家家学网络名师小班辅导教案-全等三角形与旋转问题.docx

第四讲中考要求）板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点目鼠根本知识把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个甭度，得到图形G',这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，。叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形.很明显，旋转变换具有以下根本性质：旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；对应直线的交角等于旋转角.旋转变换多用在等腰三角形、正三南形、正方形等较规那么的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演.重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的根底，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论,如何用数学符号表示，即书写格式,都要在讲练中反复强化7j例题精讲）【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是（）.【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（）.A.顺时针旋转60°得到B顺时针旋转120。得到C.逆时针旋转60°得到D.逆时针旋转120。得到【例3】如图，C是线段BQ上一点，分别以8C,Co为边在8。同侧作等边ZvIBC和等边4CQJAO交CE于F,BE交AC于G,那么图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有（）.A1对B2对C3对1）4对【例4】：如图，点C为线段AB上一点，CMACBN是等边三角形.求证：AN=BM.【例5】如图，B,C,七三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连结或），/正分别交AC,DC于M,N点.求证：CM=CN.【补充】：如图，点C为线段4?上一点，ACMACBN是等边三角形.求证：CF平分ZAFB.【补充】如图，点C为线段AB上一点，ACM口加是等边三角形.请你证明：（DAN=BM；（2）DE/ABi（3）Cr平分NA/记.【例6】（2023年怀化市初中毕业学业考试试卷）如图，四边形A8CD、力比G都是正方形，连接AE、CG.求证：AE=CG.【例7】如图，点C为线段AB上一点，ACM.ACBN是等边三角形，。是4V中点，E是BM中尽,求证：ACDE是等边三角形.【补充】（2008年全国初中数学竞赛海南区初赛）如以下图，在线段AE同侧作两个等边三角形AABC和COE（NACEVl20°）,点尸与点M分别是线段3七和AD的中点，那么Aa沏是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.非等腰三角形【例8】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于。点.求证：AE=BD.【例9】如图，。是等边ABC内的一点，且E）=AD,BP=AB,ZDBP=ZDBC,问NB的度数是否一定，假设一定，求它的度数；假设不一定，说明理由.【例1。】（2005年四川省中考题）如图，等腰直角三角形ABC中，NB=90。，AB=a,。为AC中点，EOA.OF.求证：BE+M为定值.【补充】如图，正方形OGbK绕正方形中点O旋转，其交点为E、F,求证：AE+CF=AB.【例11】（2004河北）如图，点上是正方形ABCQ的边CQ上一点，点厂是CB的延长线上一点，且EA.LAF.求证：DE=BF.【补充】如下图,在四边形ABCD中，ZADC=ZABC=90o,AD=CD,OP_LAB于巴假设四边形ABCD的面积是16,求。P的长.【例12】E、F分别是正方形ABC。的边BC、8上的点，且N£4F=45。，AH±EF,为垂足，求证：AH=AB.【例13】（1997年安徽省初中数学竞赛题）在等腰RtMBC的斜边AB上取两点M、N,使NMCN=45。,记AM=/W,MN=x,BN=n,那么以工、?、为边长的三角形的形状是（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随X、M、的变化而变化【稳固】如图，正方形ABC。的边长为1,点/在线段CD上运动，AE平分ZffAF交BC边于点E.（D求证：AF=DF+BE.设DP=X（OWxWl）,AO厂与ABE的面积和S是否存在最大值？假设存在，求出此时的值及S.