长线上的点，CF/BE.求AD=Aiy»求证I）求证DAC<ZDAB.E是AD上一点,E在RlAC中，ZA=90o,点。为BC的中点，点£、厂分别为AB、AC上的点，且EDA.FD,以线段跖、EF、尸C为边能否构成一个三角形？假设能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？AB3Z=ZC,D9E分别是28及4：延长线上的一点，且BD=CE,连接DE交底8C于G,求证GD=GE.【例11如下图，在ABC中，。是8C的中点，Z）M垂直于ON,如果BM2+CN2=DM2+DN2,AD2=(AB2+AC2).(勾股定理的内容，选做)【例10在RtABC中，尸是斜边4?的中点，D、£分别在边C4、CB上,满足ZD庄=90。.假设AD=3,BE=4,那么线段DE的长度为.家庭作业）【习题1】如图，在等腰ABC中，AB=AC9。是8C的中点，过A作AAF工DF,且AE=AF.求证：EDB=FDC.【习题2】如图，在ABC中，4）是AC边上的中线，£是"）上一点，且4E=AC,延长的交AC于F9AF与EF相等吗？为什么？【习题3】如右以下图,在ABC中，假设Zfi=2NC,ADLBC9石为BC边的中点.求证：AB=IDE.【备选1】如图，AB=DC9AD=BCt。是8。中点，过。点的直线分别交。4、8C的延长线于&F.求证：NE=NF【备选2】如图，ABC中，AB=AC,NBAC=90。，。是BC中点，ED1FD,ED与AB交于E,田与AC交于F.求证：BE=AF9AE=CF.第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC中，。为8C边上的点，ZBAD=ZCAd,BD=CD,求证：/义AB=AC.5<x【例2】ABC中，AB=AC9BE、8分别是ZABC及ZAC3平分线.求证：j-翼，CD=BE.【例3】如图，在ABC中，Z=60o,AD>C石分别平分N84C、NBC4,且AD与CE的交点为尸.求证：FE=FD.【例4】如图，ABC的周长是21,OB,OC分别平分ZABC和ZAC8,8_L6C于。，且OD=3,求ABC的面积.【补充】如下图：AB=AC,AD=AE9CD、8石相交于点O求证：OA平8-NC分NZME.【例5】ABC中，ZA=60,BD、C£：分别平分ZABC和ZAC8,BD、CE交于点O,试判断的、CD、BC的数量关系，并加以证明.【例6】如图，Zr是AC上的一点，又N1=N2,3=Z4.求证：ED=EB.【例7】如下图，QP是NAOC和48的平分线，OA=OC,OB=OD.求证：AB=CD.【例8】如下图，ABC中，AD平分NBAC,E、产分别在比>、AD上.DE=CD9EF=AC,求证：EF/AB【例10如图，在四边形/W8中，AC平分ZM>,过C作CE并且AE=I（A8+A0,2那么ZABC+NADC等于多少？【补充】长方形ABCo中，AB=4,BC=I9NBA。的角平分线交BC于点&EFlED交AB于F,那么EF=.【补充】在A8C中，AB>AC,4）是NBAC的平分线.P是">上任意一点,求证：AB-AOPB-PC.【例11如图，在ABC中，ZB=2ZC,NBAC的平分线AD交8C与。.求证：AB+BD=AC.【例12如图，ABC中，AB=AC9ZA=IO8。，8。平分ZABC交AC于。点.求证：BC=AC+CD.【稳固】等腰A3C,ZA=100o,NABC的平分线交4C于。，那么A。+AD=8C.【例13如下图，在ABC中，4）平分N84C,AD=AB,CM_LAD于求证AB+AC=2A【例14如图，ABC中，AB=AC,BD、CE分别为两底角的外角平分线，ADtBD于D,AEA.CE于E.求证：AD=AE.【例15如图，ZA+ZD=180o,跖平分NABC,CE平分NBCD,点E在AP上.探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系.探讨线段BE与CE之间的位置关系.家庭作业）【习题2如图，在ABC中，AB+BD=AC,NBAC的平分线AD交8C与O,求证：ZB=2ZC.【习题3】AD是ABC的角平分线，踮J_AD交AD的延长线于E,所AC交AB于尸.求证：AF=FB.【习题4】如下图，AD平行于8C,ZDA&NEAB,ZABE=ZEBC,AD=4,BC=21那么A8=.【习题5】ABC中，。为8。中点，DE!_BC交/84C的平分线于点E,所_LAB于尸EG_LAC于G.求证：BF=CG.蚓月测备选）【备选1】在ABC中，4）平分NSAC,AB+BD=AC.求NB:NC的值.