2.2.1向量的加法学案解析版.docx

§2从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法学习目标核心素养1 .掌握向量加法的定义，会用向量加法 的三角形法则和向量加法的平行四边 形法则作两个向量的和向量.（重点） 2.掌握向量加法的交换律和结合律， 并会用它们进行向量计算.（难点）1 .通过学习向量加法的定义及三角 形法则与平行四边形法则，体会数 学直观素养.2 .通过运用交换律、结合律进行 向量加法运算、提升数学运算素养.ZimYlJXl TAZXlZz411向量求和法则及运算律类别图示几何意义向量 求和 的法 则三角 形法 则a已知向量m b,在平面内任取一点A, 作薪=G, BC=b,再作向量就,则向量AC叫作与b的和，记作+力，即+b=AB-BC=AC向量 求和 的法 则平行 四边 形法 则40 B已知向量b,作AB=", AD=b,再 作平行G的晶=心连接。C,则四边 形ABCO为平行四边形，向量元叫作向 量与b的和，表示为AC=+b向量 加法 的运 算律交换 律a+b=b-a结合 律(+b)+c=+S+c)思考：根据图中的四边形ABCz),验证向量加法是否满足结合律.(注：AB=a, BC=b, CD=c)提示VAD=AC+CD=(B+BO+CD, .AO=(+A)+c,又.AO=A8+BO=AB+(8C+CO),AO=+S+c), .*.(+)+c=+(b+c).初试身11 .作用在同一物体上的两个力尸=60 N,尸2=60 N,当它们的夹角为120。 时，这两个力的合力大小为()A. 30 NB. 60 NC. 90 ND. 120 N答案B2.在AABC中，必有薪+&+说等于()A. 0B. 0C.任一向量D.与三角形形状有关答案B3 .化简下列各向量：(1)A÷BC=.(2)÷O+O=.(I)AC (2)PM 根据向量加法的三角形法则及运算律得：(1)A÷ BC=AC.(2)+OM+QO=PQ+QO+OM= PO+OM= PM.4 .在正方形ABCO中，A=1,则前+G=.答案2合作探究。提素养必句向量加法法则的应用【例1】(1)如图，用向量加法的三角形法则作出+岳 (2)如图，用向量加法的平行四边形法则作出解(1)在平面内任取一点。，作。4=% AB=bf再作向量。3,则。在平面内任取一点0,作。4=% 0B=b,再作平行。B的4C=b,连接BG则四边形OACB为平行四边形，OC=+A规律方法用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的 起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”.且两种方法中，第 一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置.两向量共线时, 三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用.Q跟踪训练1 .己知向量, b, c,如图，求作+0+c.解在平面内任取一点0,作。4=% AB=b, BC=c,如图，则由向量加 法的三角形法则，得OB=a+b, OC=a+b+c.【例2】化简下列各式：(l)ic+;(2)5+(+i;Q)ABDF+CD+BC+FA.思路探究所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加 法的运算律求解.解 说+低=6+访=n.(2)5+cb+BC=(5+ic)+cB=DC+=o 或而+a+诟=(法+CD)+BC=(CD+DB)+BC=CB-BC=O.(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+O)+DF+FA=ac+cd+5f+m=D+DF+M=AF+FA=0.规件方法向量加法运算律的应用原则及注意点(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.(2)注意点：三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；向量的和仍是向量；利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的.跟踪训练2 .如图：在平行四边形ABeO中.()AB+AD=；(2)AC+CD+D0=；(3)AB-AD+CD=；(4)AC-BA+DA=.(I)AC (2)A0 (3)AD (4)0 (1)由平行四边形法则知AB+AD=AC.(2)AC+>+DO=AD+5b=AO. +G+a=n+Eb=G.4 4) V A = CD,C+BA+DA=AC+cb+DA=W+DA=O.向量加法的实际应用探究问题1 .如何计算两个向量的和？提示两个向量相加，其和仍是一个向量.计算两个向量的和需利用三角 形法则或平行四边形法则，在使用三角形法则时，应注意“首尾相连”；在使用 平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同.2 .共线的两向量相加，其结果怎样？提示（1）向量Q与力同向（如图所示），即向量+b与（或6）方向相同,且 +5I = Ial+ |。|. （2）向量。与力反向（如图所示），且IalVIN时，+b与方向相同（与Q方向 相反），且+b=b一同.【例3】 在静水中船的速度为20mmin,水流的速度为IOmmin,如果船 从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.思路探究速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把 实际问题转化为三角形中求角度问题.解作出图形，如图.船速存领与岸的方向成Q角，由图可知V m+v =V fr,结合已知条件，四边形ABCO为平行四边形，在 RtZkACO 中，CD = AB=v 察=10 mmin,AD=v M=20 mmin,. CD 10 1.cos a =20=2>Anc<=60o,从而船与水流方向成120。的角.故船行进的方向是与水流的方向成120。的角的方向.母题探究1 .（变结论）若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少？ 解由题意可知局I=WlGl=坐 X20=lM（mmin）=乎（km/h）,则经过3小时，该船的实际航程是3X乎=竽(km).2 .(变结论)若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际 行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角).解I 如图所示，AD = BC = v fe=20 mmin,AB = v = IO mmin,则 tan N BAC= 2,即为所求.规律方法应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运 算，解答向量问题.(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.一课堂小结G1 .三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一 的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平 行四边形法则.2 .向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任 意的次序和任意的组合去进行.3 .使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是 从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果 是零向量，一定要写成0,而不应写成0.当堂达标。国亶基DAZ；IAZDAHlAe3LSHUAZ( .JI1 .判断(正确的打“，错误的打“X”)(1)两向量的和，可能是一个数量.()两向量相加，就是两向量的模相加.（）(3)CD+DE=CE.()(4)矩形 ABCD 中，BA+BC=RD.)答案(1)× (2)× (3) (4)2 .已知四边形ABCQ是菱形，则下列等式中成立的是()KABA-BC=CAB.4+AC=BCC.AC+BA=A£)D,AC+AD=DCC 由加法的平行四边形法则可知低+而=就;即(一届)+G=n,所以AC+BA=AD.3 .据图填空，其中 =62, b=CO1 c=OBt d=BA.(l)+b+c=；(2)b+d+c=.(1)D (I)CA ()a+b+c=DC+CO+OB=DB.(2)b+d+c=C0-BA + 0B=CA.4 .若表示“向东走8 km”，表示“向北走8 km”，求： (I)a+Z>(2)指出向量的方向.解(1)如图所示，作a=G, AB=bf则ab=OA+AB=OBf所以0+旬 = O=82+82=82.(2)因为NAO8=45。，所以+8的方向是北偏东45°.