假设不存在，请说明理由.【例14】（通州区2023一模第25题）请阅读以下材料：:如图1在RtAC中，ABAC=90。,AB=AC,点D、上分别为线段AC上两动点，假设ZmE=45。.探究线段切、DE.EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90。，得到ABE,连结£0,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（D猜测/、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜测给予证明；（2）当动点？在线段8C上，动点。运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜测并给予证明.【例15（北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题）如下图，AABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120。的等腰三角形，以。为顶点作一个60。的ZDV,点历、N分别在AB、AC上，求AMV的周长.【例16】在等边A8C的两边ABAC所在直线上分别有两点MN。为A8C外一点只NMDN=60。，ABDC=20P,BD=CD,探究：当点M,N分别爱直线/W,AC上移动时,BM,NC,MN之间的数关系及WW的周长与等边AABC的周长L的关系.如图，当点M，N在边AB,AC上，且。M=Z）N时，BM,NC,MN之间的数量关系式:此时2=L如图，当点M,N在边A8,Ae上，且DMHoN时，猜测（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证明；如图，当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时，假设AN=X,那么Q=（用x,上表示）【补充】（1）如图，在四边形A3C。中，48=A。，NB=ND=90。，E、“分别是边8C、CQ上的点，.ZEAF=-/BAD.求证：EF=BE+FD;2（2）如图，在四边形ABCQ中，AB=AQ,4+ND=I80。，E、F分别是边BC、CQ上的点，ZEAF=-NBAD,中的结论是否仍然成立？不用证明.2【例17平面上三个正三角形Ab,ABD98CE两两共只有一个顶点，求证：所与CD平分.【例18：如图，ABCACDE、EWK都是等边三角形，且A、D、K共线，AD=DK.求证：HBD也是等边三角形.【例19（1997年安徽省竞赛题）如图，在4A6C外面作正方形AbEF与ACG”，AO为4A8C的高，其反向延长线交歹于求证：（DBH=CFg）MF=MH【补充】以ZABC的两边AB、Ae为边向外作正方形ABOE、ACFG9求证：CE=BG9且CE上BG.【例20】（北京市初二数学竞赛试题）如下图，在五边形ABa组中，4=4=90。，AB=CD=AE=BC+DE=I,求此五边形的面积.【例21（希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题）在五边形ABa）E中，AB=AE9BC+DE=CDfNABC+NAEQ=180,连接求证：">平分NCDE.家庭作业）【习题1】如图，ABC和ADE都是等边三角形，B、C、。在一条直线上，试说明CE与AC+CD相等的理由.【习题2（湖北省黄冈市2023年初中毕业生升学考试）：如图，点£是正方形488的边AB上任意一点，过点。作DFJ_OE交8C的延长线于点尸.求证：DE=DF.【习题3】（2023山东）在梯形ABC。中，ABCD,ZA=90o,AB=2,BC=3,CD=I,七是AD中点，试判断EC与所的位置关系，并写出推理过程.【习题4：如图，点C为线段4?上一点，ACMACBN是等边三角形CG>S分别是AACN、MC的高.求证：CG=CH.月测备选）【备选1】在等腰直角AABC中，ZAC8=90,AC=BC,M是AB的中点，点户从B出发向C运动，MQ_LMQ交AC于点Q,试说明PQ的形状和面积将如何变化.【备选2】如图，正方形A8C。中，ZFAD=ZFAe.求证：BE+DF=AE.【备选3】等边ABO和等边ACM的边长均为1,七是BE_LAD上异于A、。的任意一点，户是8上一点，满足AE+CF=1,当E、尸移动时，试判断的形状.例题精讲）【例22如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是（）.【解析】A【例23如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AMG可以看成是把菱形ABC。以A为中心（）.A.顺时针旋转60°得到B.顺时针旋转120°得到C.逆时针旋转60°得到D.逆时针旋转120。