【备选2】如图，在A4C中，ZABC3ZCZI=N2,BE±AE.求证：ACAB=IBE,【备选3】如下图，在四边形ABa中，AD/BC9NA的平分线AE交QC于E,求证：当BE是ZB的平分线时，有AP+BC=AB.第四讲全等三角形与旋转问题【例1】:如图，点C为线段AB上一点，ACMACBN是等边三角形.（1）求证：AN=BM.2求证：CD=CEN求证：CF平分NMCN/A（4）求证：DEABz/【例2】如图，四边形ABC。、。石厂G都是正方形，连接AE、CG.求证：/【例3】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点.求证：AWBAE=BD.【例4】如图，。是等边A3C内的一点，且加=AD,BP=AB,NDBP=NDBC,问NBPf）的度数是否一定，假设一定，求它的度数；假设不一定，说明理由.【例5】如图，等腰直角三角形ABC中，ZB=90o,AB=a,O为AC中点，EO_LOf'.求证：BE+BF为定值.【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转,其交点为E、Ff求证：AE+CF=AB.【例6】（2004河北）如图，点石是正方形ABCr）的边CD上一点，点k是C8的延长线上一点，且EALAF.求证：DE=BF.【补充】如下图，在四边形A8C。中，½WC=ZABC=90o,AD=CD9£P_LAB于尸，假设四边形ABCr）的面积是16,求DP的长.【例7】E.尸分别是正方形ABC。的边BC、C。上的点，且NEAF=45。，AHA.EF9为垂足，求证：AH=AB.【稳固】如图，正方形ABC£的边长为1,点尸在线段C/）上运动，AE平分ZBAF交BC边于点E.（1）求证：AF=DF+BE.设OE=X（OWXW1）,AZ加与ABE的面积和S是否存在最大值？假设存在，求出此时X的值及S.假设不存在，请说明理由.【补充】如图，在四边形A8CD中，AB=AD,因8=0。=90。，E、F分别是边8C、CD上的点，且团EAF=-BAD.求证，EF=BE+FD;2（2）如图.ABCDAB=AD,08÷0D=180o,E、F分别是边8C、CD上的点，且胴4F=-BAD9（1）中的结论是否仍然成立？不用证明.2家庭作业）【习题1】如图，ABC和AI应都是等边三角形，B、C、。在一条直线上，试说明CE与AC+8相等的理由.【习题2】（湖北省4冈市2023年初中毕业生升学考试）：如图，点石是正方形ABCO的边4?上任意一点，过点。作力/_LO£交BC的延长线于点少.求证：DE=DF.【习题3】在梯形ABC。中，ABCDtNA=90。，AB=I9BC=3,CD=X9E是AD中点，试判断EC与房的位置关系，并写出推理过程.【习题4：如图，点C为线段AB上一点，MCM>ACBN是等边三角形.CG>C”分别是AACN、MC3的高.求证：CG=CH.蜘月测备选）【备选1】在等腰直角ABC中，NAC8=90,AC=BC,M是AB的中点，点户从3出发向C运动，M2_LMP交AC于点。，试说明PQ的形状和面积将如何变化.【备选2】如图，正方形ABez）中，ZEAD=ZME.求证：BE+DF=AE.【备选3】等边A8O和等边AC8。的边长均为1,E是AE_LA。上异于A、。的任意一点，尸是Cz）上一点，满足AE+CF=1,当E、尸移动时，试判断fiEF的形状.第五讲轴对称和等腰三角形A【例1】在AABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA,求NA.【补充】在A3C中，AB=AC,BC=BD9AD=ED=EB.求ZA.E【例2】ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交8C于。、E,假设AZAC+ZZ4E=150o,求NfiAC./【例3】如图，点O是等边AO=AZ）内一点，ZAOB=IlO,NBOC=.将ABOC/-绕点C按顺时针方向旋转.190°-a=a-6044）C,连接O/）,那么1ACOD是等边三角形；当为多少度时，ZkAOD是等腰三角形？BC【例4】如图，在ABC中，NB=NC,。在BC上，ZBAD=50,在AC上取一点E,使得0E=NAED,求NfDC的度数A【例5】如图，ABC为等边三角形,延长8C到0,又延长必到E,使越=a>,/Rx连接CEoE,求证：（?£）£为等腰三角形./y>【例6】如图，在ABC中，ZB9NC为锐角，M,N,。分别为边AB、AC.0ABC上的点，满足A=4V,BD=DC9且ABDM=NCDN.求证tAB=AC.板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】点A在直线/外，点。