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第十四讲正弦定理和余弦定理【要点梳理】1. 正弦定理： 焉=磊=康=2R，其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理 可以变形：(l)d ： b : C = Sin A : Sin: sin C； (2)a = 2Rsin A, b = 2Rsin B, c= 2/?sin_C； (3)SinA=品，sin B=磊，sin C=点等形式，以解决不同的三角形问题.ZaZaZa2. 余弦定理：:二从+廿一2bccos A, b2=q2+c2-%CCOS B, C2=M+/-2欣OS C 余 . -ra-r l -f,从 + c2/2÷C2-2/+52 -/弦定理可以变形：CoSA=2, cos B=诟，cos C=圾石.3. SABC=absin C=csin A=%csin B=嗡=(+力+c)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算/?、匚4.在AABC中，已知a、6和A时，解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形ZLA'-VC *A BA B关系式a=bsin Absn A<a<baba>b解的个 数一解两解一解一解【基础自测】.a ,_Lrr a + Z> + c1. 在aABC 中，若 A=60。，a=3,则. r=.VSmA 十 sin 8十 SlnC2 .已知AABC的三边长成公比为5的等比数列，则其最大角的余弦值为.353 .设aABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且COSA=CoS 8=於，b=3, 则 C=.4 .在aABC 中，B=60。，AC=3,则 A8+2BC 的最大值为.5 .已知圆的半径为4, a、b、。为该圆的内接三角形的三边，若"c=16则三角 形的面积为()A. 22B. 82C.2D芈例题讲解题型一利用正弦定理解三角形【例1】在aABC中，a=3, h=2, 8=45。.求角A、。和边c.题型二利用余弦定理求解三角形【例2】在aABC中，a、b、C分别是角A、B、C的对边，且煞=一五匕(1)求角B的大小；若b=, a+c=4,求aABC的面积.题型三三角形形状的判定m 31在AABC中，内角A, B, C所对的边长分别是, b, c.(1)若c=2, C=?且4ABC的面积为L求, 8的值；(2)若 sin C÷sin(-A)=sin 2A,试判断 AABC 的形状.题型四正弦定理、余弦定理的综合应用【例4】己知小b, C分别为BC三个内角A, B, C的对边, acos C+小sin C-b-c=O.求4(2)若=2, ZXABC的面积为小，求儿c.【巩固提高】1.在aABC 中，若 NA=60。，N8=45。，BC=32,则 AC 等于 ()A. 43B. 23C.3D坐2 .在4A8C中，角A, B, C所对的边分别为m b, c.若cos A=Ain 8,则 SinACOSA+cos% 等于()A. B.C. -1D. 13 .在钻C中，a,儿c分别角4 B, C所对fi¾边，若=sG贝耻t三角形一定是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形4 .在aABC 中，若 b=5, NB=；, sin A=J,则 =.5 .若448C的面积为小，BC=2f C= 60°,则边AB的长度等于.6 .在aABC中，角A, B, C所对的边分别为e, b, c,满足CoSS=竽，油公=3 (1)求AABC的面积；(2)若力+c=6,求的值.