得到【解析】D【例24如图，C是线段8。上一点，分别以BCCo为边在BO同侧作等边CABC和等边CCQJAO交CE于F,BE交AC于G,那么图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有（）.A.1对B.2对C.3对D.4对【解析】C【例25：如图，点C为线段AB上一点，ACM.ACBN是等边三角形.求证：AN=BM.【解析】,.ACM.ACBN是等边三角形，：.MC=AC,CN=CBfZACN=ZMCbAC7VCB,AN=BM【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的根本图形.【例26如图，B,C9石三点共线，且ABC与&X石是等边三角形，连结8D,AE分别交AC,DC于M,N点.求证：CM=CN.【解析】.A8C与DCE都是等边三角形BC=ACfCD=CE及ZACB=ZDCE=附YB,C,E三点共线ZBCD+ZDCE=180o,ZfiCA+ZACE=180°SCD=ZACE=i20o在凶8与AACE中BC=ACBCD=ZACE：.BCDISACE,DC=ECNCAN=NCBM；ZBCD=ZACE=12伊,ZBCM=ZNCE=oZACD=60°在ABCM与AC7V中BC=AC/BCM=ACN=60。：ZCMWACN,：.CM=CN.NCBM=ZCAN【补充】：如图，点C为线段4?上一点，ACf>ACBN是等边三角形.求证：CF平分ZAFB.【解析】过点C作CG_LAN于G,CH±BM于H,由AC7V纥C8,利用AAS进而再证MCH乌&VCD,可得到CG=CH,故CF平分NA/8.【补充】如图，点C为线段AB上一点，AACM、ACBN是等边三角形.请你证明：Q)AN=BM；DE/ABIb平分ZAFB.【解析】此图是旋转中的根本图形.其中蕴含了许多等量关系.NMCN=60与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三.角形推导出来的对应角相等推到而得的：ZAFC=ZBFCAN=BM,CD=CE,AD=ME,ND=BE;AM/CNiCM/BNDE/ABAC7VCB,ADCCE,ANDCABEC;DEC为等边三角形.(1)VACM.ACBN是等边三角形,：.MC=ACtCN=CB,ZACN=ZMCbAC7VMCB,AN=BM由AC7V名MC8易推得MX7qEC,所以CD=CE,又NMaV=60,进而可得ADEC为等边三角形.易得。石A3过点C作CG_LAN于G,CH工BM于H,由ACNgC8,利用AAS进而再证BCH会VCD,可得ZAFC=NBFC,故C尸平分NAfB.【例27】(2023年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABc£>、OEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：AE=CG.【解析】VZADC=ZEDg：.ZCDG=ZADe在ACDG和ADE中CD=ADZCDG=ZADE：,CDG0MPE：AE=CGDG=DE【例28如图，点C为线段AB上一点，AAC以、ACBN是等边三角形，。是4V中点，E是BM中点,求证：ACOE是等边三角形.【解析】.AC7VgC8,AN=BM,ZABM=ZANC又：。、E分别是AN、BM的中点、,：,2CEgMCD,：,CE=CD,ZBCE=ZNCd：.ZDCE=ZNCD+ZNCE=ZBCE+ZNCE=ZNCB=60°ACDE是等边三角形【补充】（2008年全国初中数学竞赛海南区初赛）如以下图，在线段同侧作两个等边三角形43C和8E（NACE<120°）,点户与点M分别是线段BE和AD的中点，那么ACPM是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.非等腰三角形【解析】易得AACDMCE.所以BCE可以看成是ACD绕着点C顺时针旋转60。而得到的.又M为线段4）中点，P为线段HE中点，故CP就是CM绕着点C顺时针旋转60°而得.所以CP=CW且，ZPCM=60°,故ACPM是等边三角形，选C.【例29如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点.求证：AE=BD.【解析】.ABC是等边三角形，NAC8=60。，AC=BC.ZCD+ZDC4=60p,同理ZACE+ZDCA=60。，DC=EC.ZBCD=ZACE在AfiCO与AAC中，BC=AC<NBCD=tACE：,NSCDgMCE,BD=AE.DC=EC【例30如图，力是等边A8C内的一点，且80=4。，RP=AB,ZDBP=ZDBC,问NBPD的度数是否一定，假设一定，求它的度数；假设不一定，说明理由.【解析】连接CD,将条件3。