为直线/上的一个动点，探究是否存在一个定点3,当点尸在直线/上运动时，点尸与A、3两点的距离总相等，如果存在，请作出定点8,假设不存在，请说明理由.【例8】如图，在公路。的同旁有两个仓库A、B,现需要建一货物中转站，要求到A、3两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比拟合理？【例9】如图，NAO8=45。，角内有点在角的两边有两点。、RGO点），求作Q、R,使得APQR的周长的最小.【补充】如图，M、N为ABC的边八C、5C上的两个定点，在/W上求-使PMN的周长最短.【例10如图，点M在锐角NAO3的内部，在03边上求作一点使点/，到点M的距离与点尸到OA的边的距离和最小.【补充】：A、B两点在直线/的同侧，在/上求作一点”，IAM-8M最小.【补充XA、“两点在直线/的同侧，在/上求作一点M,使得使得最大.【例11如图，正方形AHC。中，AB=S9M是/X?上的一点，且。M=2,N是AC上的一动点，求DV+MN的最小值与最大值.【补充】例题中的条件不变，求PN-MNl的最小值与最大值.【补充】如图，正方形AeC。的边长为8,M在DC上，且DW=2,N是AC上的一个动点，那么EW+MV的最小值是【习题2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12Cm和21Cm两局部，那么这个等腰三角形的底边的长为()A.17cmB.5cmC.17Cm或5cmD.无法确定【习题3】等腰三角形的周长为20,腰长为工，求X的取值范围.【习题4】(2004天津)在以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()【习题5】判断以下图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)月测备选)那么NC的外角的大小是()D. 80。或 140。【备选1】ZSC的一个内角的大小是40。，且/A=NB,A.140oB.80°或100oc.100。或140。【备选2】等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两局部，求腰长和底长.【备选3】(四川省竞赛题)如图，在等腰RtA3C中，CA=CB=3,E的BC上一点,满足BE=2,在斜边AB上求作一点P使得PC+PE长度之和最小.【备选4】在正方形ABC。中，石在BC上，BE=2,CE=I,P在BD上,求夫七和PC的长度之和的最小值.第六讲全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】ABC中，ZA=60,BD、CE分别平分ZABC和.ZAC8,BD、CE交于点O,试判断AE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【例2】如图，点M为正三角形ABO的边AB所在直线上的任意一点(点BA除外)，作ADMN=60。，射线MN与NDBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系？【例3】AD±AB,CBLAB9DM=CM=a,AD=h,CB=k,MMD=75。，0WC=45o,那么48的长为().k+h.A.aB.KC.D.h2【例4】：如图，A8CD是正方形，MAD=SEAE.求证：BE+DF=AE.【例5】以ABC的反、AC为边向三角形外作等边43。、ACE,连结8、BE相交于点求证：OA平分NE.【例6】(北京市数学竞赛试题,天津市数学竞赛试题)如下图，&48C是边长为I的正三角形，BDC是顶角为120。的等腰三角形，以。为顶点作一个60。的ZMDV,点历、N分别在AB、AC上，求AAAW的周长.【例7】五边形48CDE中，AB=AEtBC+DE=CD,ABC+AED=130o,求证：4。平分由CDE板块二、全等与角度【例10如图，在ABC中，NBAC=60。，Ao是NAA。的平分线，KAC=AB+BDt求NAC的度数.【例11】在正ABC内取一点。，使AA=De,在ABC外取一点E,使ZDBE=ZDBC,且鸵=胡，求ZBED家庭作业）【习题1】点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DCtZBDC=12Qo,NMDN=600,求证MN=MB+NC.【备选1】如图，点M为正方形A8C。的边AB上任意一点，MN_LoM且与NABC外角的平分线交于点N,与MN有怎样的数量关系？