18-19 第3章 阶段复习课 三角恒等变形.docx

阶段复习课第三课三角恒等变形核心速填1 .两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(一份=COSaCOS 6+sin asin £.cos( +)=COSaCos一 sin asin/.sin( +) = SinaCOS/+cos asin£.sin( -) = SinaCOs/-cos_asin B.1 tan + tan £tan( +) =1 .c.L 1 - tan atan 1tan g-tan 2 .二倍角公式sin 2(x=2sin acos a.cos 2o=cos%-sin%=2cos%-1 = 1 - 2sinL2tan atan 2a=""".1 - taX-3 .升幕缩角公式1 ÷cos 2=2cost.1 cos 2 = 2sin.4.降幕扩角公式Sin Zr 9(1 ÷cos 2xsin xcos x=, coszx=IIf.91 cos 2xsin x= 25.辅角公式y=sin x+Zcos S=、/2+序Sin(GX+0).体系构建同角三角函数sin + COS-Ot = 1的基本关系式笑= tan("M +CZ)差角公式三角恒等变形和角公式'cos( a -) = cos acos + sin sin sin( a -) = sin coe - cos asin . c tan a tan B tan(-3) =-1 + tan tan "cos( a +) = cos cos - sin as in sin(a +) =sin acos + cos asin tana÷tan 1 - tan atan sin 2 = 2sin cos a倍角公式cos 2a = cos' - sin' =2cos' -1=1 -2sin*_2 tan atan 2a =-1 - tan* a应用三角函数式的求值、化简和证明,讨论三角 函数的性质题型探究KBtI三角函数的求值问题 ffl I 已知tan(+；)=-/，且方兀，求Sin ?登"的值 SInIaF【导学号:64012185sin 2 a_2cos2« 2cos a(sin acos a)r-解 z=-l-=22cosa.sin(a-wj 2 (Sina-COSa)(. 1+tan a1.tan a+ =- =-z,4 1 tan a2'，tan a=-3,规律方法三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就 会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有 可能需要运用诱导公式.(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值， 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程 中要注意角的范围.(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值， 在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.跟踪训练1.已知 OVa且 3sin 4=sin(2+p), 4tan1tan求 +6的值.解3sin S=Sin(2+S),即 3sin(÷/?)-=sin(÷)÷,整理得 2sin(+份CoS a=4cos(÷)sin a.即 tan(+夕)=2tan a.又 4tan 2= 1-'tan- 5,C a2tan 2 tan Ot=7,1 这 22 tan 2tan(+S) =2tan a=2×=.V+0, W), .+夕=£.52Sin 1300+sin 100°(l+5tan 370。)化I 间rrt-5 rf v 2sin 50o+sin 80o(l +3tan 10°)解原式=C y 1 ÷cos 10cos 10o+3sin 10°2sin 50o+cos 10o×COS 1 Oo2cos2 5°2sin 50°+2(gCoSl 0°+浮Sin 10oj2cos 5o2sin 50o+2sin(300+10°)也COS 5o2sin(45°+50)+sin(45。- 5。)啦CoS 5°2(Sin 45°CoS 5°+COS 45°Sin 5°+Sin 45°CoS 5°-CoS 45°Sin 5°)巾COS 5°_4sin 450-cos5°_92cos 5o '规律方法三角函数式的化简，主要有以下几类：对三角的和式，基本 思路是降嘉、消项和逆用公式；对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分 和逆用公式，最终变成整式或较简式子；对二次根式，则需要运用倍角公式的 变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉 及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、 “复角化复角”等具体手段.以实现三角函数式的化简.跟踪训练2. 化简 sin2asin2÷cos2acos2/7-cos 2acos 2.I 解原式=Sin2asinR+cos%cosR3(2cos% l)(2cos2-1)=sin2sin2/?cos2acos2/? ÷ cos2a ÷ cos2/?一=sin2asin2÷ cos2a( 1 - cos2)+CGaB-工=sin2asin2/?+cos2a sin2 ÷ cos2=sin2y?(sin2a+cos2a) ÷ cos2/?= sin2÷cos2-112,!«31三角恒等变换求证:Sin 4x CoS 2x CoS X x1 +cos 4x 1 +cos 2x 1 +cos x tan2"【导学号:64012186思路探究等式两边涉及到的角有42x, X,方等角，故可将左边4x,2x, %化为方的形式.证明左边=2sin 2xcos 2x cos 2x cos x2cos22x 2cos2x 、x2cos2 22sin 2xcos21xcos 2cos22x2cos2cos2Sin Zr 2sin xcos xY2cos x2cos 弓 2cos x2cos 32sn cos 彳 sin z2 2 2 .,=tan 5 =右边.2cos*2 cos 2，等式成立.规律方法1 .三角恒等式的证明，就是运用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三 角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几个方面：（1）角的差异；（2）三角 函数名称的差异；（3）三角函数式结构形式上的差异.针对上面的差异，选择合 适的方法进行等价转化.2 .