=AD,BP=AB这两个条件,易得MCDq2CD（SSS）,得ZBCD=ZACD=-ZACB=30°,由BP=AB=BC,ZDBP=ZDBCtBD=BD（公共边）,知2BDPZiBDC（SAS）tZBPD=ZBCD=3（,故NB尸力的度数是定值.【例31（2005年四川省中考题）如图，等腰直角三角形ABC中，ZB=90o,AB=a,。为AC中点，EOLOF.求证：HE+M为定值.【解析】连结08由上可知，11+Z2=90o,Z2+Z3=90,Z1=Z3,而N4=NC=450,OB=OC.：.AOBE会AOCF,BE=FCt:BE+BF=CF+BF=BC=c.【补充】如图，正方形OG"K绕正方形AEQD中点。旋转，其交点为石、F,求证：AE+CF=AB.【解析】正方形48CD中，NI=N2=45。，OA=OB而N3+N4=90o,Z4+Z5=90oZ3=Z5,AOEBOFAE=BF,：.AE+FC=F+FC=BC=AB【例32（2004河北）如图，点"是正方形ABa）的边Cf）上一点，点Z7是CB的延长线上一点，且EALAF.求证：DE=BF.【解析】证明：因为四边形ABC。是正方形，所以AB=AD,ZBAD=ZADE=ZABF=90.因为E4_LAF,所以NBA尸+NB4E=NBAE+NDAE=90”,所以ZBAF=ZDAEf权RtgBF冬RtHDE,故DE=BF.【补充】如下图,在四边形Aea）中，ZADC=ZABC=90o,AD=CD9OP_LAB于P,假设四边形ABCD的面积是16,求DP的长.【解析】如图，过点、D作DEA.DP,延长BC焚DE于点、E,容易证得ADP且（?£）£：（实际上就是把ADP逆时针旋转90°,得到正方形DPBE）.正方形Z）P班:的面积等于四边形ABcD面积为16,/.Z）P=4.【例33】E.尸分别是正方形AC。的边8C、CO上的点，且NEAF=45。，AHlEF9，为垂足，求证：AH=AB.【解析】延长CB至G,使BG=DE,连结AG,易证ZXABG且ZADP,NBAG=NDAF,AG=AF.再证AAEG注ZXAfF,全等三角形的对应高相等（利用三南形全等可证得），那么有AH=A8.【例34】（1997年安徽省初中数学竞赛题）在等腰RtAABC的斜边AB上取两点M、N,使/MCN=45。,记AM=m，MN=X,BN=n,那么以X、?、为边长的三角形的形状是（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随工、?、的变化而变化【解析】如图，将ACBN绕点C顺时针旋转90。，得ACW,连结MO,刃B么AD=BN=，CD=CN,NACD=/BCN,：.ZMCd=ZACM+ZACD=ZACM+ZBCN=90-45=45=AMCN.MDCMNC,：MD=MN=X又易得NDAM=45+450=90,在RtAM。中，有L+/=/,故应选(B)【稳固】如图，正方形ABCD的边长为1,点尸在线段CD上运动，Aff平分NjMF交8C边于点七.(1)求证：AF=DF+BE.(2)DF=x(0xl),AD/与ABE的面积和S是否存在最大值？假设存在，求出此时X的值及S.假设不存在，请说明理由.【解析】证明：如图，延长CB至点G,使得BG=DF,连结AG.因为ABC。是正方形，所以在RtAZ)/和RtAABG中，AD=AB,ZAPF=ZABG=90。，DF=BG.：.RtADFRtMBG(SAS),AF=AGtZDAF=ZBAg.又VAE是NfiA/的平分线.ZEAf=ZBAE,：ZDAF+EAF=BAG+BAE.ZEAd=ZGAE.VAD/BCf：ZGEA=ZEAD,Z.GEA=AGAEfAG=GE.即AG=BG+BE.：AF=BG+BE,得证.(2)S=5mw+SMBE=DFAD+BEA.：AD=AB=,/.S=g(DF+BE)由(1)知，AF=DF+BE,所以S=A/.2在RtAAD/中，AD=fDF=xtAF=x2+1,S=-Vx2+1.2由上式可知，当/到达最大值时，S最大.而OxWl,所以，当刀=1时，S最大值为J4+1=L应.22【例35】(通州区2023一模第25题)请阅读以下材料：:如图1在RSABC中，NBAC=90。，AB=AC,点。、E分别为线段AC上两动点，假设ZmE=45。.探究线段加>、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90。，得到ABE,连结££>,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决以下问题：猜测m、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜测给予证明；(2)当动点石在线段BC上，动点。运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜测并给予证明.【解析】(1)DE2=BD2+EC2证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90。得到AE.AECgABE：.BE=EC,A=AE,ZC=ZABE,ZEAC=ZEfAB在RtAABC中：AB=AC：.ZABC=ZACB=45。ZABC+ZABE=90°即ZEfBD=90°：E,B2+BD2=EfD2又NmE=45。：.ZKAD+ZEAC=45。NrA4+NKA0=45。即N£4)=45。/.AE*DAED：.DE=DE：DE2=BD2+EC2(2)关系式OE2=bd2+EC2仍然成立证明：将AZ)B沿直线AD对折，得ATO,连在：,AFDABDAF=AB,FD=DBZFAD=ZBAd,ZAFD=ZABd又TAB=AC,AF=ACYZFAE=ZFAD+ZDAE=ZFAD+45o：ZEAE=ZEAc又AE=AE：.AFEACE：.FE=EC,ZAFE=ZACE=45°.*.ZDFE=ZAFD-ZFE=135o-45o=90o，在RtDEE中DF2+FE2=DE2即DE2=BD1+EC2【例36(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如下图，ABC是边长为1的正三角形，MiDC是顶角为120。的等腰三角形，以。为顶点作一个60。的NMZW,点历、N分别在A8、AC上，求AWTV的周长.【解析】如下图，延长AC到E使CE=8W.在ABDM与ACDE中,因为Bo=8,NMBD=/ECD=90,BM=CE,所以MDMWXCDE,故MD=ED.因为N8DC=120,NMDN=60,所以NBDM+NNDC=60.义因为4BDM=NCDE,所以NMoN=NfDN=60.在AvWD与AETVD中，DN=DN,NMDN=4EDN=“，DM=DE,所以AMNDgAEND,那么NE=MN,所以AMV的周长为2.【例37】在等边ABC的两边AB人C所在直线上分别有两点例N为ABC外一点同乙如W=60。，ZBZX?=120o,BD=CD,探究：当点M,N分别爱直线A8,AC上移动时,BM,NC,MN之间的数关系及MV的周长与等边AC的周长L的关系.如图，当点M,N在边AS,AC上，且OM=ON时，BM,NC,MN之间的数量关系式;此时?=L如图，当点M,N在边AB,AC上，且DMEW时，猜测问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证明；如图，当点M,N分别在边人员CA的延长线上时，假设八N=X,那么Q=(用,L表示)【解析】bm+nc=mn2=ZL3(2)猜测：仍然成立证明：如图，延长AC至E,使CE=BM,连接。E由ABC是等边三角形，:.ZMI3D=ZNCD=90°t:MBDZgCD(SAS)DM=DE,/BDM=NCDE,:.ZEDN=ZBDC-ZMDN=60°在MDN与EDV中MMV的周长Q=A+AN+MN=(AM+8M)+(W+NC)=A3+4C=2A8而等边ABC的周长L=3A82(3) 2.xHL3【补充】(1)如图，在四边形ABCQ中，AB=AO,/8=/。=90。，E、/分别是边BCCZ)上的点，且44尸二；ZBAD.求证：EF=BE+FD;(2)如图，在四边形ABC。中，AB=AD,/8+"=180。，E、尸分别是边灰?，Co上的点，ZEAF=-ZBAD,中的结论是否仍然成立？不用证明.2【解析】证明：延长EB到G,使BG=。尸，联结AG.:ZBG=N½8C="=90°,AB=AD,ZABGADF.AG=AFfN1=N2.：Zl+Z3=Z2+Z3=ZEAF=-ZBAd.2GAE=ZEAF.又AE=A瓦MEGAEF.EG=EF.=EG=BE+BG.t.EF=BE+FD(2)(1)中的结论防=BE+/7)仍然成立.【例38平面上三个正三角形Ab,ABD98CE两两共只有一个顶点，求证：斯与CO平分.【解析】连接DE与DFVZDBa=AEBCiBAD=/CAF：ADBE=ZABC,ZBAC=ZDAF工在ADBE与AABC中：.DBEMBC(SAS)：DE=CA=FC在ADFA与ABCA中：DMBC4(SAS)：DF=BC=EC,DECF为平行四边形，.,.EF,CO互相平分.【例39：如图，ABCCDE.E次都是等边三角形，且A、D、K共线，AD=DK.求证：MBQ也是等边三角形.【解析】连结EB,VCE=CDfCE=EAfBE=AD,所以BE=AZ),并且8E与AD的夹角为60°,延长旗交AK于M,刃么EBH=36-ZBHD-ZHDE-BED=3(XT-ZHDM-ZMDE-ZMED=I8O°-NHDM+(180o-60o-NMDE-AMED)=180o-NHDM=HDK.又因为HK=AD=BE,BH=HD.所以帖EH冬M)KH.所以HK=HE,ZEHD=ZEHD+ZDHK=ZBHE.【例40】(1997年安徽省竞赛题)如图，在AABC外面作正方形A3EEACG”,AO为aABC的高，其反向延长线交歹于用，求证：BH=CF;(2)MF=MH【解析】证明/且ZiA尸C;(2)作CMD于尸，HQA.M吁Q,先证AAQ义&、£>,ACDHAQf再证AFPMWAHQM【补充】以A8C的两边A8、AC为边向外作正方形"DE、ACFG,求证：CE=BG9且CE工BG.