证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法.3 .三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明.不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等 变形等.附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变 形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元 法证明.跟踪训练tan (1 + sin )+sin 0 tan 0+sin 03' Yn tan 0(1+sinSinO tan 6sin FR U(l+sin0)+sin6证明左边=+sin。) 一 Sinesin ( 1 + sin 9)+sin JCoS 1 ÷sin 8+cos sin 8(1 ÷sin J)Sin Jcos 1 ÷sin J-cos (1 +cos J)+sin C2S O CC 2(l-cos0+sin 2sin2+2sincos¼sin 右边=sin。 cos sin 夕+sin OCoS n lasin cos 'isin 0Sin2。+cos esin 夕-2，左边=右边，故原等式成立.I类型4|三角函数与平面向量的综合应用 filIH 已知向量 =(cos苧，sin：), b=(cos5 sin口 "且 y W .(1)求 ab 及+b;(2)若yU)=b-+b,求/U)的最大值和最小值.思路探究本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与 差的三角函数.(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简;(2)化简於)，并参照x昔，部求出最大值和最小值.3 X 3x X+b =3x ,4 lcos +cos 2j'解(l)=cos 亍COSsin 宁Sincos 2x,.3x .sin sin=2+2cos 2x=2cos x. l x £3，4，* CoS x>0,即 +b = 2cos x.(2) ,y(x)=cos 2-2cos x=2cos2-2cos - 1/1 3=21 cosx-2 I-2，,兀兀-cosxl.,.当CoSX=T时，段)取得最小值一|；当cos X= 1时，兀x)取得最大值为-1.规律方法三角函数与平面向量相结合是近几年来高考的亮点，它常常包 括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结 合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往 往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值.跟踪训练4.已知向量 Wl=(CoS 仇 sin。)和=(啦一sin a cos。)，6(, 2),且帧I解n+i=(cos 6sin +y2f cos 6+sin ), m+n =/(cos sin ÷2)2÷(cos ÷sin O)2=、4+26(COS Jsin )=4+4cos(÷)=21 ÷cos+由 已知|次+I= 得cos(。+：)=奈.兀一 8十1625V<<2,98 -82 5i"-8+=Q8;+-4-5I类型5|三角恒等变换的综合应用探究问题1 .三角恒等变换的基本方向是什么？提示：基本方向是变角、变函数、变结构.2 .三角恒等变换的基本技巧是什么？提示：基本技巧是弦切互化，异名化同名，异角化同角(角分析法)；升球或 降赛，分式通分，无理化有理，常数的处理(如1的代换)；变量集中(引进辅助角).如 acos +bsin O=Na?+in(0+(P)( 为辅助角).3 .三角恒等变换的基本目标是什么？提示：基本目标是复角化单角，异名化同名，转换运算形式试着相约或相消， 达到项数尽量少，种类(名称)尽量少，次数尽量低，分母中尽量不含三角函数； 尽可能不带根号，能求出值的求出值来，绝对值要讨论.例已知向量=(2sinx, cosx), b=h5cosx, 2cosx),定义函数1上)=0协-1.(1)求函数兀0的最小正周期；(2)求函数,/U)的单调递减区间；(3)画出函数g(x)= 段)，闻一居，制的图像，由图像写出g(x)的对称轴和对称中心.【导学号：64012187思路探究本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函 数图像和性质，化简函数式为U)=4sin(Gx+9)+8的形式，然后求解.I 解J(x) = 2y3sn xcos x+2cos2-1=5sin 2x+cos 2x=2sin(2x+"(I)T=,=.(2)2+ 2x+ 2k +4=> ÷x +-(A: Z), 2 TE，函数/U)的单调递减区间为E+不Z+y (%£Z).母题探究1 .将例5的条件变为“已知段) = sin(2x+2)+sin(2x一2)+2cos2”,试求 U)22的X的取值范围.解'ufix)sinf 2x+j+sinTr ÷2cos=sin Zrcos ÷cos 2xsinsin 2xcos 5一cos 2xsin 袁+cos 2x+1 =3sin 2x+cos 2x+ 1 =2sin(2x+/ + 1,7U)22,2sinf2x+J+12,.,. sin(2x+5bB，t 5.*. 2k ÷ 2x÷ 2k+(k Z),/. k x E+?% Z),U)22的X的取值范围是5kez .2.将例5中的条件变为“«r)=sin4+24SinXCoSXcosV ,试求该函数 在0, 上的单调增区间.解/(x) = sin4x+23sin XCOS X-COS4X=(sin2x+cos2x)(sin2-cos2x) ÷23sin xcos x=sin2- cos2x÷ 23sin xcos x=cos 2x÷3sin 2x=2(-；COS 2x+坐Sin 2xj= 2sin（2x一袭）.7U）的单调增区间为2-52-2+,TlTT即 k一x<E+丞 Z.函数/U）在0,利上的单调增区间为o, I95 T, 【规律方法三角式的恒等变形是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式 的恒等变形，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式.转化 与化归思想是三角恒等变形应用最广泛，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角 恒等变形的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用.