【解析】易证AAECgAABG,故NACE=NAG8,又ACJ,AG,ZAOG=ZBOCt故CEiBG.【例41】(北京市初二数学竞赛试题)如下图，在五边形ABCOE中，ZB=ZE=90o,AB=CD=AE=BC+DE=,求此五边形的面积.【解析】我们马上就会想到连接A。、ADt因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积并不容易，至此思路中断.我们回到条件中去，注意到8C+OE=1,这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“喊长补短法，那么可否把BC拼接到上的一端且使M=BC呢（如下图）？据此，连接A/7,那么发现A48C0A砂，且/7）=1,AF=AC,AE=ABtAOr是底、高各为1的三角形，其面积为L,而A8与A7）全等，从而可知此五边形的面积为1.2【例42（希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题）在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,ZABC+ZAFD=180,连接At>,求证：4）平分Na）后.【解析】连接AC.由于AB=A石，NABC+NAED=180.我们以A为中心，将ABC逆时针旋转到AM尸的位置.因AB=AE,所以3点与E点重合，而/4七/+/4£：。=43。+/4£0=180,所以。、E、尸在一条直线上，C点旋转后落在点尸的位置，且AF=AC,EF=BC.所以DF=DE+EF=DE+BC=CD.在AACD与A47）中，因为AC=Ab，CD=FD,AD=ADt故ACD义AFD,因此NAz）C=NAz）F,即AD平分NCDE.家庭作业）【习题5】如图，A8C和ADE都是等边三角形，B、C、Z）在一条直线上，试说明CE与AC+CO相等的理由.【解析】VAC=AB,ZCAE=ZBAd,AE=AD：,MECADB：.CE=BD又YBD=BC+CD=AC+CD：CE=AC+CD【习题6（湖北省黄冈市2023年初中毕业生升学考试）：如图，点£是正方形A8C力的边AB上任意一点，过点。作。E_LoE交8C的延长线于点尸.求证：DE=DF.【解析】VZADC=EDFZADE=NCDF在AADE和ACIM中ADECDFDE=DF【习题7】（2023山东）在梯形ABC。中，ABCD9ZA=90o,AIi=I9BC=3fCD=I,E是AP中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程.【解析】延长BE交Co延长线于点F.；E是AD中点,IDE=AE,a：AB/CDtZA=90o,I.NEDF=NEAB=90。，ZABE=ZDFE在AEB和"W中，.EBFEDtIFE=BE又.A8=2,8C=3,8=1,ICF=BC在"CE和BCE中，：江CEq砧CE,JCELEB【习题8：如图，点C为线段Ae上一点，ACf>ACBN是等边三角形CG>C”分别是AACN、CB的高.求证：CG=CH.【解析】由AC7V乌C3,利用AAS进而再证AfiCHVCD,可得到CG=CH.月测备选）【备选4】在等腰直角AABC中，ZAC8=90,AC=BC9M是AA的中点，点?从A出发向C运动,MQ_LM?交AC于点Q,试说明MPQ的形状和面积将如何变化.【解析】连接CW.因为AC=BC且NAC8=90,所以/8=45.因为M是AB的中点，所以NAMC=N8MC=90,NACM=45且CM=8M,那么ZACM=NB.因为MQ_LM尸，所以NQMC=90-NCMP=/PMB,所以AQCMm"BM,所以QM=PM.因此f尸Q是等腰直角三角形，在P的运动过程中看状不变.">Q的面积与边MP的大小有关.当点P从8出发到8C中点时，面积由大变小；当。是BC中点时，三角形的面积最小；P继续向点C运动时，面积又由小变大.【备选5】如图，正方形ABC/）中，FAD=ZFAE.求证：BE+DF=AE【解析】延长CB至使得HW=OF,连接AM.易证得：ABMMADF,从而可得：ZAFD=ZBAF=ZEAF+ZBAE=ZBAM+ZBAE=tZAMB=EAM,故AE=EM=BE+BM=BE+DF.【备选6】等边A8力和等边ACBO的边长均为1,E是的_L4。上异于A、O的任意一点，尸是8上一点，满足AE+CF=1,当区/移动时，试判断EF的形状.【解析】由条件A£+C尸=1,且f>F+CF=l,得AE=DF.因为AB=O8,ZA=NBDF=60,所以凶BE2DBF,因此BE=BF,ZABE=ZDBf.因为NEBF=NEBD+NDBF=/EBD+ZABE=ZABD=N,所以尸为等边三角开九